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1、1/18五、六章内容小结五、六章内容小结典型例题分析典型例题分析练习题分析练习题分析课外练习题课外练习题数值分析典型例题数值分析典型例题 II2/18 若插值结点若插值结点 x0, x1,xn 是是(n+1)个互异点个互异点,则满足则满足插值条件插值条件P(xk)= yk (k = 0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn存在而且惟一存在而且惟一。多项式插值存在唯一性定理多项式插值存在唯一性定理Laglarge插值公式插值公式插值基插值基( k = 0, 1, 2, , n )3/18插值误差插值误差(余项余项)其中其中,注记注记1: n 次多项式次
2、多项式插值的插值结点最佳选择是插值的插值结点最佳选择是(n+1)次次切比雪夫多项式零点切比雪夫多项式零点。 已知已知 x0, x1, , xn 处的值处的值 f(x0), , f(xn).( j = 0,1, , n-1 ) ( j = 0,1,n-2 ) 均差定义均差定义4/18牛顿插值公式牛顿插值公式( k=1,2,n )注记注记2:均差具有对称性：均差具有对称性：牛顿插值余项牛顿插值余项( j = 0, 1 )三三次次Hermite插值插值5/18 给定给定a , b 的分划的分划: a = x0 x1 xn = b.已知已知f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果如果满足满
3、足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上为三次多项式上为三次多项式; (2) S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n). 则称则称S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.三次样条的定义三次样条的定义6/18拟合函数拟合函数: (x)=a0 0(x) + a1 1(x) + +an n(x)数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型离散数据离散数据 x x1 x2 xm f(x) y1 y2 ym超定方程组超定方程组超定方程组最小二乘解超定方程组最小二乘解:7/18例例1.设设x0，x1，xn 是互异的插值结点是互异的插值结点，l0
4、(x) 为对应于为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明的拉格朗日插值基函数，试证明 x x0 x1 xn f(x) 1 0 0证证 由基函数插值由基函数插值条件计算差商条件计算差商代入牛顿插值公式代入牛顿插值公式,并注意插值误差为零并注意插值误差为零,则有则有8/18例例2.设设x0, x1, x2, , xn为为互互异异的的结结点点, ,求求证证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式插值基函数满足下列恒等式(1)(2)( k = 1,n )证证: (1)令令 在插值结点处在插值结点处 Pn(xj) = 0 ( j = 0,1,2,n )n 次多项式次多项式 Pn(x)有有 n+1 个
5、相异零点个相异零点Pn(x) = 0 9/18所以所以将将 f(x) = xk (k n) 代入代入, 得得(k =0,1,2,n)问题问题: : f(x)是是(n+1)次多项式且最高次项系数次多项式且最高次项系数为为1，取互异的插值结点取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值多构造插值多项式项式Pn(x)，证明证明：f(x) = Pn(x) + (x x0) (x x1)(x xn)(2) 取取 f(x) = xk f(n+1)(x)=0 Rn(x) =010/18例例3. 设设 P(x) 是不超过是不超过 n 次的多项式次的多项式, ,而而 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x
6、xn)证明存在常数证明存在常数Ak( k =0，1，n)使得使得 证证 由由n次多项式插值得次多项式插值得其中其中11/18证明证明: F x0, x1, xn = 例例4. 记记 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)( j = 1,2, , n )对比对比Lagrange插值和插值和Newton插值中插值中 xn 的系数的系数, 得得 F x0, x1, xn = 12/18例例5. 如果如果X*是方程组是方程组GTGX=GTb的解的解，则则X*是超定方是超定方程组程组GX=b的最小二乘解的最小二乘解 证证 由题设由题设,有有GT(b GX*)=0.对任意对任意n维向量维向量
7、Y，故故 | b GY |2 | b GX*|2等式仅当等式仅当Y=X*时成立时成立。所以所以X*是超定方程组是超定方程组GX=b的最小二乘解。的最小二乘解。13/18Ex1 次埃尔米特插值的适定性问题次埃尔米特插值的适定性问题, ,给定插值条件给定插值条件：f(x0)=y0，f (x1)=m1，f( x2)=y2，插值结点应满足什么插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解条件能使插值问题有唯一解。 思考思考: 带导数条件的二次插值多项式公式适定性带导数条件的二次插值多项式公式适定性 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；解解: 设设 H(x) = a0 + a1x + a2x2
8、, H(x) = a1 + 2a2x14/18Ex2. 求矩阵求矩阵 广义逆广义逆 G+=(GTG )-1GT Ex3. 求矩阵求矩阵 条件数条件数 Cond= Ex4*. 设设利用分部积分法证明利用分部积分法证明15/18Ex5 5.如果如果 xa, b , t-1, 1,(1)用线性插值方法推导联系两个区间的映射用线性插值方法推导联系两个区间的映射(2) 对于对于 t-1, 1上的二次正交多项式上的二次正交多项式将其转换为将其转换为xa, b 上的二次正交多项式上的二次正交多项式16/18Ex6. 一个量一个量 x 被测量了被测量了 n次次,其结果是其结果是a1, a2, an.用最小二乘
9、法确定超定方程组用最小二乘法确定超定方程组 x = aj ( j =1,2,n)x 的值为多少的值为多少？Ex7*.给定给定五个观测值五个观测值 yj ( ( j=2，1，0，1，2 )写出求二次拟合函数写出求二次拟合函数 P(t) = a0 + a1t + a2t2的超定方程组系数矩阵，并求广义逆的超定方程组系数矩阵，并求广义逆. .简化情况简化情况: : 求线性拟合函数求线性拟合函数. .17/18证证 取取拟合函数拟合函数:Ex8. 验证线性验证线性 回归公式回归公式 x x1 x2 xm y y1 y2 ym y = a + b x 其中其中 b = lxy / lxx ,显然显然18/18Ex9* 在区间在区间0，1上取上取m+1个等距点个等距点 ( ( k = 0,1,1,m ) )对抛物线对抛物线 y = x2 做线性拟合做线性拟合. . 考察极限情况考察极限情况Ex10* 若若 x0, x1,x2 是互异结点是互异结点,利用二次拉格朗插值利用二次拉格朗插值基基确定范德蒙矩阵的逆矩阵确定范德蒙矩阵的逆矩阵
