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1、结构数值分析结构数值分析 有限单元法基础有限单元法基础辕姜擎仕窍榆耳搏发尸被蛾平牛挑傅樟橱滞堤辫缨犁吗涪痰司管滓偶篙外结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础欢迎学习有限单元法欢迎学习有限单元法肘沟驾蔚嚏挟桑慨袱付冷恰赏掐栽噎菇乓獭怯斩笑钙十手钒挠煞捶丘抽化结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础第一章第一章 有限单元法的总体思路、方法概说有限单元法的总体思路、方法概说 1.1 引言引言 0 0、为什么要学有限单元法、为什么要学有限单元法1m2mP/2P/2tA求点求点A的位移的位移?结构力学方法：结构力学方法：P弹性力学方法：弹性力学方法：当弹性板计算当弹性板计算结构
2、不能简化结构不能简化菊切顺顷圭益稻莫辆接六论单君乘拐窖武坏锦云牟袱擒蜕潜潮律锄据奄穗结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础（1 1） 是一种以电子计算机为计算工具的是一种以电子计算机为计算工具的结构分析结构分析数值方法数值方法。（2 2） 是以是以剖分插剖分插值和能量原理值和能量原理为基础的一种结构为基础的一种结构计算方法。计算方法。1 1、什么是有限单元法、什么是有限单元法 菇寓瘦桌疡募助姥惑忘碉胜恳芽捣豹九唬挪旱扫驶精旬页铭圾稳审涩修肛结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 剖分插剖分插值值把结构剖分（离散）为有限个单元把结构剖分（离散）为有限个单元（小局部），
3、利用（小局部），利用“插值函数插值函数”研究单元的平衡和协调；研究单元的平衡和协调；再把这有限个离散单元集合（还原）成结构，保证被还原再把这有限个离散单元集合（还原）成结构，保证被还原的结构满足平衡和变形协调条件。的结构满足平衡和变形协调条件。12345678910P5764 56345678 图图1-1 弹性悬臂板弹性悬臂板剖分与集合剖分与集合单元、节点需编号单元、节点需编号俞永皿恋箩槐友细猩悸锯茹私劳伶卤者堆美熟谍填核节晾鞭六谐膊时蔓箱结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 能量原理能量原理研究单元平衡和结构整体平衡时，都用研究单元平衡和结构整体平衡时，都用能量原理描述。能量
4、原理描述。 广泛使用广泛使用 “ “矩阵矩阵”这一数学工具。这一数学工具。可以说有限元法的可以说有限元法的 基本思路是：基本思路是：结构结构剖分和单元集合剖分和单元集合。 有关平衡的表述采用：有关平衡的表述采用：能量原理能量原理。 主要优点：主要优点：计算规格化、数值化、计算规格化、数值化、 适合计算机编程适合计算机编程。 有限元法避免了经典弹性力学有限元法避免了经典弹性力学连续解连续解的困难，使大型、的困难，使大型、复杂结构的计算容易地在计算机上完成。复杂结构的计算容易地在计算机上完成。会祟耶点映郴扩款裔锈洱嫩此涨震古辈襄曹支尧较耕辊枫烈校沤锭倘告危结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限
5、单元法基础2 2、 有限元法的分析思路有限元法的分析思路 （1）用用点点、线线或或面面把把结结构构剖剖分分为为一一系系列列离离散散单单元元。进进行行单元分析，使每个单元都满足平衡条件和变形连续条件：单元分析，使每个单元都满足平衡条件和变形连续条件：l/2l/2P123 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/212l/223 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4图图1-2 两端固定梁剖分两端固定梁剖分单元的单元的节点上节点上有位移有位移 和力和力F啪儡烹械质龋阑阔落哼谣冒怖攘毅簿啼属生厨饶杠粕绊鸥番剑胀迅瞥短竟结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础（2）再再把把所所有有被被离
6、离散散的的单单元元集集合合起起来来。进进行行系系统统（结结构构整整体体）分分析析，保保证证系系统统在在单单元元与与单单元元间间连连接接点点处处的的平平衡衡条条件及变形协调条件得到满足。件及变形协调条件得到满足。最终实现对结构的完整分析计算最终实现对结构的完整分析计算。 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/212l/223 1、F1 2、F2 3、F3 4、F4l/2l/2P123图图1-3诞迄野固妈竟睦索锯灸拳拷驳孝撕糖韵作家填羊肉海佐株擎骆孩喂榆径铣结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础3、节点和节点自由度数概念、节点和节点自由度数概念单元与单元间、单元和支座间的连接点称
7、单元与单元间、单元和支座间的连接点称节点节点。节点自由度数节点自由度数指：计算时对一个节点应考虑的独立位移数。指：计算时对一个节点应考虑的独立位移数。 1234567891245235645785689123456789 1、F1 2、F2xy节点位移节点位移 节点力节点力F图图1-4 平面应力板平面应力板丙劲解瑞钟喷泥菠蛤滨她职裹弗嫂纶成始庶枪舵析秆末葛佬肤摩安夏弥肤结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 一一个个单单元元的的每每个个节节点点上上都都有有用用来来描描述述其其变变形形的的广广义义位位移移和和相相应应的的广广义义力力。广广义义一一语语意意味味着着所所论论位位移移既既
8、可可以以是是线线位位移移，也也可可以以是是角角位位移移。力力除除了了代代表表力力以以外外，还还可可以以代代表表力矩。力矩。4 4、单元节点位移和单元节点力、单元节点位移和单元节点力F1F2F3F412l/212l/2 1 3 2 4上上述述单单元元的的节节点点位位移移和和节节点点力力是是对对给给定定的的坐坐标标系系来来说说的的，这里，暂假定各单元具有统一的坐标系这里，暂假定各单元具有统一的坐标系XY。XY图图1-5拷笺纫眯煽毕佯容巾匈镍轴喜才旷伟苞垢唇贰相茫兹升慎衣淑退桔陨漏村结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排列把单元上所有节点的
9、位移（或力）依次集合起来排列成一个列向量成一个列向量 （或（或F ），称），称 （或（或F ）为单元节）为单元节点位移（或单元节点力），可简称为点位移（或单元节点力），可简称为单元位移（或单元力）单元位移（或单元力）。 单元上节点位移总数称单元上节点位移总数称单元的自由度数单元的自由度数，等于单元节点，等于单元节点数乘节点自由度数。数乘节点自由度数。 研究单元时研究单元时 F F 是外力，但就整个结构而论，它是内力是外力，但就整个结构而论，它是内力。 1 2 3 4l/212F1F2F3F4l/212橱狮拌靖宏旺袱帚芦鸯竖脸再晃返钨朋呀讶菜冒蛊墩腰龚阅推腑猛度敏拨结构数值分析有限单元法基础结构
10、数值分析有限单元法基础xy F1 F2 F3 F4l/212xyl/223 F1 F2 F3 F4研究单元时研究单元时F是外力，是外力，就整个结构而论它是内力。就整个结构而论它是内力。l/2l/2P123图图1-6躬苟交屯我姑阻碌蛛癌天威尹戮送桨服钳斧喊钦峪淌负蜕膏这吧扛棵焉霞结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 5 5、简要归纳、简要归纳（1）剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。123456789（2）节点独立位移数是节点自由度数。）节点独立位移数是节点自由度数。平面桁架节点：平面桁架节点：2（ux、uy）xyuxuy哼
11、瞄付遥岳拜栅抹称通肄帚逾格骄恭终插审放逆育榜膝夺喂明官涕友炳速结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础空间桁架节点：空间桁架节点：3 （ux、uy 、uz）uy zxy平面梁节点：平面梁节点：2（ uy 、 z ）空间梁节点：空间梁节点：6（ ux、uy 、uz 、 x、 y、 z）zxyuxuyuz躇四蛛碌嘎谦吸摔辕宿泣扦纪榜总拘不萤肚衬褂铂浆焰仇闰护爆巨蔽钨赣结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础平面应力板节点：平面应力板节点：2（ ux 、 uy ）xyuxuy节点的独立位移数与结构的变形性质有关。节点的独立位移数与结构的变形性质有关。哀蚕迟蚁部溃运顺杉萎参涪归
12、鸵举溶佳春怖氏转宵娶个逐椅穴醚窑航依低结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础（3）从结构中取出的任何单元，应有单元号，单元上的节从结构中取出的任何单元，应有单元号，单元上的节点应有节点号。这些编号应和结构剖分时的编号对应。点应有节点号。这些编号应和结构剖分时的编号对应。（十分重要，定义有关数据地址十分重要，定义有关数据地址）52623杆件单元杆件单元板单元板单元图图1-7研究一般单元特性时，可用字母表示单元、节点编号。研究一般单元特性时，可用字母表示单元、节点编号。图图1-8ij(e)ijm(e)阀二附梆鸟漠造磺尾歉狠赶庄吸王蒋钨洼旱踩聊定夫闹蛀容延痹亦哎扭篡结构数值分析有限单元
13、法基础结构数值分析有限单元法基础 （4）每个单元都有）每个单元都有单元位移单元位移 、单元力、单元力F 。它们是。它们是把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排成的一把单元上所有节点的位移（或力）依次集合起来排成的一个列向量个列向量 （或（或F ）。）。ijmuiujumvivjvmijmFxiFyiFxjFxmFyjFymxy图图1-9 平面应变板单元平面应变板单元菏塞铺仁蒜盏奋钠揣菇日诀锋忻邻梁推阑弄吊见煽揩汕嚷坞迹你翅物史皑结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础（5）确定单元位移、单元力）确定单元位移、单元力应有坐标概念应有坐标概念。如果是在特定。如果是在特定的单元坐标
14、系中得出的单元位移、单元力的单元坐标系中得出的单元位移、单元力 称单元坐标称单元坐标单元位移、单元坐标单元力。单元位移、单元坐标单元力。（6）对单元：）对单元：F 是外力是外力； 对结构：对结构：F是内力是内力。牧揪草涤蛋畜铆极沙伴烩级撇县涪优阂起某木效尼摊蹭决览绷筋杯昔以将结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础1.2 单元分析单元分析单元刚度矩阵概念单元刚度矩阵概念 单元分析的主要工作是单元分析的主要工作是：通过研究单元力和单元位移：通过研究单元力和单元位移之间关系，建立单元刚度矩阵。之间关系，建立单元刚度矩阵。 对任意单元而言，描述单元力和单元位移之间关系的对任意单元而言，描
15、述单元力和单元位移之间关系的一个方阵，称单元刚度矩阵。以图一个方阵，称单元刚度矩阵。以图1-10示出的平面梁单元示出的平面梁单元为例。坐标系为例。坐标系XY如图所示。如图所示。图图1-10XY 1 2 3 4单元位移单元位移(e)ijXYF1F2F3F4单元力单元力(e)ij企迈锹模入佯六寺僻屯扒墓鸽韵胯裴崎芦皱炕鲤婉蒸芭照遗捷摊敬隧粒神结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础（1-1）描述单元力和单元位移之间关系的矩阵式一般可写为描述单元力和单元位移之间关系的矩阵式一般可写为：其中，其中，kij（i=1、4，j =1、4）称刚度系数，）称刚度系数， 矩阵矩阵:销辗烦茎能藕地得洽皖
16、埋悬芭停籽覆永璃丸萤售类镰咒妓袄柑眺蝶鬼吕阐结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础称为第（称为第（e）号单元的单元坐标单元刚度矩阵，可简称为）号单元的单元坐标单元刚度矩阵，可简称为单元刚度矩阵，简写为单元刚度矩阵，简写为k。即。即 （1-2）引入单元位移、单元力符号引入单元位移、单元力符号： 、寒贿仑匡颂脖瘦娇斡祁盈谨部顽弊涯隔入锹岳筏腆且缅勇滨蚂知忻券臆溪结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础公式（公式（1-1）被缩写为：）被缩写为： （1-3） 从式（从式（1-3）和（）和（1-1）看出：）看出： （1）单元刚度矩阵表明了单元力和单元位移之间关系。由）单元刚度矩
17、阵表明了单元力和单元位移之间关系。由于后面推演这套关系中的刚度系数于后面推演这套关系中的刚度系数kij时，保证了单元内部时，保证了单元内部的平衡和协调。所以，引用单元刚度矩阵就意味着单元的的平衡和协调。所以，引用单元刚度矩阵就意味着单元的平衡和协调条件已经得到满足。平衡和协调条件已经得到满足。（2）单元刚度矩阵中的任意元素）单元刚度矩阵中的任意元素kij是单位位移是单位位移 j=1、其、其它位移为零时的它位移为零时的Fi。 单元分析的主要任务就是确单元分析的主要任务就是确定单元刚度矩阵定单元刚度矩阵kk。肉株痹颓榷沈撂揭癣逾批郧招椎丸迷嘿呼柒死溶欢订柿报拣惟七显矣菩蜀结构数值分析有限单元法基础
18、结构数值分析有限单元法基础1.3 系统分析系统分析 1、系统分析力学概念、系统分析力学概念 系统分析就是将离散的单元集合起来还原成结构，对系统分析就是将离散的单元集合起来还原成结构，对结构进行整体分析。结构进行整体分析。 这一过程中，要保证结构在这一过程中，要保证结构在节点处是平衡的节点处是平衡的；同时相；同时相交于同一节点的所有单元在交于同一节点的所有单元在节点处的位移是协调的节点处的位移是协调的。以图以图1.11所示连续梁为例所示连续梁为例:12345P1P2P3XY图图1-11酮瑞诽之皆蝉梳猴逸愤凛习必储询维秩忙渺抵幢拇斑癌虎琐件廓妓匈均槐结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法
19、基础在在3号节点处号节点处12345P1P2P3图图1-123P2F4 + F2 =0F3 + F1 + P2 =0 平衡条件平衡条件 3 = 1 =结构上结构上3点挠度点挠度 4 = 2 =结构上结构上3点转角点转角 协调条件协调条件 1、F1 3、F3 4、F4 2、F223 1、F1 3、F3 4、F4 2、F234F4 F3F2 F1梨勒省负呸邮惨阐幻胀办债犁悟压湾锄钥火鲜颇升尘奇搞柑平扣虾吊孤粱结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 2、系统分析内容、系统分析内容 （1）确定受约束自由度的位置、数量；）确定受约束自由度的位置、数量； （2）确定结构自由度总数；）确定结构
20、自由度总数； （3）组集结构刚度矩阵；）组集结构刚度矩阵； （4）求解系统节点综合方程获得节点位移解答。）求解系统节点综合方程获得节点位移解答。 3、确认受约束自由度的位置、数量、确认受约束自由度的位置、数量 约束指结构中那些使节点位移为零的刚性约束，如刚约束指结构中那些使节点位移为零的刚性约束，如刚性支座约束等。约束一定发生在节点上（不考虑非节点约性支座约束等。约束一定发生在节点上（不考虑非节点约束），但不一定约束节点的全部位移。束），但不一定约束节点的全部位移。碍览皋窑迸叫亭泵谓躬寂耶殊心恨重幢浚迪巫蛤搅层朗岭杀甥哇汉市严吓结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础图图1-1图图
21、1-13 简支梁简支梁4123xyP1P2简支梁节点自由度为简支梁节点自由度为2，1、4点的竖向位移受点的竖向位移受约束，但角位移不受约约束，但角位移不受约束。束。12悬臂平面应力板剖分为悬臂平面应力板剖分为4个单元后，只在节点个单元后，只在节点1、2有约束。有约束。受约束位移的位置：节点受约束位移的位置：节点1、4的竖向位移受约束的自由度的竖向位移受约束的自由度数（数（ nr ）：）： nr =2理讽帝痔翔撕湘渔赃国拥型伯柴苏趋巩么卜片哉部樱乱纲斌洱猿扳巍篇味结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 4、计算结构自由度总数、计算结构自由度总数（1）不计入约束时）不计入约束时结构自
22、由度总数结构自由度总数(nf)等于节点总数等于节点总数(nj)乘节点自由度数乘节点自由度数( ndf ) 。 nf =njndf （1-4）（2）计入约束后）计入约束后 结构自由度总数（结构自由度总数（ N ）等于不计约束时的结构自由度总数（）等于不计约束时的结构自由度总数（ nf ）减受约束的自由度数（）减受约束的自由度数（nr）。）。 N = nf - nr （1-5）剃唐饺到珊耳硕慷祈蒲同蟹辟坤陈绒捉猴检且淘颜砸衍嗓挺乌拓资惧蔼富结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础xy例如例如: 图示平面框架，有图示平面框架，有4个节点。个节点。 每个节点有每个节点有3个自由度个自由度(
23、线位移线位移2、角位移、角位移1)。 节点总数节点总数 nj=4 节点自由度数节点自由度数 ndf=3 受约束自由度数受约束自由度数 nr=6 结构自由度总数结构自由度总数 不计约束：不计约束： nf =43=12 计入约束：计入约束： N =12-6=61234图图1-14烂侩锭深窜佛廉朋坤逃朋秩裳臻浓删剖酣捅贫巡缸或漫亮廊纫劣奎掇雕互结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 5、组集结构刚度矩阵、组集结构刚度矩阵K 建立起系统节点力建立起系统节点力P与节点位移与节点位移之间的关系之间的关系满足结构整体平衡和协调条件的综合方程。满足结构整体平衡和协调条件的综合方程。 图图1-15
24、示出的受集中力作用的两端固定梁示出的受集中力作用的两端固定梁系统的节点位移如图系统的节点位移如图1-16所示。所示。图图1-15 1 21234xy图图1-161234P1P3P2P4 4 3堕鞭横酸超笨滴扦擞嫂匿胃够嘎谜祈橡冬阻河月希兆惭翠饥箩趟半傈美酚结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 系统节点力与节点位移关系为：系统节点力与节点位移关系为： （1-6）或缩写为或缩写为： P=K （1-7） 其中其中 K结构刚度矩阵结构刚度矩阵实实际际运运算算中中，结结构构刚刚度度矩矩阵阵是是由由单单元元刚刚度度矩矩阵阵集集合合而而成成。集集合合结结构构刚刚度度矩矩阵阵的的过过程程就就是
25、是使使系系统统的的平平衡衡条条件件和和变变形形协协调条件得到满足的过程调条件得到满足的过程。第。第3章将对此进行深入讨论。章将对此进行深入讨论。醉弧铀捣孟汤逝佃冰讲识胎颁髓磅滁影巧翘待赴宅歇印仪却莫胯抖庄文棺结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 6、关于等价节点荷载、关于等价节点荷载 从图从图1-15、16和式和式1-7看出，综合方程中的荷载都是节看出，综合方程中的荷载都是节点荷载。然而，工程中的荷载不只是节点荷载，还有线荷点荷载。然而，工程中的荷载不只是节点荷载，还有线荷载、面荷载。载、面荷载。有限元计算中，必须把线荷载、面荷载化为有限元计算中，必须把线荷载、面荷载化为与之等
26、价的节点荷载与之等价的节点荷载。7、求解结构整体平衡方程、求解结构整体平衡方程 从方程（从方程（1-7）可解出节点位移）可解出节点位移。 由由此此可可见见，用用有有限限单单元元法法计计算算结结构构的的力力学学状状态态是是以以节节点位移点位移为未知量的。为未知量的。P=K （1-7） 挎料镶纷衙淄蛔滚燕再霍码巷郝蛮革章艇誓腐梗凯打伦砖建萝恍狠铁令大结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础1.4 计算结构内力和应力计算结构内力和应力 返回每个单元逐一分析返回每个单元逐一分析 1、根根据据变变形形协协调调条条件件，从从中中找找出出相相应应的的单单元元位位移移，并把它换算成单元坐标的单元位
27、移并把它换算成单元坐标的单元位移 。 2、应用公式、应用公式 F =k 计算计算F 。 3、结构内力、结构内力=F+等价分布荷载过程的附加内力。等价分布荷载过程的附加内力。谋毅谨纸纯者童痞惊速约员灶销堂剑墒杠粟赖愚茨哈酵测折垮枚横闲二晴结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 总总 结结1.1 引言引言 1.2 单元分析单元分析单元刚度矩阵概念单元刚度矩阵概念1、什么是有限单元法、什么是有限单元法 2、 有限元法的分析思路有限元法的分析思路3、节点和节点自由度数概念、节点和节点自由度数概念4 4、单元节点位移和单元节点力、单元节点位移和单元节点力1.3 系统分析系统分析 1、系统分
28、析力学概念、系统分析力学概念欧沤妓掺邯懂真歼贯归涸姜点床拷沧陡免辩愤嗜蚊闹暮苗碗瓷弧邮钝津柠结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础 2、系统分析内容、系统分析内容3、确认受约束自由度的位置、数量、确认受约束自由度的位置、数量 4、计算结构自由度总数、计算结构自由度总数 5、组集结构刚度矩阵、组集结构刚度矩阵K 6、关于等价节点荷载、关于等价节点荷载 7、求解结构整体平衡方程、求解结构整体平衡方程 1.4 计算结构内力和应力计算结构内力和应力弊纵痕韧弥达宵钦佛誊乒缅治县亲检躁鉴秋榜倒家剿各亿料刁离锤涕校喻结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础1.5 有限元思路框图有限
29、元思路框图解综合方程解综合方程K= P求结构节点位移求结构节点位移计算结构内力和应力计算结构内力和应力系统分析系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K形成等价节点荷载形成等价节点荷载P )离散（剖分）结构离散（剖分）结构为若干单元为若干单元单元分析单元分析(建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵ke形成单元等价节点力形成单元等价节点力)恃置种蚤工谐环窖侮骏戎用青扬榴嫩街云仆失贷绣杏兼叼侄贪狮少渭台侥结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础下接第下接第2 2章章遵苯征胯宋谭吩征媒浴铃肾贮峻絮蝉裁靠郑沫及挣岸蹭万梆池几韩近牌针结构数值分析有限单元法基础结构数值分析有限单元法基础
