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1、第第14章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第4课时课时 反证法反证法1课堂讲解u反证法反证法u反证法的假设反证法的假设2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 我我们们已已经经知道，当一个三角形的三知道，当一个三角形的三边长边长a、b、c (a b c)有关系有关系a2 + b 2 = c 2时时，这这个三角形一定是直个三角形一定是直 角角三三角形角形.那么那么，如果，如果此此时时a2 + b 2 c 2,这这个三角形是否个三角形是否 一定一定不是不是直角三角形呢？直角三角形呢？知知1 1导导1知识点反证法反证法做一做做一做 画画出以如下各出以如下各组组数
2、数为边长为边长的三角形，算算的三角形，算算较较短的短的两两边长边长的平方和是的平方和是 否等于最否等于最长边长边的平方，再的平方，再观观察它察它们们的的图图形形，你，你发现发现了什么？了什么？(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；(2)a=2, b =3,c=4；(3) a = 2, b =2. 5,c =3.知知1 1讲讲 反反证证法的定法的定义义：反：反证证法是一种法是一种论证论证方式，首先假方式，首先假设设命命题题的的结论结论不成立，然后推理出明不成立，然后推理出明显显矛盾的矛盾的结结果，从而果，从而下下结论说结论说原假原假设设不成立，原命不成立，原命题题得得证证归 纳反
3、反证证法法证证明命明命题题的一般步的一般步骤骤：反：反设设归谬归谬结论结论，即：即：(1)假假设设命命题题的的结论结论不成立；不成立；(2)从从这这个假个假设设出出发发，经过经过推理推理论证论证，得出与公理、定，得出与公理、定 理、定理、定义义或已知条件相矛盾；或已知条件相矛盾；(3)由矛盾断定所作假由矛盾断定所作假设设不正确，从而得出原命不正确，从而得出原命题题成立成立知知1 1讲讲知知1 1讲讲 反反证证法法是数学是数学证证明的一种重要方法，明的一种重要方法，历历史上史上许许多多著著名名的的命命题题都是都是用反用反证证法法证证明明的的.一一个命个命题题，当正面，当正面证证明明有有困困难难或
4、者不可能或者不可能 时时，就可以，就可以尝试尝试运用反运用反证证法，有法，有时该时该问问题题竟能竟能轻轻易地被解决，此易地被解决，此即所即所谓谓“正正难则难则反反”.因此，因此，牛牛顿顿就就说过说过：“反反证证法是数学家最精良的法是数学家最精良的 武器之一武器之一.”用用反反证证法不是直接法不是直接证证明明结论结论，而是，而是间间接地去否定与接地去否定与结论结论相反相反的的一面，从而得出事物真一面，从而得出事物真实实的一面的一面.反反证证法是一种法是一种间间接接的的 证证明方法明方法.读读一一读读知知1 1讲讲 现现在在再回到勾股定理再回到勾股定理:直角三角形两直角直角三角形两直角边边的的平方
5、平方 和等于斜和等于斜边边的平方的平方.即即“在在ABC中中，如果如果AB=c,BC=a, CA=b,且且C = 90，那么那么a2 +b2=c2”是一个真命是一个真命题题. 对对于于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 即即“在在 ABC中中，如果如果AB=c,BC=a, CA=b,且且C 90 ， 那么那么a2 +b2 c2”是真命是真命题吗题吗？ 我我们们同同样样可以用反可以用反证证法法证证明它是一个真命明它是一个真命题题.思考：思考：求求证证:两条直两条直线线相交只有一个交点相交只有一个交点.已知已知:两条相交直两条相交直线线l1与与l2.求求证证:
6、 l1与与l2只有一个交点只有一个交点.想从已知条件想从已知条件“两条相交直两条相交直线线l1与与l2”出出 发发，经过经过推理，得出推理，得出结论结论“ l1与与l2只有一个交点只有一个交点”是很困是很困 难难的，因此可以考的，因此可以考虑虑用反用反证证法法.知知1 1讲讲例例1 （来自（来自教材教材）分析：分析： 知知1 1讲讲证证明：明： （来自（来自教材教材）假假设设两条相交直两条相交直线线 l1与与l2不止一个交点，不止一个交点， 不妨假不妨假设设 l1与与l2有两个交点有两个交点A和和B.这样过这样过点点A和点和点B就有两条直就有两条直线线l1和和l2.这这与两点与两点 确确定一条
7、直定一条直线线，即，即经过经过点点A和点和点B的直的直线线只有一条只有一条的基的基 本事本事实实矛盾矛盾.所以假所以假设设不成立，因此两条直不成立，因此两条直线线相交只有一个交相交只有一个交点点.知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）证证明：明： 求求证证:在一个三角形中，至少有一个内角小在一个三角形中，至少有一个内角小 于或等于于或等于60.已知：已知：ABC.求求证证： ABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于60.假假设设ABC中没有一个内角小于或等于中没有一个内角小于或等于 60，即，即A 60， B 60， C 60. 于是于是A + B + C 60 + 60 +
8、60 = 180,这这与与“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”这这个定理矛盾个定理矛盾.所以所以ABC中至少有一个内角小于或等于中至少有一个内角小于或等于60.例例2 知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）用反用反证证法法证证明：一个三角形中不能有两个角是直角明：一个三角形中不能有两个角是直角正确写出与原命正确写出与原命题结论题结论相反的相反的结论结论是用反是用反证证法法进进行行证证明的关明的关键键已知：已知：A、B、C是是ABC的三个内角的三个内角求求证证：A、B、C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角证证明：假明：假设设A、B、C中有两个角是直角中有两个角是直角不妨不妨设设BC
9、90.ABCA9090A180180.这这与与“三角形的内角和是三角形的内角和是180”相矛盾相矛盾假假设设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角例例3 导导引：引： 解：解：总 结 当当一个命一个命题题出出现现下列几种情况：下列几种情况：结论结论以以否定否定形式形式出出现现的命的命题题；唯一性命唯一性命题题；存在性命存在性命题题；命命题题的的结论结论以以“至多至多”、“至少至少”等形式叙述等形式叙述的的命命题题都适用反都适用反证证法法进进行行证证明明知知1 1讲讲知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）已知已知m为为正整数，正整数，m2为为偶数，用反偶数
10、，用反证证法法证证明明m为为偶数偶数先假先假设设m为为奇数，然后奇数，然后进进行推理行推理论证论证，推出与已知条件，推出与已知条件“m2为为偶数偶数”相矛盾的相矛盾的结论结论，从而，从而说说明原明原结论结论成立成立假假设设m为为奇数，不妨奇数，不妨设设m2n1(n为为自然数自然数)，则则m2(2n1)24n24n1.4n2，4n均均为为偶数，偶数，4n24n为为偶数偶数而而1为为奇数，奇数，4n24n1为为奇数，那么奇数，那么m2为为奇数奇数这这与已知条件与已知条件“m2为为偶数偶数”相矛盾，相矛盾，假假设设不成立，不成立，m为为偶数偶数例例4 导导引：引： 证证明：明：总 结 当当结论结论的
11、反面只有一种情况的反面只有一种情况时时，我，我们们运用反运用反证证法，只要将法，只要将这这种情况推翻就可以达到种情况推翻就可以达到证证明的目的；明的目的；但当但当结论结论的反面不止一种情况的反面不止一种情况时时，要一一，要一一驳驳倒，最倒，最后才能肯定原后才能肯定原结论结论正确正确知知1 1讲讲知知1 1练练 求求证证:在一个三角形中，如果两条在一个三角形中，如果两条边边不相等，那么不相等，那么它它们们所所对对的角也不相等的角也不相等.1（来自（来自典中点典中点）（来自（来自教材教材）假假设设命命题结论题结论的的 成立，成立，经过经过正确的正确的_，引出，引出_，因此，因此说说明假明假设设不成
12、立，不成立，从而从而证证明明 成立，成立，这样这样的的证证明方法叫明方法叫_；其思；其思维维方法是方法是_2知知1 1练练 3反反证证法的一般步法的一般步骤骤：(1)假假设设命命题题的的_不成立；不成立；(2)从提出的假从提出的假设设出出发发，结结合已知条件，根据已学合已知条件，根据已学过过 的定的定义义、定理、基本事、定理、基本事实实推出与已知条件或已学推出与已知条件或已学 过过的定的定义义、定理、基本事、定理、基本事实实等相等相_的的结结果；果；(3)由由_判定假判定假设设不成立，从而肯定原命不成立，从而肯定原命题题的的 结论结论正确正确（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲2知识点反证
13、法的假设反证法的假设易易错错警示：警示：(1)若若结论结论的反面只有一种情况，的反面只有一种情况，则则反反设设单单一一，只需，只需驳驳倒倒这这种情况，即可达到反种情况，即可达到反证证的目的；的目的；(2)若若结论结论的反面不止一种情况，那么要各种情况的反面不止一种情况，那么要各种情况一一一一驳驳倒，才能肯定原命倒，才能肯定原命题题正确正确 知知2 2讲讲运用反运用反证证法法证证明命明命题时题时，常，常见见的的结论词结论词的否定形式有：的否定形式有：结论结论词词是是都是都是大大(小小)于于能能相等相等至少至少有一有一个个至少至少有有n个个至多至多有一有一个个负负数数否定否定形式形式不不是是不都不
14、都是是不大不大(小小)于于不能不能不相不相等等一个一个也也没有没有至多至多有有(n1)个个至少至少有两有两个个非非负负数数 用反用反证证法法证证明：等腰三角形的底角一定是明：等腰三角形的底角一定是锐锐角角知知2 2讲讲例例5 （来自（来自点拨点拨）(1)当当题题目中出目中出现现“一定一定”“不可能不可能”“不是不是”“至至少少”“至多至多”等肯定或否定的表述等肯定或否定的表述时时，若直接，若直接证证明明较较困困难难，可考，可考虑虑用反用反证证法，而法，而对对于文字的表述于文字的表述题题，可可先先转转化化为为数学数学语语言表述，再用反言表述，再用反证证法法证证明；明；(2)分分析析例例题结论题结
15、论反面反面时时，要做到不重复、不，要做到不重复、不遗遗漏，如漏，如本本例例中的中的“一定是一定是锐锐角角”的反面就是的反面就是“不是不是锐锐角角”，而而“不是不是锐锐角角”有两有两层层意思：是直角、是意思：是直角、是钝钝角，角，因因此此可分可分为为两两类类：直角、：直角、钝钝角角导导引引： 知知2 2讲讲已知：在已知：在ABC中中 ，ABAC，求，求证证：B，C一定是一定是锐锐角角证证明：假明：假设设B，C不是不是锐锐角，角，则则B，C是直角或是直角或钝钝角角(1)若若B，C是直角，即是直角，即BC90， 故故ABC180，这这与三角形的内角和定理矛盾与三角形的内角和定理矛盾 所以所以B，C不
16、是直角不是直角(2)若若B，C是是钝钝角，即角，即BC90， 故故ABC180，这这与三角形的内角和定理矛盾与三角形的内角和定理矛盾 所以所以B，C不是不是钝钝角角 综综上所述上所述，B，C不是直角，也不是不是直角，也不是钝钝角，即角，即B，C是是 锐锐角角 所以所以等腰三角形的底角一定是等腰三角形的底角一定是锐锐角角解解： （来自（来自点拨点拨）总 结 反反证证法法的第一步假的第一步假设设，假，假设时设时要特要特别别注意注意命命题题的的反面成立，当反面不止一种情形反面成立，当反面不止一种情形时时，应应把所有把所有可可能能情形都列出来，然后再分情形都列出来，然后再分类证类证明列明列举举出来的出
17、来的各种各种情形情形均不成立，从而肯定原命均不成立，从而肯定原命题题成立成立知知2 2讲讲知知2 2练练 用反用反证证法法证证明命明命题题：“如如图图，如果，如果ABCD，ABEF，那么，那么CDEF”，证证明的第一步是明的第一步是()A假假设设CDEFB已知已知ABEFC假假设设CD不平行于不平行于EFD假假设设AB不平行于不平行于EF1（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练 用反用反证证法法证证明命明命题题：在一个三角形中，至少有一个：在一个三角形中，至少有一个内角不大于内角不大于60，证证明的第一步是明的第一步是()A假假设设三个内角都不大于三个内角都不大于60B假假设设三个内角都大于
18、三个内角都大于60C假假设设三个内角至多有一个大于三个内角至多有一个大于60D假假设设三个内角至多有两个大于三个内角至多有两个大于602（来自（来自典中点典中点）用反证法证明时要明确用反证法证明时要明确“两点两点”：(1)用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否 定已知条件定已知条件(2)适合用反证法证明的命题类型：适合用反证法证明的命题类型：结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能 有两个钝角；有两个钝角；唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式叙述的命题，如等形式叙述的命题，如 一个凸多边形中至多有一个凸多边形中至多有3个锐角个锐角1.必做：必做：请请你完成你完成教材教材P117 T2.2.补补充：充：请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题.
