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1、刚体力学习题课刚体力学小结刚体力学小结一、基本概念：一、基本概念：刚体：在任何外力作用下刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。是特殊的质点系。刚体转动惯量：刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。刚体的转动动能：刚体的转动动能：刚体定轴转动角动量：刚体定轴转动角动量：力矩的功：力矩的功：刚体的重力势能刚体的重力势能:2、基本原理：、基本原理：1）刚体角动量原理：）刚体角动量原理：刚体定轴转动
2、角动量原理：刚体定轴转动角动量原理：2）刚体的角动量守恒定律：）刚体的角动量守恒定律：刚体定轴转动角动量守恒定律：刚体定轴转动角动量守恒定律：3） 刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：4）刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。三、基本计算：三、基本计算：本章的习题主要包括以下几个类型：本章的习题主要包括以下几个类型：1、力矩的计算、力矩的计算.2、转动惯量的计算、转动惯量的计算3、刚体定轴转动定律的应用、刚体定轴转动定律的应用4、刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用、刚体的角动量定理和角动量守恒定律的应用5）刚
3、体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律: :若刚体在转动过程中若刚体在转动过程中, , 只有重力矩做功只有重力矩做功, , 则刚体系统则刚体系统机械能守恒机械能守恒. . 1、转动惯量的计算：、转动惯量的计算： 若质量离散分布：若质量离散分布：（质点，质点系）（质点，质点系） 若质量连续分布：若质量连续分布： 平行轴定理：平行轴定理： 正交轴定律：正交轴定律：2）均匀圆盘）均匀圆盘 （圆柱体）：（圆柱体）：o4）均匀球体：）均匀球体：o3）薄圆环）薄圆环（薄圆筒）：（薄圆筒）：o常用的转动惯量：常用的转动惯量：1) 均匀细棒均匀细棒oo练习：求下列各刚体对练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：
4、轴的转动惯量：5）薄球壳：）薄球壳：o质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一一) 转动动能转动动能 动能动能 力矩的功力矩的功 力的功力的功转动惯量转动惯量J ，力矩，力矩M 质量质量m ， 力力F 角加速度角加速度 加速度加速度 角速度角速度 速度速度刚体的定轴转动刚体的定轴转动质点的运动质点的运动质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比( (二二) )动能定理：动能定理：动能定理：动能定理：机械能守恒：机械能守恒：机械能守恒：机械能守恒：角动量守恒：角动量守恒：动量守恒：动量守恒：角动量原理：角动量原理：动量定理
5、：动量定理：转动定律：转动定律：运动定律：运动定律：刚体的定轴转动刚体的定轴转动质点的运动质点的运动刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：具体应用时应注意以下问题：具体应用时应注意以下问题：1) 力矩和转动惯量力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。必须对同一转轴而言。2) 一般选取物体的实际运动方向为正方向，一般选取物体的实际运动方向为正方向， 以此确定力以此确定力矩及外力的正负。矩及外力的正负。3) 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，当系统中既有转动物体，又有平动物体时， 对对转动物转动物体用转动定律建立方程体用转动定律建立方程， 对对平动物体则用牛顿运动定平动物体则用牛顿运动定律建立方程。律
6、建立方程。并找到各物理量之间的联系。并找到各物理量之间的联系。基本步骤：基本步骤：1、选取研究对象，隔离物体，受力分析。、选取研究对象，隔离物体，受力分析。2、建立坐标系，确定正方向。、建立坐标系，确定正方向。3、根据不同规律，分别列出运动方程。、根据不同规律，分别列出运动方程。1. 半径为半径为 20cm 的主动轮，通过皮带拖动半径为的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm的被动轮转动，的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作皮带与轮之间无相对滑动，主动轮从静止开始作匀角加速匀角加速转动，在转动，在 4s 内被动轮的角速度达到内被动轮的角速度达到 8 rads -1， 则主动轮
7、在这段时间内转过则主动轮在这段时间内转过了了 圈圈。R1，主，主R2，被，被因为轮作因为轮作匀角加速匀角加速转动，有转动，有2. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为别悬有质量为m1和和m2的物体的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力 (A) 处处相等处处相等 (B) 左边大于右边左边大于右边 (C) 右边大于左边右边大于左边 (D) 哪边哪边大无法判断大无法判断 C继续分析继续分析滑轮
8、，滑轮，设角加速度设角加速度 方向如图，方向如图，则则设加速度设加速度a方向如图方向如图联立解出：联立解出：与原假设方向相反与原假设方向相反应该是：应该是： 根据转动定理：根据转动定理：M=I 合外力矩的方向应该也是合外力矩的方向应该也是 ， 3. 如如图所示，所示，A、B为两个相同的两个相同的绕着着轻绳的定滑的定滑轮A滑滑轮挂一挂一质量量为M的物体，的物体，B滑滑轮受拉力受拉力F，而且，而且FMg设A、B两滑两滑轮的角加速度分的角加速度分别为 A和和 B，不，不计滑滑轮轴的摩擦，的摩擦，则有有 (A) A B (B) A B(C) A B (D) 开始开始时 A B，以后，以后 A B C
9、4. 质量质量 m 的小孩站在半径为的小孩站在半径为 R、转动惯量为、转动惯量为 J 的可以的可以自由转动的水平平台边缘上自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动过中心的竖直轴转动).平台和小孩开始时均静止平台和小孩开始时均静止. 当小当小孩突然以相对地面为孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘顺时针走动时的速率沿台边缘顺时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度则此平台相对地面旋转的角速度 为为 (C) A (D), 顺时针方向顺时针方向, 逆时针方向逆时针方向 (A) , 逆时针方向逆时针方向(B),逆时针方向逆时针方向5.一圆盘绕过盘心且与盘面
10、垂直的轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速以角速度度 按图示方向转动按图示方向转动,若如图所示的情况那样若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力力 F 沿盘面同时作用到盘上沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度则盘的角速度 A （A）必然增大）必然增大;（B）必然减少）必然减少; （C）不会改变）不会改变;（D）如何变化）如何变化,不能确定。不能确定。6.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒。动量不守恒
11、，动能守恒。(B)动量守恒，动能不守恒。动量守恒，动能不守恒。(C)角动量守恒，动能不守恒。角动量守恒，动能不守恒。(D)角动量不守恒，动能守恒。角动量不守恒，动能守恒。 C 7. 一质量均匀分布的圆盘，质量为一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为，半径为R，放在一，放在一粗糙水平面上粗糙水平面上( 圆盘与水平面之间的摩擦系数为圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘，圆盘可绕通过其中心可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动的竖直固定光滑轴转动则则盘盘转动时受转动时受的摩擦力矩的大小为的摩擦力矩的大小为。 RO解：设解：设 为圆盘单位面积的质量，取所图所示为圆盘单位面积的质量，取所图所示圆环圆环，
12、求该，求该圆环所受水平面的摩擦力矩的大小。圆环所受水平面的摩擦力矩的大小。 若若该圆盘圆盘绕通通过其中心且垂直板面的固定其中心且垂直板面的固定轴以角速度以角速度 0开始旋开始旋转，它将在旋，它将在旋转几几圈后停止？圈后停止？ 根据转动定理，得角加速度根据转动定理，得角加速度因为盘作匀角加速转动，有因为盘作匀角加速转动，有8. 一转动惯量为一转动惯量为I的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为 0设它所受阻力矩与转设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即动角速度成正比，即Mk (k为正的常数为正的常数)，求圆盘的角速度从，求圆盘的角速度从 0变为变为 0/2时所时所需的时
13、间需的时间解：解：9. 光滑的水平桌面上有光滑的水平桌面上有长为2l、质量量为m的匀的匀质细杆，杆，可可绕通通过其中点其中点O且且垂直于桌面的垂直于桌面的竖直固定直固定轴自由自由转动，转动惯量量为ml2/3/3，起初杆静止。有一，起初杆静止。有一质量量为m的小球在桌面上正的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速的方向上，以速率率v运运动，如，如图所示当小球与杆端所示当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动则这一系一系统碰撞后的碰撞后的转动角速度是角速度是_._. 解：角动量守恒解：角动量守恒10、一轻绳绕于半径为、一轻绳绕
14、于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量 为为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度若不计算摩擦，飞轮的角加速度 = ( )11、一轻绳绕于半径一轻绳绕于半径 r = 0.2 m 的飞轮边缘，并施以的飞轮边缘，并施以F = 98 N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad / s2， 此飞轮的转动惯量为（此飞轮的转动惯量为（ ）12、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举、一个人站在有光滑
15、固定转轴的转动平台上，双臂水平地举 二哑铃在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、二哑铃在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒机械能守恒，角动量守恒 B）机械能守恒，角动量不守恒机械能守恒，角动量不守恒 C）机械能不守恒，角动量守恒机械能不守恒，角动量守恒 D）机械能不守恒，角动量也不守恒机械能不守恒，角动量也不守恒13、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，射来两个转动，射来两个 质量相同，速度大小相同，方向相反的子弹，子弹射入圆盘质量相同，速度大小相同，
16、方向相反的子弹，子弹射入圆盘 并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度：A）增大。增大。 B）不变。不变。C）减小。减小。 D）不能确定。不能确定。14、一静止的均匀的细棒，长为、一静止的均匀的细棒，长为L ，质量为质量为M ，可绕通过棒的可绕通过棒的 端点且垂直于棒的光滑固定轴端点且垂直于棒的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量在水平面内转动，转动惯量 为为1 / 3ML2 。一质量为一质量为m 、速率为速率为v 的子弹在水平面内沿与的子弹在水平面内沿与 棒垂直的方向射入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为棒垂直的方向射入棒的自由端，设穿过棒后
17、子弹的速率为1/2v， 则此时棒的角速度应为：则此时棒的角速度应为：15、半径为、半径为30cm的飞轮，从静止开始以的飞轮，从静止开始以 0. 5 rad / s2 的角加速度的角加速度 转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过转动，则飞轮边缘上一点在飞轮转过240 0 时的切向加速度时的切向加速度 at = 。法向加速度法向加速度an= 。16、质量、质量m = 1.1kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量定轴转动，圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1 =1.0kg的物体，起初在的物体，起
18、初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0 = 0.6 m/s上升时上升时，撤去所加力矩，问经过撤去所加力矩，问经过多少时间圆盘开始作反向转动。多少时间圆盘开始作反向转动。解：隔离定滑轮和物体分析受力。解：隔离定滑轮和物体分析受力。 规定物体运动方向为正方向。规定物体运动方向为正方向。关联方程：关联方程：联立解得：联立解得：17、质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为半径分别为r和和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转
19、动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所的重物，如图所示求盘的角加速度的大小示求盘的角加速度的大小解：研究定滑轮的转动。分析所受力矩。解：研究定滑轮的转动。分析所受力矩。 取滑轮转动方向为正。取滑轮转动方向为正。由转动定律：由转动定律：研究物体研究物体1的运动。取向下为正。的运动。取向下为正。关联方程：关联方程：研究物体研究物体2的运动。取向上为正。的运动。取向上为正。18、已知已知m 1 ，m 2 ，M1 ，M2 ，R1 ，R 2 且且m 1 m 2 。求：求：m 2 的加速度和的加速度和 张力张力T1
20、 ，T2 ， T3 。解：设解：设m 2 的加速度大小为的加速度大小为a ，方向向上，方向向上， 而而m 1 的加速度大小也为的加速度大小也为a ，方向向下。方向向下。对对M1 、M2 分析力矩；由转动定律：分析力矩；由转动定律：分析分析m1 、m2 的受力。由牛顿定律：的受力。由牛顿定律：关联方程：关联方程：联立得：联立得：19、一轴承光滑的定滑轮，质量一轴承光滑的定滑轮，质量M = 1.00kg，半径半径R = 0.10m， 一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一 质量质量m = 2.00 kg 的物体，已知定滑轮的转动惯量的物
21、体，已知定滑轮的转动惯量 , 其初角速度其初角速度0 = 5.00rad/s ，方向垂直纸面向里。方向垂直纸面向里。 求：求：1）定滑轮的角加速度。）定滑轮的角加速度。 2）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。）定滑轮角速度变化到零时，物体上升的高度。解：解：1）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。 取滑轮转动方向为正。取滑轮转动方向为正。由转动定律：由转动定律：研究物体的运动。分析受力。取向上为正。研究物体的运动。分析受力。取向上为正。关联方程：关联方程：联立解得：联立解得：2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中，）研究物体、定滑轮和地球组成
22、的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。法法2由刚体的运动公式：由刚体的运动公式：20、物体、物体A和和B叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻叠放在水平面上，由跨过定滑轮的不可伸长的轻质细绳相互连接。今用大小为质细绳相互连接。今用大小为 F 的水平力拉的水平力拉 A。设设A、B和滑轮和滑轮的质量都为的质量都为m，滑轮的半径为滑轮的半径为R，对轴的转动惯量对轴的转动惯量 。所所有的摩擦都不计。已知有的摩擦都不计。已知F = 10N，m = 8.0kg，R = 0.050m。求：求：滑轮的角加速度及绳中的张力。滑轮的角加速度及绳
23、中的张力。解：解：隔离定滑轮和物体隔离定滑轮和物体A、B， 分析受力。规定物体运动方分析受力。规定物体运动方 向为正方向。向为正方向。对于物体对于物体A，应用牛顿第二定律，得：应用牛顿第二定律，得：对于物体对于物体B，应用牛顿第二定律，得：应用牛顿第二定律，得：对定滑轮对定滑轮，应用转动定律，得应用转动定律，得关联方程：关联方程：联立上式求解，得：联立上式求解，得：21.如图如图,知知A: m,l,质量均匀质量均匀,开始时水平静止开始时水平静止mOABlmB:m , , A竖直时被碰竖直时被碰,然后滑行距离然后滑行距离S.求求 :碰后碰后A的质心可达高度的质心可达高度h.解解: :A由水平下摆
24、至垂直由水平下摆至垂直, ,机械能守恒机械能守恒. .以地面为零势点以地面为零势点A与与B碰撞对碰撞对O点点角动量守恒角动量守恒B向右滑动向右滑动, ,根据根据动能定理动能定理：A向上摆动向上摆动机械能守恒机械能守恒可解得可解得思考思考:几个过程几个过程,各有何特点各有何特点?22. 一一质量量为M、长为l 的的均均匀匀细棒棒，悬在在通通过其其上上端端O且且与与棒棒垂垂直直的的水水平平光光滑滑固固定定轴上上，开开始始时自自由由下下垂垂，如如图所所示示现有有一一质量量为m的的小小泥泥团以与水平方向以与水平方向夹角角为a a 的速度的速度击在棒在棒长为3/4处,并粘在其上求：并粘在其上求： (1)
25、 细棒被棒被击中后的瞬中后的瞬时角速度；角速度； (2) 细棒棒摆到最高点到最高点时，细棒与棒与竖直方向直方向间的的夹角角q q解：解：(1) 选细棒、泥棒、泥团为系系统泥泥团击中后其中后其转动惯量量为 在泥在泥团与与细棒碰撞棒碰撞过程中程中对轴O的角的角动量守恒量守恒 泥团碰击前对轴泥团碰击前对轴O的的角动量为：角动量为：22. 一一质量量为M、长为l 的的均均匀匀细棒棒，悬在在通通过其其上上端端O且且与与棒棒垂垂直直的的水水平平光光滑滑固固定定轴上上，开开始始时自自由由下下垂垂，如如图所所示示现有有一一质量量为m的的小小泥泥团以与水平方向以与水平方向夹角角为a a 的速度的速度击在棒在棒长
26、为3/4处,并粘在其上求：并粘在其上求： (1) 细棒被棒被击中后的瞬中后的瞬时角速度；角速度； (2) 细棒棒摆到最高点到最高点时，细棒与棒与竖直方向直方向间的的夹角角q q解：解：(2) 选泥泥团、细棒和地球棒和地球为系系统，在在摆起起过程中，机械能守恒程中，机械能守恒 23. .如如图所所示示，A和和B两两飞轮的的轴杆杆在在同同一一中中心心线上上，设两两轮的的转动惯量量分分别为 IA10 kgm2 和和 IB20 kgm2开开始始时，A轮转速速为600 rev/min，B轮静静止止C为摩摩擦擦啮合合器器，其其转动惯量量可可忽忽略略不不计A、B分分别与与C的的左左、右右两两个个组件件相相连
27、，当当C的的左左右右组件件啮合合时，B轮得得到到加加速速而而A轮减减速，直到两速，直到两轮的的转速相等速相等为止止设轴光滑，求：光滑，求： (1) 两两轮啮合后的合后的转速转速n；(2) 两两轮各自所受的各自所受的冲量矩冲量矩 解：解：(1) 选择A、B两两轮为系系统，啮合合过程中只程中只有内力矩作用，故系有内力矩作用，故系统角角动量守恒量守恒 转速转速 (2) A轮受的冲量矩受的冲量矩 B轮受的冲量矩受的冲量矩 负号表示与负号表示与 A方向相反方向相反 方向与方向与 A方向相反方向相反 24 一个刚体系统，如图所示，一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量已知，转动惯量，现有一水平力作用于距轴为，现有一水平力作用于距轴为 l 处处求求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。轴对棒的作用力（也称轴反力）。解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N由质心运由质心运动定理动定理打击中心打击中心质心运动定理与转动定律联用质心运动定理与转动定律联用质点系质点系由转动定律由转动定律
