小学数学知识点例题精讲《归一问题》教师版

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1、1本讲主要学习归一问题通过本节课的学习,学生应了解归一问题的类型,以及解决归一问题的一般方法,掌握归一问题的基本关系式,并会将这种方法应用到一些实际问题中.归一问题归一问题是一类典型应用题,这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后,再求出题目所要求解的问题,解答归一问题的方法叫做归一法.归一问题可以分为两种：一种是求总量的,求出一个单位量之后,然后利用乘法求出结果,这种问题叫做正归一问题（也称正归一）;如：一辆汽车 3 小时行 150 千米,照这样,7 小时行驶多少千米?解决此类问题的关键是先求出单位数量,再求几个单位数量是多少;另一种是求份数的,求出一个单位量后,再用包含除法求出

2、所求的结果,这类问题叫做反归一问题（也称反归一）.如：修路队 6 小时修路 180 千米,照这样,修路 240 千米需几小时?解决此类问题的关键是先求出单位数量,再求一共包含多少个单位数量?正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量;不同点在第二步,正归一问题是求几个单一量是多少,反归一是求包含多少个单一量解答归一问题的关键是求出单位量的数值,再根据题 中“照这样计算” 、 “用同样的速度”等句子的含义,抓准题中数量的对应关系,列出算式,求得问题的解决.有的问题一次归一不能解决,需要两次归一或与倍比相结合才能解决.归一问题的基本关系式：总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)

3、份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)每份的工作量(单一量) 总工作量份数模块一、简单的归一问题 【例例 1】某人步行,3 小时行 15 千米,7 小时行多少千米?【考点】简单的归一问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】153 735 （千米）. 答：7 小时行 35 千米.【答案】35【巩固巩固】 一艘轮船 4 小时航行 108 千米,照这样的速度,继续航行 270 千米,共需多少小时?【考点】简单的归一问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】先求每小时航行多少千米,再求航行 270 千米需要几小时,最后求出共需多少小时.每小时航行多少千米：1084=27（千米）270 千米

4、需航行多少小时：27027=10（小时）共需多少小时：10+4=14（小时）综合算式：270（1084）+4=27027+4=10+4=14（小时）.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标归一问题归一问题2【答案】14【巩固巩固】 小红骑车 3 分钟行 600 米,照这样的速度她从家到学校行了 10 分钟,小红家到学校有多少米?【考点】简单的归一问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】6003 10200 102000 （米）.答：小红家到学校有 2000 米.【答案】2000【巩固巩固】 一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米,照这样的速度,30 分钟爬行多少分米?【考点】简单的归

5、一问题 【难度】1 星 【题型】解答【解析】本题属于正归一,有两种解题思路 (方法一)归一思想为了求出蜗牛 30 分钟爬多少分米,必须先求出 1 分钟爬多少分米(单一数),“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的,然后以这个数目为依据按要求算出结果小蜗牛每分钟爬行1262(分米),30 分钟爬23060(分米)(方法二)倍比思想仔细观察题目中所给的条件,已知 30 分钟正好是 6 分钟的 5 倍,爬行的距离也应是 12 的 5 倍即12560(分米)【答案】60【例例 2】一列火车从甲地开往乙地,开出 2.5 小时,行了 150 千米.照这样的速度,再行驶 3 小时到达乙地.甲、乙两地

6、相距多少千米?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】先求火车每小时行多少千米,再求共行了几小时,最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）.火车每小时行多少千米：1502.5=60（千米）火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）甲乙两地相距多少千米：605.5=330（千米）综合算式： 1502.5（2.5+3）=1502.55.5=605.5=330（千米）.【答案】330【例例 3】一个打字员 15 分钟打了 1800 个字,照这样的速度,1 小时能打多少个字?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】先求 1 分钟能打多少个字,再求 1 小时

7、能打多少个字.1 分钟能打多少个字：180015120（个）.1 小时能打多少个字：120607200（个）综合算式：18001560120607200（个）.【答案】7200【例例 4】先根据条件提出问题,使它成为一步计算的应用题,再口头列式解答孙悟空 3 天吃了 45 个桃子, ?学学买 2 支钢笔用了 18 元钱, _ ?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】填空【解析】建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题：每天吃多少个?每只钢笔多少元?再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如：7 天吃多少个桃子?54 元可以买多少只钢笔?使本道例题成为归一问题的最典型的题目

8、,使学生感受归一问题的题型【答案】答案不唯一：每天吃多少个?每只钢笔多少元?再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题如：7 天吃多少个桃子?54 元可以买多少只钢笔?使本道例题成为归一问题的最典型的题目,使学生感受归一问题的题型【例例 5】绿化队 3 天种树 210 棵,还要种 420 棵,照这样的工作效率,完成任务共需多少天?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】倍比思想因为工作的效率是一定的,所以可以求出种 420 棵树需要的天数是种 210棵树的倍数为：4202102(倍),所以种 420 棵树需要的天数为：326(天),也就是完成任务共需369（天） 3【答案】9

9、【巩固巩固】 绿化队 4 天种树 200 棵,还要种 400 棵,照这样的工作效率,完成任务共需多少天?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】（方法一）倍比思想因为工作的效率是一定的,所以可以求出种 400 棵树需要的天数是种 200棵树的倍数为：4002002(倍),所以种 400 棵树需要的天数为：428(天),也就是完成任务共需4812（天） （方法二）归一思想先求出一天种多少棵树,再求共需几天完成任务单一数：200450（棵）,总共的天数是：(200400)5012（天） 【答案】12【巩固巩固】 绿化队3天种树 200 棵,还要种 400 棵,照这样的工作效率,

10、完成任务共需多少天?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】倍比思想因为工作的效率是一定的,所以可以求出种 400 棵树需要的天数是种200棵树天数的：4002002(倍),所以种 400 棵树需要的天数为：326(天),也就是完成任务共需369（天）【答案】9【例例 6】一个工人要磨面粉 200 千克,3 小时磨了 60 千克照这样计算,磨完剩下的面粉还要几小时?【考点】简单的归一问题 【难度】2 星 【题型】解答【解析】(方法一)通过 3 小时磨 60 千克,可以求出 1 小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时,所以剩下的量除以 1 小时磨的数量,得到问题所求20060

11、6037（）（）(小时)(方法二)通过 3 小时磨 60 千克,可以求出 1 小时磨粉数量.磨完 200 千克面粉需要的时间为：20060310（）(小时),那么磨剩下的面粉需要时间即为：1037(小时)【答案】7【例例 7】王奶奶家养了 5 头奶牛,7 天产牛奶 630 千克,照这样计算,8 头奶牛 15 天可生产牛奶多少千克?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量,1 头奶牛 1 天产奶：6305718(千克),8 头奶牛 1 天产奶：18 8144(千克),8 头奶牛 15 天产奶：144 152160(千克)【答案】2160【

12、巩固巩固】 王奶奶家养了 5 头奶牛,7 天产牛奶 630 千克,照这样计算,8 头奶牛 12 天可生产牛奶多少千克?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】以 1 头奶牛 1 天产的牛奶为单一量,1 头奶牛 1 天产奶：6305718(千克),8 头奶牛 1 天产奶：18 8144(千克),8 头奶牛 12 天产奶：144 121728(千克). 【答案】1728【例例 8】8 个人 10 天修路 840 米,照这样算,20 人修 4200 米,要_天.【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】先进行两次归一,求出每人每天修多少米,然后再求出 20 人每

13、天修多少米.综合算式：4200(84010820)=20(天).【答案】20【巩固巩固】 5 个人 2 小时植树 20 棵,6 个人 3 小时植树多少棵?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】要求 6 个人 3 小时植树多少棵,必须先求出 5 个人 1 小时植的棵数,再求出 1 个人 1 小时所植的棵数.20526326336（棵）答：6 个人 3 小时植树 36 棵.【答案】364【例例 9】3 名工人 5 小时加工零件 90 个,10 名工人 10 小时加工零件多少个?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】3 名工人 5 小时加工零件 90 个,

14、就是说每人每小时加工(903)56（个）,那么一个人 10 小时可以加工6 1060（个）,10 名工人 10 小时加工零件：60 10600（个）【答案】600【例例 10】 3 名工人 5 小时加工零件 90 个,要在 10 小时完成 540 个零件的加工,需要工人多少名?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(方法一)3 名工人 5 小时加工零件 90 个,就是说每人每小时加工90356（）（个）,那么一 个人 10 小时可以加工6 1060个,540 个零件在 10 小时做完就需要540609(人)(方法二)3 名工人 5 小时加工零件 90 个,假设在时间相同的

15、情况下 3 名工人 10 小时加工零件 180 个零件,要完成 540 个零件用倍比的思想,540 个零件是 180 的 3 倍,时间相同,完成零件的数量是 3 倍,那么工人也是 3 倍的关系,3 39(人)【答案】9【巩固巩固】 5 个人挖 3 米长的沟需要用 3 个小时,那么用 50 个小时挖 50 米的沟需要多少名工人? 【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】因为 5 个人挖 3 米长的沟需要用 3 个小时,那么 5 个人用 1 个小时就可以挖 1 米长的沟,所以 5 个人用 50 个小时也就挖了 50 米长的沟【答案】5【巩固巩固】 2 台机器 20 分钟造纸 8

16、0 吨,照这样计算,1 台机器 1 小时造纸多少吨?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】1 台机器 1 分钟造纸：802022(吨),1 小时=60 分钟,也就是 1 台机器 1 小时造纸：260120(吨)【答案】120【巩固巩固】 如桌 3 台数控机床 4 小时可以加工 960 个同样的零件,那么 1 台数控机床加工 400 个相同的零件满要多长时间?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 13 题【解析】归一问题, 1 台数控机床 l 小时加工 96034= 80 个同样的零件;l 台加工 400 个零件需要4008

17、0 =5 小时【答案】5个小时【例例 11】 一个长方体的水槽可容水 480 吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管 8 小时可以把空池注满;单开排水管 6 小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】要求两管齐开需要多少小时把满池水排光,关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空,排水速度必须大于进水速度,即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题,又知道总水量,就可以求出排空满池水所需时间.进水速度：4808=60（吨/小时）排水速度：4806=80（吨/小时）排空全池水所需的时间：

18、480（80-60）=24（小时）列综合算式：480（4806-4808）=24（小时）,两管齐开需 24 小时把满池水排空.【答案】24【例例 12】 花果山上桃树多,5 只小猴分 200 棵.现有小猴 60 只,按刚才的分法分后还余 90 棵,请算出桃树有几棵?【考点】简单的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】每只小猴分：200540(棵),现在一共分：40602400(棵),一共有桃树：2400902490(棵)【答案】24905模块二、复杂的归一问题【例例 13】 在梵文书僧祗律里有这样一段文字：一刹那者为一念,二十念为一瞬,二十瞬为一弹指,二十弹指为一罗预,二十罗预为一须臾

19、,一日一夜有三十须臾.平时我们常说的“刹那间”,一刹那是_秒.【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛【解析】60602430202020200.018 (秒).【答案】0.018秒【例例 14】 小红生病住院了,为了祝她早日康复,三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤,计划两个班的同学 3天一共叠了 2400 只千纸鹤.现在两个班级的同学同时开始叠,在相同的时间内,三(一)班叠了 2430只千纸鹤,三(二)班叠了 2370 只千纸鹤那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】（方法一)

20、三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：24003800(只),“相同时间”是：243023708006（）(天),三(一)班每天叠的个数：24306405(只),三(二)班每天叠的个数：23706395(只)(方法二)这道题的已知条件可以分两层第一层：两个班的同学 3 天一共叠了 2400 只千纸鹤,第二层：在相同的时间内,三(一)班叠了 2430 只千纸鹤,四(二)班叠了 2370 只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内,两个班共叠千纸鹤2430+23704800(个);叠 2400 只用 3 天,叠 4800 只用几天呢?先求出 4800 是 2400 的几倍,也一定是 3 天的几倍

21、,即“相同时间” “相同时间”是：3 2430+237024006（）(天),三(一)班每天叠的个数：24306405(只),三(二)班每天叠的个数：23706395(只)【答案】三(一)班每天叠的个数：405只,三(二)班每天叠的个数：395只【巩固巩固】 甲、乙两个打字员 4 小时共打字 3600 个现在二人同时工作,在相同时间内,甲打字 2450 个,乙打字 2050 个求甲、乙二人每小时各打字多少个?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(方法一)甲、乙二人每小时共打字：36004900(个);“相同时间”是：2450+20509005（）(小 时);甲打字员每小

22、时打字的个数：24505490(个);乙打字员每小时打字的个数：20505410(个)(方法二)这道题的已知条件可以分两层.第一层,甲乙二人 4 小时共打字 3600 个;第二层,在相同时间内甲打字 2450 个,乙打字 2050 个.由这两个条件可以求出在相同的时间内,甲乙二人共打字 245020504500(个);打字 3600 个用 4 小时,打字 4500 个用几小时呢?先求出4500 是 3600 的几倍,也一定是 4 小时的几倍,即“相同时间” “相同时间”是：4 2450+205036005（）(小时);甲每小时打字：24505490(个);乙每小时打字：20505410(个)【

23、答案】甲每小时打字：490个;乙每小时打字：410个【例例 15】 某车间用 4 台车床 5 小时生产零件 600 个,照这样算,增加 3 台同样的车床后,（1）8 小时可以生产多少个零件?（2）如果要生产 6300 个零件几小时可完成?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】此题要求的两个问题都需知 1 台 1 小时生产的零件数,因条件中有小时和台数两个量,需用“两次归一”,即先求出 4 台 1 小时生产多少,再求 1 台 1 小时生产多少.60054（43）830781680（个）630060054（43） 630030730（小时）答：（1）8 小时可以生产 1680

24、 个零件.（2）如果要生产 6300 个零件 30 小时可以完成.【答案】 （1）8 小时可以生产 1680 个零件,（2）如果要生产 6300 个零件 30 小时可以完成6【巩固巩固】 学校买 4 套课桌椅,共用去 480 元,如果买同样的课桌椅 7 套,共需多少钱?如果有 3000 元,可以买进这样的课桌椅多少套?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】1 套课桌椅的价钱是：4804120（个）,7 套的价钱是：1207840（个）,3000 元可以买到：300012025（套） 【答案】7 套的价钱是840个,3000 元可以买到25套【巩固巩固】 王师傅 2 小时加

25、工了 62 个零件,照这样计算,他每天工作 8 小时可以加工多少个零件?如果要加工372 个零件,需要几小时?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】王师傅 1 小时加工零件：62231(个),8 小时可以加工零件：31 8248(个),加工 372 个零件需要时间：3723112(小时)【答案】8 小时可以加工零件248个,加工 372 个零件需要时间12小时.【巩固巩固】 4 名工人加工 455 个零件.开始的 4 天中有一名工人因事请假 1 天,结果共加工 195 个零件.如果以后无人清假,那么还要 天可以完成任务.【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】填空

26、【关键词】走美杯,5 年级,决赛【解析】每人每天加工零件 195(44-1)13(个),剩下的零件还需加工 (455-195)(134)5(天).【答案】5天【例例 16】 某运输公司用 6 辆汽车运水泥,每天可运 96 吨.根据运输情况,现在增加 4 辆同样的汽车,每天一共运水泥多少吨?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 “增加 4 辆同样的汽车”,每天一共运水泥多少吨,应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和,即 10 辆汽车的运输量.966（6+4）=1610=160（吨）.答：每天可运水泥 160 吨.【答案】160【例例 17】 7 辆“黄河牌”卡车 6 趟

27、运走 336 吨沙土现有沙土 560 吨,要求 5 趟运完,求需要增加同样的卡车多少辆?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】解答【解析】(方法一)要想求增加同样卡车多少辆,先要求出一共需要卡车多少辆;要求 5 趟运完 560 吨沙土,每趟需多少辆卡车,应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土一辆卡车一次能运沙土：336675678(吨);560 吨沙土,5 趟运完,每趟必须运走：5605112(吨);需要增加同样的卡车：112877(辆)(方法二)在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时,可以列出两种不同情况的算式： 33667,33676.算式先除以 6,先求出 7 辆卡车 1 次运的吨数,再

28、除以 7 求出每辆卡车的载重量;算式,先除以 7,求出一辆卡车 6 次运的吨数,再除以 6,求出每辆卡车的载重量在求 560 吨沙土 5 次运完需要多少辆卡车时,有以下几种不同的计算方法：56058112814(辆) (其中 112 是所需的卡车一趟运走的吨数)5608570514(辆) (其中 70 是运走 560 吨沙土需要的车次)560855604014（）(辆) (其中 40 是一辆卡车 5 次运走的吨数)【答案】7【巩固巩固】 5 台拖拉机 24 天耕地 12000 公亩要 18 天耕完 54000 公亩土地,需要增加同样拖拉机多少台?【考点】复杂的归一问题 【难度】3 星 【题型】

29、解答【解析】1 台拖拉机 1 天耕地：12000245100(公亩),18 天耕完 54000 公亩土地需要拖拉机：5400018 10030(台),需要增加 30525(台)拖拉机【答案】25【例例 18】 4 辆大卡车运沙土,7 趟共运走沙土 336 吨现有沙土 420 吨,增加了 3 辆相同的卡车,问：几趟可7以运完?【考点】复杂的归一问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】1 辆卡车 1 趟运沙土：3364712(吨),现在有437(辆)卡车,需要4207 125（）(趟)就可以运完【答案】5【例例 19】 孙悟空组织小猴子摘桃子开始时,16 只小猴子 2 小时摘桃子 640 个,照

30、这样计算,孙悟空要求它们在 3 小时内继续摘桃子 1200 个,那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢?【考点】复杂的归一问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】要求增加多少只小猴子,必须先求出需要多少只小猴子去完成孙悟空布置的任务根据要求,3 小时摘桃子 1200 个,可以先求出 1 小时共摘桃的个数,即：12003400(个)再根据每只小猴每小时摘的个数,即：64016220(个)单一量,就可以求出所需要的小猴数量,即：4002020(只),最后求出增加的小猴只数：20164(只)【答案】4【例例 20】 8 个工人 3 小时制作机器零件 360 个,如果人数缩小了 2 倍,时间增加了

31、5 小时,可制作机器零件多少个?【考点】复杂的归一问题 【难度】4 星 【题型】解答【解析】此题中人数缩小了 2 倍指现在的人数是 82=4（人）;时间增加了 5 小时指现在的时间是35=8（小时）.36083（82）（3+ 5）1548= 480（个）答：可制作机器零件 480 个.【答案】480【例例 21】 甲有桌子若干张,乙有椅子若干把.如果乙用全部椅子换回相同数量的桌子,那么需要补给甲 320 元;如果乙不补钱,就会少换回 5 张桌子.已知 3 张桌子比 5 把椅子的价钱少 48 元.求乙原有椅子多少把?【考点】复杂的归一问题 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】希望杯,四年级,二试,第 17 题【解析】如果乙不补钱,就少 5 张桌子,补钱的话需要补 320,那么 5 张桌子 320 元,桌椅单价 64 元,椅子的单价为(643+48)5=48 元,原来椅子有 320(64-48)=20【答案】20