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1、第一部分：数量关系三大方法一、代入排除法1、 什么时候用？题型:年龄，余数，不定方程，多位数（近年考得少，即如个位数与白位数对调等）,题十长、主体多、关系乱的。如:给出几个人的年龄关系，求其中某人的年龄。2、 怎么用？尽量先排除，再代入。注:问最大值，则从选项最大值开始代入；反之，则从选项最小的开始代入。二、数字特征法1、 奇偶特性：（1）加减法在加减法中，同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。实际解题应用：与差同性，即 a+b 与 a-b 的奇偶性相同。【例】共 50 道题，答对得 3 分，答错倒扣 1 分，共得 82 分。问答对的题数与答错的题数相差多少题？A、16 B 、17 C 、31 D
2、、33解:根据奇偶题型，a+b=50,为偶数，则 a-b 也为偶数，故选 A乘法在乘法中，一偶则偶，全奇为奇。（其她不确定）如:4X 一定就是偶数，5y 可能为奇可能为偶，2 个奇数相乘一定为奇数。【例】5x+6y=76（x、y 都就是质数），求 x、y。技巧:逢质必 2,即考点有质数，质数 2 必考。代入 x=2【注:ax+by=c，仅当 a、b 为一奇一偶时可用奇偶特性，其她情况不能用。如当a=4，b=6 时，此时 4x 与 6y 均为偶数，无法确定 x、y 的特征。】2、 倍数特性比例例：男女生比例 3:5，则有：男生就是 3 的倍数女生就是 5 的倍数男女生总数就是 8 的倍数男女生差
3、值就是 3 的倍数整除判定方法：一股口诀法：3与 9 瞧各位与。4瞧末 2 位，如 428,末两位 28-4=7,能被 4 整除，故 428 能被 4 整除。8 瞧末 3 位，原理同 4。2 与 5 瞧末位。没口诀的用拆分法：如 7,判断 4290 能否被 7 整除，可将 4290 化成 4200+90,90 不能被 7 整除，故该数不能被 7 整除。白分数转化技巧：拆分如:62、7%=50%+12 5%=1/2+1/8=5/887、5%=100%-12 5%=1-1/8=7/8（2）平均分组整除型：总数=ax余数型:总数=ax+b三、不定方程法：即未知数多于方程数ax+by=c（a,b 为常
4、数，求 x,y）（1）未知数为整数时（如多少场比赛，多少人等）奇偶法：当 a、b 恰好一奇一偶时适用。如 3x+4y=28。尾数法：当出现 0 或 5 时适用。如：5x+7y=76,可知 5x 的尾数为 0 或 5,则 7y 的尾数应为 1 或 6,可知 y 应为 3 或 8。倍数法： 当 a 或 b 与 c 有相同因子时适用。 如，9x+7y=81,9 与 81 有相同的因 子，即都就是 9 的倍数，那么 7y 也必须就是 9 的倍数，故 y=9。注：当为方程组时，先消元化成一个方程再求解。（消元时保留所求为未知数）例：小王打靶共用了 10 发子弹，全部命中，都在 10 环、8 环与 5 环
5、上，总成绩为75 环，则命中 10 环的子弹数就是（B）A、1 发 B 、2 发 C 、3 发 D 、4 发解:x+y+z=1010x+8y+5z=75两式消元，式化为 5x+5y+5z=50，与式相减得 5x+3y=25,5 与 25 都就是 5的倍数，则 3y 也必须就是 5 的倍数,故 y=5,求得 x=2（2）未知数为非整数时（如多少时间，成绩等）采用赋 0 特殊值法。（一般求几个未知数的系数与）例：木匠加工 2 张桌子与 4 张凳子共需要 10 小时,加工 4 张桌子与 8 张椅子需要22 个小时。问如果她加工桌子、凳子、椅子各10 张，共需要多少个小时？A、47、5 B 、50 C
6、 、52、5 D 、55解：提问为多少个小时，结果可为非整数，故采取赋值法。桌子在两个条件都有出现，故赋值桌子为 0,即 4 张凳子需 10 小时，即每张凳子需2、5 小时;8 张椅子需 22 小时，即每张椅子需 2、75 小时，故总时间为（2、5+2、75+0）*10=52、5 小时。第二部分:数量关系主要题型一，工程问题二，行程问题1、普通行程等距离上下坡、往返路程的平均速度：2v1v2/（v1+v2）火车过桥时间：t=（桥长+车长）/车速火车在桥上的时间:t=（桥长-车长）/车速2、相遇与追及相遇时间：t追及时间：t3、多次运动(1) 直线第 n 次相遇第 n 次相遇，两人共走(2n-1
7、)个全程。有公式：(2n-1)s=(v1+v2)t如:a,b 两地相距 s,甲乙分别从两地出发相向而行，两人第 2 次相遇时，共走了 2*2-1=3 个 s 的路程。有如下公式，甲乙两人分别从 A,B 两地出发相向而行，第一次相遇距离 A 地 S1,第二次相遇距离 A 地 S2,则有两地距离为:S=(3S1+S2)/2(2) 环形第 n 次相遇即两人路程之与为 n 圈，有:ns=(V1+V2)t(3) 环形第 n 次追及即两人路程之差为 n 圈，有:ns=(V1-V2)t4、顺水逆水问题V 静=(V 顺+V 逆)/2V 水=(V 顺-V 逆)/2三，经济利润1、普通利润利润率=(售价-成本)/
8、成本(注意跟资料分析的区分)若:A/B=C/D则有:A/B=C/D=(A-C)/(C-D)该类型的题目,技巧性较少，一般要计算。2、分段计算(如水费，电费)技巧性较少，一般分段计算后相加3、合并付费【例】某商品 100 元以内不打折,100-200 元打 9 折,200 元以上打 8 折。购买两 件商品，分别付费85 元与 192 元。请问如果一起购买，会比原来分开购买省多少 钱？ 公式：省的钱数=便宜的商品原价*两件商品的折扣差 解：第一件商品付 85 元，说明该商品没有打折，原价即为 85 元。第二件商品付 192 元，说明该商品原价超过 200 元，即打了 8 折，两件商品折扣差为 2
9、折，省的钱数为：85*0、2=17 元。【同理，若第一件商品打 9 折，第二件商品打 8 折，省的钱数则为便宜的商品原价*0、1】四，排列组合组合:C(m,n)=C(n-m,n),(M 为上标,n 为下标)如:C(8,10)=C(2,10)注：对于排列 A 来说，上述公式不成立。1、捆绑法：解决要求 A,B 相邻的问题【例】甲乙丙丁戊己 6 人排队照相，要求甲乙必须相邻，丙丁必须相邻。问有多少 种排队方法？解：将甲乙捆绑，内部形成 2 种排队方法；同样，将丙丁捆绑，内部形成 2 种排队方法。捆绑后，甲乙瞧做一人、丙丁瞧做一人，共 4 人参与排队，即 A(4,4) 故总数为2*2*A(4,4)=
10、96 种。2、插空法：解决要求 A,B 不相邻的问题【例】 甲乙丙丁戊己 6 人排队照相， 要求甲乙不相邻相，且甲乙不能站两边。 问有 多少种排队方法？解:先考虑将能相邻的人进行排队，即有 A(4,4)=24 种。再考虑这 4 个人排队共形成了 5 个空位(包括两边)，但要求甲乙 不能站两边，故只剩下 3 个空位，即 A(3,2)=6 种。最后,两步相乘,得 24*6=144 种。3、插板法(隔板法)：解决分东西的问题。公式 1：满足此类结构的，即将 n 个东西分给 m 个人，每个人至少一个，则其方法有(m-1,n-1)种。【例】将 8 个苹果分给 3 位小朋友,每人至少分 1 个，问有多少种
11、分法？共有 C(2,7)=21 种。公式 2：将 n 个东西分给 m 个人，每个人至少x 个(x 1),则先分 x-1 个，剩下的用 公式 1。【例】领导要将 20 项任务分给三个下届，每人至少分三项，有多少种方法？解：先考虑每人分 3-1=2 项，共分了 6 项，还剩 14 项；即在 14 项中,每人至少分一项，即可满足条件的每人至少三项，故有C(3-1,14-1)=C(2,13)=78 种。4、枚举法：解决特殊情况，如有不同面值的硬币若十,组成某面值(不能找零),问有多少种方法。【注，枚举时，从大到小不容易出错。】5、错位排列：即 A 不放在 A 的位置,B 不放在 B 的位置如此类推公式
12、：1 个元素，有 0 种错位放法。2 个元素，有 1 种。3 个元素，有 2 种。4 个元素，有 9 种。5 个元素,有 44 种。6、概率五,容斥原理(1) 标准公式：A+B+C-( AAB + AA C+ BAC ) + AN BA CW、人数-都不 满足题型常如下:喜欢登山 x 人，喜欢跑步 y 人，喜欢篮球 z 人，既喜欢登山乂喜欢跑 步a 人既喜欢登山乂喜欢篮球 b 人既喜欢跑步乂喜欢篮球 c 人三种都喜欢 d 人。(2) 非标准公式:A+B+C-仅满足 2 个条件人数-2*满足 3 个条件人数=总人数-都不 满足题型常如下:喜欢登山 x 人，喜欢跑步 y 人，喜欢篮球 z 人，喜欢
13、两种运动的有 a人,，三种都喜欢 b 人。两种公式应用区分：对于满足两项的人数，如果分开有三个数字描述，则用标准公式；如果只就是用一 个数字概述了，则用非标准公式。【增加】总结变形公式：总人数-都不满足=只满足 1 种+只满足 2 种+满足 3 种= 只满足 1 种+(至少满足 2 种-3*满足 3 种)+满足 3 种=只满足 1 种+至少满足 2 种 -2*满足3 种例：有 135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书与普通话证书,37 人有英语证书与 计算机证书，16 人有普通话证书与计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一 部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者
14、才有资格 参加面试。问至少有多少人不能参加面试？ 解：设只有一种证书的有 x 人有三种证书的有y 人则有:135=x+（31+37+16-3y）+y化简有:x-2y=51。要求 x 最小，即 2y 应最小，且 y 0,故 y=1,x=53。六,最值问题1、 至少 xxx 保证 xxx:构造最不利情况+1七，周期问题1、“每隔 n 天”，周期为 n+1【注意：每隔 n 米种树，每隔 n 小时，每隔 n 分钟 不用+1】2、过 n 年星期计算第一步：过了 n 年，星期+n第二步：在给出的时间范围，就是否包括闰年的 2 月份，如有，如过了一个闰年，则星期再+1,如过了两个闰年，则星期再+2,如此类推
15、。如没有闰年，则星期为第一步的结果。例 1:2017 年 12 月 10 日就是周日，问 2020 年 12 月 10 日就是周几？解：第一步,2020-2017=3,即星期先+3,为周三第二步,2017、12、10 到 2020、12、10 之间,2020 年为闰年，且 2 月在该范围内，因此星期再+1。即,2020、12、10 就是周四。例 2:2012 年 3 月 1 日就是周四，问 2017 年 3 月 1 日就是周几？解：第一步:2017-2012=5,即星期先+5,为周二；第二步：2012、3、1 到 2017、3、1 有两个闰年，分别就是2012与 2016,但 2012 年的
16、2 月不含在该时间范围，只有 2016 年的 2 月含在该范围，故 星期再+1,即,2017、3、1 就是周三。3、过 n 个月星期计算过大月一一星期+3（31 除以 7 余 3）过小月一一星期+2（30 除以 7 余 2）过 2 月一一平年时星期不变（28 除以 7 没有余数），闰年就是星期+1（29 除以 7 余1）例 1:2017、5、1 就是周一，问 2017、7、1 就是周几？解：共过了 2017、5 与 2017、6 两个月，分另 U+2、+3,即 2017、7、1 就是周六。例 2:2017、1、31 就是周二，问 2017、3、31 就是周几？解：共过了 2017、2 与 20
17、17、3 两个月，分另 U+0、+3,即 2017、3、31 就是周五。例 3:假如今年 2 月有五个周日，问下一年的劳动节就是周几？解：2 月有五个周日,即 2、29 为周日（2、1 与 2、29 都就是周日，因为日期相差 28）,故今年 3、1 就是周一,且今年就是闰年，则今年 5、1 就是周六（过了 3 月+3,4 月+2）,则下一年 5、1 就是周日。八，几何问题1、基础知识（1）可用菱形的面积一一对角线乘积 幸 2（注，正方形就是特殊的菱形，其面积也此公式）（2）正六边形的面积一一正六边形可以分成 6 个边长都相等的等边三角形，故其面积为边长为 a 的等边三角形的面积（a 为正六边形
18、的边长）（3）多边形的角度一一 n 边形的内角与为 180*（n-2）,即边数每增加 1,内角总与增 加 180 。n 边形的外角与都就是 360 。球的体积3/4（兀 R3）例 1:正三角形与正六边形的周长相等，问三角形的面积就是六边形的几倍？解：即三角形的边长就是六边形的两倍，分别赋值为 2、1,连接三角形各边中点，得 4 个边长为 1 的小三角形，六边形边长为 1,其面积即为 6 个边长为 1 的正三角形面积之与,故二者之比为 6/4=1、5 倍。2、公式类钟表问题 弧长一一 n 兀 R/180（n 为圆心角度数） 扇形面积n 兀 R2/360此类题型，常考点为比较分针、秒针、时针的走过
19、的弧长或扫过的面积，因兀/180与兀/360 为常数，故比较 nR 或 nR21|3 可。n 的比例如下:时针每分钟走的角度 n 为,360/12/60=0、5分针每分钟走的角度 n 为,360/60=60秒针每分钟走的角度 n 为,360/1=3600故有如下角度之比分秒秒时针=6:0、5=12:1时针=360:0、5=720分针=360:6=603、结论类 任意三角形，连接各边中点，形成四个面积相等的小三角形，即均为原来的1/4。(2) 任意四边形，连接各边中点，新组成的四边形为原来的 1/2。(3) 一般可用枚举法。4、技巧类(1)相似三角形两个角大小相等 T 为相似三角形:tan 就是两个直角边的比，所对的直角边/另一直角边tan300 =V3/3tan45 =1tan600 =V3【该比值也可假设数值推算出来，即 300所对的直角边长度等于斜边的一半】九，溶液问题1、等量的溶液混合，混合后为二者浓度之与的平均值。如:100 克 40%勺甲溶液，与 100 克 20%勺乙溶液混合，混合后浓度为(40%+20%)/2=30%
