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1、11. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：ABABAB(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C
2、表示大圆与小圆的公共部分,记为：AB,即阴影面积 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合AB、的并集AB的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合AB、的元素个数,然后加起来,即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去CAB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABCABCABBCACABC图示如下：知识要点知识
3、要点教学目标教学目标7-7-5.7-7-5.容斥原理之最值问题容斥原理之最值问题1先包含AB重叠部分AB计算了2次,多加了1次;2再排除ABAB把多加了1次的重叠部分AB减去图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数1先包含：ABC重叠部分AB、BC、CA重叠了2次,多加了1次2再排除：ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行ABC ABBCAC计算时都被减掉了3再包含：ABCABBCACABC2在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考【例例 1】“走美”主试委员会为三八年级准备决赛试题.每个年级12道题,并且至少有8道
4、题与其他各年级都不同.如果每道题出现在不同年级,最多只能出现3次.本届活动至少要准备 道决赛试题.【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【关键词】走美杯,4 年级,决赛,第 9 题【解析】每个年级都有自己8道题目,然后可以三至五年级共用4道题目,六到八年级共用4道题目,总共有864256（道）题目.【答案】56题【例例 2】将 113 这 13 个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 13 个区域中,然后把每个圆内的 7 个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大是多少?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】越是中间,被重复计算的越多,最
5、中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：134+（12+11+10+9）3+（8+7+6+5）2+（4+3+2+1）=240.【答案】240【例例 3】如图,5 条同样长的线段拼成了一个五角星如果每条线段上恰有 1994 个点被染成红色,那么在这个五角星上红色点最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】如下图,下图中“A”位置均有两条线段通过,也就是交点,如果这些交点所对应的线段都在“A”位置恰有红色点,那么在五角星上重叠的红色点最多,所以此时显现的红色点最少,有 19945-(2-1)10=9960 个【答案】9
6、960【例例 4】某班共有学生 48 人,其中 27 人会游泳,33 人会骑自行车,40 人会打乒乓球那么,这个班至少有多少学生这三项运动都会?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析解析解析】（法 1）首先看至少有多少人会游泳、自行车两项,由于会游泳的有 27 人,会骑自行车的有 33 人,而总人数为 48 人,在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下,两项都会的学生至少有27334812人,再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数,至少有1240484人.该情况可以用线段图来构造和示意：例题精讲例题精讲340人33人23|24人 人人 人 人15|16人 人 人48
7、人27人人 人27|2848|0|1（法 2）设三项运动都会的人有x人,只会两项的有y人,只会一项的有z人,那么根据在统计中会n项运动的学生被统计n次的规律有以下等式：3227334048, ,0xyzxyzx y z由第一条方程可得到10032zxy,将其代入第二条式子得到：100248xy,即252xy而第二条式子还能得到式子48xy,即248xyx 联立和得到4852x,即4x 可行情况构造同上【答案】4【巩固】某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有 人【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【
8、题型】填空【解析解析解析】根据题意可知,该班参加竞赛的共有28232071人次由于每人最多参加两科,也就是说有参加2 科的,有参加 1 科的,也有不参加的,共是 71 人次要求参加两科的人数最多,则让这71人次尽可能多地重复,而712351,所以至多有35人参加两科,此时还有 1 人参加 1 科那么是否存在 35 人参加两科的情况呢?由于此时还有 1 人是只参加一科的,假设这个人只参加数学一科,那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215人,参加语文、英语两科的共有281513人,参加数学、英语两科的共有20137人也就是说,此时全班有 15 人参加语文、数学两科,13 人参加语
9、文、英语两科,7 人参加数学、英语两科,1 人只参加数学 1 科,还有 14 人不参加检验可知符合题设条件所以 35 人是可以达到的,则参加两科的最多有 35 人 （当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】35【巩固】60 人中有23的人会打乒乓球,34的人会打羽毛球,45的人会打排球,这三项运动都会的人有22人,问：这三项运动都不会的最多有多少人?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析解析解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人,只会打乒乓球和排球两项的有y人,只会打羽毛球和排球两项的有z人由于只会三项运动中的一项的不可能小于0,所以x、y、z有
10、如下关系：402204522048220xyxzyz将三条关系式相加,得到33xyz,而 60 人当中会至少一项运动的人数有40454822256xyz人,所以 60 人当中三项都不会的人数最多 4 人（当x、y、z分别取7、11、15时,不等式组成立） 【答案】4【例例 5】图书室有 100 本书,借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有33,44 和 55 本,其中同时有甲、乙签名的图书为 29 本,同时有甲、丙签名的图书为 25 本,同时有乙、丙签名的图书为 36 本问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?4C丙B丙A丙【考点】容斥原理之
11、最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】设甲借过的书组成集合 A,乙借过的书组成集合 B,丙借过的书组成集合 CA=33, B=44,C=55,AB=29,AC=25,BC=36本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值,再将其与 100 作差即可ABCABCABACBCABC,当ABC最大时,ABC有最大值.也就是说当三人都借过的书最多时,甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多而ABC最大不超过A、B、C、AB、BC、AC 6 个数中的最小值,所以ABC最大为 25此时ABC=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借过的书最多为 67 本,所以这批图书中最
12、少有 33 本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书,书中有 100 个故事每个人都从某一个故事开始,按顺序往后读已知甲读了 75 个故事,乙读了 60 个故事,丙读了 52 个故事那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】考虑甲乙两人情况,有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个,此时甲单独读过的为 75-35=40 个,乙单独读过的为 60-35=25 个;欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时,应将丙读过的书尽量分散在某端,于是三者都读过书最少为 52-40=12
13、个【答案】12【例例 6】某数学竞赛共 160 人进入决赛,决赛共四题,做对第一题的有 136 人,做对第二题的有 125 人,做对第三题的有 118 人,做对第四题的有 104 人.在这次决赛中至少有_得满分.【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】走美杯,5 年级,决赛,第 10 题【解析】设得满分的人都做对 3 道题时得满分的人最少,有 136+125+118+104-1603=3(人).【答案】3人【例例 7】某班有 46 人,其中有 40 人会骑自行车,38 人会打乒乓球,35 人会打羽毛球,27 人会游泳,则该班这四项运动都会的至少有 人.【考点】容斥原理
14、之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】不会骑车的 6 人,不会打乒乓球的 8 人,不会羽毛球的 11 人,不会游泳的 19 人,那么至少不会一项的最多只有 6+8+11+19=44 人,那么思想都会的至少 44 人【答案】44人【例例 8】在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水,已知甲浇了 30 盆,乙浇了 75 盆,丙浇了 80 盆,丁浇了 90 盆,请问恰好被 3 个人浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空【解析】为了恰好被 3 个人浇过的花盆数量最少,那么被四个人浇过的花、两个人浇过
15、的花和一个人浇过的5花数量都要尽量多,那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是 30 盆,那么接下来就变成乙浇了 45 盆,丙浇了 50 盆,丁浇 60 盆了,这时共有1003070盆花,我们要让这 70 盆中恰好被 3 个人浇过的花最少,这就是简单的容斥原理了,恰好被 3 个人浇过的花最少有45506014015盆【答案】15【巩固巩固】 甲、乙、丙同时给 100 盆花浇水已知甲浇了 78 盆,乙浇了 68 盆,丙浇了 58 盆,那么 3 人都浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4 星 【题型】填空【解析】只考虑甲乙两人情况,有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100
16、=46 盆,此时甲单独浇过的为 78-46=32盆,乙单独浇过的为 68-46=22 盆;欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时,应将丙浇过的花尽量分散在两端于是三者都浇过花最少为 58-32-22=4 盆【答案】4【巩固巩固】 在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水,已知甲浇了 30 盆,乙浇了 75 盆,丙浇了 80 盆,丁浇了 90 盆,请问恰好被 1 个人浇过的花最少有多少盆?【考点】容斥原理之最值问题 【难度】5 星 【题型】填空【解析】100 盆花共被浇水 275 次,平均每盆被浇2.75次,为了让被浇 1 次的花多,我们也需要被浇 4 次的花尽量多,为 30 盆,那么余下 70 盆共被浇 155 次,平均每盆被浇2.21次,说明需要一些花被浇 3 次才可以我们假设 70 盆都被浇 3 次,那么多出 55 次,每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变 27 次,所以本题答案为 27 盆【答案】27
