《高等数学b学习资料3.2不定积分的换元积分法ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学b学习资料3.2不定积分的换元积分法ppt课件（59页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 不定积分的换元积分法一、不定积分的第一类换元法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法三、根本积分表三、根本积分表 (2) (2)问题处理方法理方法利用一利用一阶微分方式不微分方式不变性性 .解解一、第一类换元法一、第一类换元法?在普通情况下：在普通情况下：设设那那么么假设假设可微可微由此可得由此可得换元法定理元法定理定理定理1 1 设 f(u) f(u) 具有原函数具有原函数 F (u) , u= F (u) , u= (x) (x) 有延有延续 导数数 , , 那么有那么有换元公式：元公式：不定不定积分的第一分的第一类换元法元法 凑微分法凑微分
2、法 . 阐明明 运用此公式的关运用此公式的关键在于将在于将化化为例例1 1 求以下不定积分求以下不定积分普通地普通地4) 解解5) 解解例例 求求解法解法1解法解法2解法解法3察看重点不同，所得结论方式能够不同察看重点不同，所得结论方式能够不同.例例2 2 求求解解例例3 1) 3 1) 求求例例4 1) 4 1) 求求2) 求求思索：求不定思索：求不定积分分求求例例5 5 求求解解同理可得同理可得( 运用了三角函数恒等运用了三角函数恒等变形形 )例例6 (1) 6 (1) 求求类似地可推出似地可推出(2) 求求例例7 7 求以下不定积分求以下不定积分例例8 8 求求解解阐明明 当被当被积函数
3、是三角函数相乘函数是三角函数相乘时，拆开奇，拆开奇次次项去凑微分去凑微分.例例9 9 求求解解例例10 10 求求解解( 运用三角函数恒等运用三角函数恒等变形形 )例例11 11 求求解解例例12 (1) 12 (1) 求求(2) 求求例例13 13 求以下不定积分求以下不定积分例例14 14 求求解解例例15 15 求求原式原式解解例例16 (1) 16 (1) 求求(2) 求求小结小结:第一第一类换元元积分分(凑微分凑微分)是把被是把被积函数函数中的某个函数看做一个新中的某个函数看做一个新变量量.凑微分法常见类型凑微分法常见类型:练习：练习：求以下不定积分求以下不定积分解解解解解解解解解解
4、解解问题处理方法理方法改改动中中间变量的量的设置方法置方法.过程程令令( 运用运用“凑微分即可求出凑微分即可求出结果果 )二、不定积分的第二类换元法二、不定积分的第二类换元法定理定理2 2 设 x = x = (t) (t) 是是单调可可导函数函数 , , 且且 (t) (t) 0 0 延延续 , , 那么有那么有换元公式：元公式：不定不定积分的第二分的第二类换元法元法 . 例例1 1 求求解解例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解阐明阐明(1) (1) 以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换. .三角代三角代换的目的是化掉根式的目的是化掉根式.普通普通规律如下：当被律如下
5、：当被积函数中含有函数中含有可令可令可令可令可令可令阐明阐明(2) (2) 积分中为了化掉根式能否一定采用积分中为了化掉根式能否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定况来定. .例例4 4 求求令令解解例例5 5 求求解解 令令阐明阐明(3) (3) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 ( (其中其中 n n 为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数) . ) . 例例6 6 求求解解令令阐明阐明(4) (4) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, , 可采用倒代换可采用倒代换
6、例例8 8 求求令令解解阐明阐明(5) (5) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换换 外还可用双曲代换外还可用双曲代换. .也可以化掉根式也可以化掉根式 .例例 中中, 令令三、根本积分表 (2) P182例例 求以下不定积分求以下不定积分例例 1) 1)解解例例 2) 2)解解四、小结四、小结1. 两两类积分分换元法：元法：(一一) 凑微分凑微分(二二) 三角代三角代换、根式代、根式代换2. 根本根本积分表分表(2)第一第一类换元元积分是把被分是把被积函数中的某个函数函数中的某个函数看做一个新看做一个新变量量.第二第二类换元元积分是把分是把积分分变量看做一个函数量看做一个函数.凑微分法常见类型凑微分法常见类型:思索题思索题求积分求积分思索题解答思索题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
