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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-2 导数应用导数应用第三章第三章第第2课时函数的极值课时函数的极值第三章第三章1函数的单调性与极值函数的单调性与极值课堂典例探究课堂典例探究2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习1.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求有关函数的极值本节重点：利用导数的知识求函数的极值本节难点：函数的极值与导数的关系.1.如图所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0
2、为函数yf(x)的_，其函数值f(x0)为函数的_极大值点极大值如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的_其函数值f(x0)为函数的_统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点极小值点，极小值极大值与极小值2如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是_的，在区间(x0，b)上是_的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是_的，在区间(x0，b)上是_的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值利用导数与函数单调性的关系，我们可以把极大值的问题通过下表表示出来.增加减少减少增加
3、x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加极大值减少极小值的问题通过下表表示出来.x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)减少极小值增加3.求函数极值点的步骤一般情况下，我们可以通过如下步骤求出函数yf(x)的极值点：(1)求出导数f(x)(2)解方程_.f(x)0(3)对 于 方 程 _的 每 一 个 解 x0， 分 析 f(x)在x0_的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：若f(x)在x0两侧的符号_，则x0为极大值点；若f(x)在x0两侧的符号_，则x0为极小值点；若f(x)在x0两侧的符号_，则x0不是极值点.f(x)0左、右两侧“左正右负”“左负右正”相同正
4、确理解极值的定义(1)如图所示，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负，曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正(2)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(3)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(4)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在给定区间上的单调函数没有极值(5)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大(6)若函数f(x)在a
5、，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如下图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f(x)在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的1.下列结论中，正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极大值答案B解析导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值故A，C，D项错2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函
6、数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点答案C解析f(x)的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f(x)有4个极值点，且f(x)的函数值由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，故有2个极大值点，2个极小值点，故选C3函数y13xx3有()A极小值1，极大值1B极小值2，极大值3C极小值2，极大值2D极小值1，极大值3答案D解析由y13xx3，得y3x23.令y0，得3x230，x1.当x1时，有极大值，为1313，当x1时，有极小值，为1311.4函数f(x)x33x27的极大值是_答案7解析f(x)3x
7、26x，由f(x)0，得x0或x2.在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点，为1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值故只有说法不正确利用导数求函数的极值 点评讨论函数的性质要保持定义域优先的原则，如本题若忽视了定义域，则列表时易错将区间(0，e)写为(，e)求极值的具体步骤：第一，求导数f(x)；第二，令f(x)0，求方程的根；第三，列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这
8、个根处无极值函数与其导函数图像间的关系问题 分析给出了yf (x)的图象，应观察图象找出使f (x)0与f (x)0的x的取值范围，并区分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判断方法规律总结有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解 函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点(1)求a和b的值；(2)讨论f(x)的单调性函数极值的逆向问题 导数的综合应用 点评本题考查了导数的求导公式、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、通过导数的工具性证明不等式等.点评根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x1时函数两侧的单调性，故求错
