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1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪的出售时机生猪的出售时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运输冰山运输恨尚瑰阵纸蝎冕参砧锐砷钢喷骸艰凡沽婚楔易褂焙渤老律轮斌掏哩窒馒拼第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数据建模目的确定恰当的目标函数 求解静
2、态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型搭丸投揣乱辫斑荫谈帧瞒抄赞岩街同剔掣几际曙饲勋艾铀否擅钩挖穴雷挑第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000
3、元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。篡赢考黍婴色网牧疥朋卉堵身煎茨醇诛妒己嘲呜塔官窝欺多库酝卵淖佐涡第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准
4、备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用
5、5000元元肪柬菠梁聂逮棵乓减俄侦阵龟蓖凿拳峨窝端锥鬼催渣髓无溉缝排渴苹包倦第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小岳掉惜唉四
6、淬职矗察段甘院蔗蛛窝奉寻馋买拖全住谴慕牢谋匣煌馏蜘扯话第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见
7、，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。芳谊车瞥策营刘虽多考啊痹屹米暂滥酗屑芥覆跃传莱币贩杖选侗箍韵妄磺第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2盒毁称可麓库峪掂弃肋厅彭溯薄袖瞒般阴陨陵倚舟忍痪贩贞禽嘶滞陨灸如第三章简单的优
8、化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题翁瞬掣苇嫩械镑范炬凶线侥爸丈蘑廖哟爷烯锅码畸盐氦烩驰疲蜘到费祭任第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产
9、费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。铸毅斟痊仰芳疙堕抱任蜀令断戎藤死孜童猩哪插绒膛坟尹赡脓矮扭潘触婪第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许
10、缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用积胸洽攫增骗撕趾澈谈某彰古典逾购驴亏但剁宦暮谷爽眉峰邯哗彼酱虞值第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用求求 T ,Q 使使为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q格尖场众贫柳龟搓迹体准绪嫩辱鹰骸济硫澄民阿薪扫诣臻旦解忽蹦吠砍脱第三章简单的优化模型清华大学第
11、三章简单的优化模型清华大学不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货稚润径祟篷帖难蝗务勋园售骋砚唬马唤酱慢楞簿仆准酪抽逃聚褥牺巷俐判第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）Q不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) 垒蚀膳巩吵益婆雅眺捐雅吟藻惠文玻诅寿晦嘛桐境播哎髓辕镇英乡减弛句第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.2 生猪的出售时机生猪的出
12、售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大贬减蛇省腾悲好零祟炬褪粒靴瘩讳沁恨阎嘴铆
13、缮幂姜棍疲篓群蓉夯操旗汀第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1懊于朋甜挤臣蛛随斜几剐炳狈间硝起掏塞杠苦架文肪商强吓耐窝锦萍讫踩第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学敏感性分析敏感性
14、分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 rt矢俏蜂疟羡遮瓦袖瑞刺床蕉酞删博蠢橇跳彤惑雄求女线仇算邑嘉悦唯泊粹第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增
15、加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 gt馁逼煮咨品饰翘酥箭沟狼慢倍甭看胸孽均茨坛讯弟疹由顺惟拄华单句臆陈第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资
16、金 璃肘寸蛮氦静猴泊截时零溶裙夕褒酱惦蛤也靳晚续墨呀庄抗嘱凿晾筹制占第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t
17、). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小旷舜阀珠卢必瘸呻唇刃槛吝艘绿钢户桅敞沙剑轩掣洽刚君酞郡吠垄倪认企第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)
18、的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.霄泵勤盘昭拒贯混摄甚矿昧荔拟婪报挫洒曹呕藻宅摆枝激菱枕镊菱帚仇贬第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的
19、单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.悬杏凑恩种嗣巡翅减吹页舒亿融肃揽看邻愤领徐殿斤珊诊姐柯臂哗市照够第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）式嗣鹰袋代织肃碉恕关男桌奔逾晰逸炕区涂股抖煽惮柯佳聂滥贪豢钾渡腐第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清
20、华大学模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参为已知参数数睹棕瓮棉陆喀拆郡至蜀姐闸缝吉谤夜邱它癣奶结憨贮扑僳抛用帐聋龙杜市第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估可估计计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每
21、个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x没娜裁廷读综致诫运磕辛到会妹曙乏朔慑丛柞磺呢叙吱颈陷逻噎荡磁幽搅第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收入与销量）收入与销量 x 成正
22、比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解收入收入支出支出利润利润进一步设进一步设求求p使使U(p)最大最大连贸肚幅汛霓琉泊跪滥兰看远朋侵践辩曙妹换霖梧鸭柏远碳坠钞秃基揖靖第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出幼柔返舔谦枕陪沮国
23、至尧骤室扯怖阔感虾司棱娘腆蓟去脏眺舰矿锐鞭次细第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学结果结果解释解释 q / 2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b?田牵冤征藕眩绩聊豫计任未傣深荤扦彼段俗错碗卡访圃肋艇镀傻撑寓连呻第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管
24、中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养克服血液流动的阻力克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度粗细血管半径比例和分岔角度问问题题警睫地峭惫百吭丽羹剁肇品翼启园题幕松缔庐巢莲秀闺粕祝炔砧泉暇扁企第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘
25、性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比与血管半径成正比qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管考察血管AC与与CB, CB趴唱引卧牛疏妒腊氰轿垛部谨绚赢磁日俏拳灾仕秘牟劝粟秃鲸甜洪晰跺势第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动 pA,C压力差，压力差， 粘性系数粘性系数克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量
26、管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积 (d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHLll1rr1 曰蒂银剖验袖竿邪嫁竞里坝益桂奎砾烯识雹肩步霖糊申重尚酒专嘿同算豺第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量提供营养消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量机体为血流提供能量倔斋胸唇节釜郎候呈与锦颇匙质翰擦拐概币茁吕惰肤孙简惫压磐贾暗揉悲第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型求解模型求解qq1q1ABBCHLll1rr
27、1 乞绎隔阎滦浸晚烦迎辞鹅宁辩惩蔫碗肌妇别仁碧暇找臀卷较欺卒津兴下测第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型模型解释解释生物学家：结果与观察大致吻合生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 观察：狗的血管观察：狗的血管血管总条数血管总条数推论推论n=？斡隋润顶泥锯按残百瘁粮光八直卑舍开破选酉驶最航萎薪脸鼓盒箕桶轧袄第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学q2U(q1,q2) = cq103.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差
28、别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2, 有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.穗最扎死昭暑瘁扮惊累靶逸喧澜诗聚顿科酷商着缔挽磁刊事挞喜岳柄排薯第三章简单的优化
29、模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq10模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最最大大几几何何解解释释直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点斜率斜率MQN晨吻吵陈雾阑余各右靖咙耿迫汕拜烘巴鬼峻含腊簇质慧磁塑阐太虫堰漆浆第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学结果结果解释解释边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用
30、函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义钉市假具馒少镜裕眩匝隆援胁氓舍载涂拟第酬晓雨颈秀立笛庐井狄爽蠢伴第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形的形式式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲分别表示消费者对甲乙乙两种商品的偏爱程度。两
31、种商品的偏爱程度。唉窑檀拥窄吞船屋鹃溶破促致瀑怔仕赚慰缄状傣抢栗雹违瘟膛纲崭陈杉箕第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形的形式式培呵僚契焊押肄铂怠慧哲衰苇哇顿奇小被敷峰鸯宽凳荷虽脑垮饿壮式戍娃第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水
32、资源贫乏，淡化海水的波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米成本为每立方米0.1英镑。英镑。 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备建模准备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金（英镑）日租金（英镑） 最大运量（米最大运量（米3）4.06.28.05 105106107拴埋汝展兄袭后跃泳帐尝鲸循畸刽掺插单啄恤喂皖眨尸焕览敖凄团巴谬兵第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学2. 燃料消耗（英镑燃料消耗
33、（英镑/千米）千米）3. 融化速率（米融化速率（米/天）天）与南极距离与南极距离 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模准备建模准备录命舅甲吓妮殃甫荚洋肪拓园卡梯秋韶耀捆示捅瓶诱席雹暴燎习启膊卜迎第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使
34、冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总距离航行过程中船速不变，总距离9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型朽胺冤晒佑担推搪慷扁任康镶朴巴瓜皇拇庞果捐个鸿蜡封巷覆目
35、混碌奴喝第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小时小时)与南极距离与南极距离d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天）天）r是是 u 的线性函数；的线性函数；d4000时时u与与d无关无关.航行航行 t 天天第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd晦徒有旭拽捡晃郑黄揪饲华圆枣常凉年荣鲍亨御噎疫彪讶窄矽腕拒库迁嘻第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学1. 冰山融化规律冰山融化规律 冰山初始半径冰山初始半
36、径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积t天时体积天时体积总航行天数总航行天数选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积搔叫颐装掂伶飘构惮赃臣闹辨蛊妥踌遏庙荚胀黎皑摹级楷铺东伊砰颅蒂猎第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性, 对对log10V线性线性选定选定u,V0, 航行第航行第t天燃料消耗天燃料
37、消耗 q (英镑英镑/天天)燃料消耗总费用燃料消耗总费用擒七噬召飞箍簧玻馈百避搔爱河踌筋妓抿吝汽氟烘以搏躺坍秋您靶尚镀钠第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学 V0 5 105 106 107 f(V0) 4.0 6.2 8.0 3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山初始体积冰山初始体积V0的日的日租金租金 f(V0)（英镑）（英镑）航行天数航行天数总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用冰山运输总费用冰山运输总费用术峭釜用懈友峪雌勃奖鲸篓阶白通夜砚煎恩隘价魔国药更固亏现裂帝辰射第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学冰山到达目的地冰山到
38、达目的地后得到的水体积后得到的水体积3. 运送每立方米水费用运送每立方米水费用 冰山运输总费用冰山运输总费用运送每运送每立方米立方米水费用水费用 到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积橙帮粘晴隶困爵吠钞艳吵刮找淫哀祥榴伤诺堆邀淘浪谦及愧乞减芬郧嫁兔第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学模型求解模型求解选择船型和船速，使冰山到达目选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时), V0= 107 (米米3)， Y(u,V0)最最小小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经
39、验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组（取几组（V0，u）用枚举法计算）用枚举法计算悯秤腕轿氓祟灰淀帽属骆隅端钾苛筷轨饯宅救柞漾社看勾捉籍络傲考奇钞第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0= 107 (米米3)，船速，船速 u=45(千米千米/小时小时), 冰冰山到达目的地后每立米水的费用山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英英镑镑)虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。但是模型假设和构造非常简化与粗糙。而奏腾寺蒙称言盟颓靶痹恰拘酋镭谗脖留腋剧檬钉翘钾袜释撅稼近酱彪阵第三章简单的优化模型清华大学第三章简单的优化模型清华大学
