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1、功的计算举例功的计算举例1 1、摩擦力的功、摩擦力的功2 2、重力、弹簧的弹力、重力、弹簧的弹力、 万有引力的功万有引力的功与过程有关与过程有关与过程无关与过程无关引入引入保守力保守力及在保守力场中引入及在保守力场中引入势能势能的概念的概念一一. .保守力：做功只与始末位置有关保守力：做功只与始末位置有关, ,而与而与路径无关的力路径无关的力. .2.3 2.3 势能机械能守恒定律势能机械能守恒定律重力重力万有引力万有引力弹力弹力是保守力是保守力 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零它所作的功为零非保守力非保守力: :力所作的功与路径有关力
2、所作的功与路径有关 . .（例如摩擦力）（例如摩擦力）重力的功：重力的功：弹力的功：弹力的功：万有引力的万有引力的功：功： 三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位置有关的三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位置有关的两个位置函数之差，既然两个位置函数之差，既然功是能量变化的量度功是能量变化的量度，左面是功，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种能量的变化又总是等右面必代表某种能量的变化。而这种能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位置函数必代表一种能量于两个位置函数之差，故这种位置函数必代表一种能量-位能位能( (或势能或势能) )。二、二、 势能势能位能位能(或势能或势能)Ep
3、 ：与物体间相互作用及相对与物体间相互作用及相对位置有关的能量位置有关的能量 。重力的功：重力的功：弹力的功：弹力的功：万有引力的万有引力的功：功：势能是属于相互作用的物体系统所共有，若没势能是属于相互作用的物体系统所共有，若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。有相互作用的系统，无从谈势能的概念。“某某物体的势能物体的势能”只是习惯的说法。只是习惯的说法。2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势能值。能为零，以便给出其它点的势能值。这个被规这个被规定的势能零点位置称为参考点定的势能零点位置称为参考点。例如规定例如规定则则a点的
4、势能点的势能到此是否给出了势能的定义呢？到此是否给出了势能的定义呢？只给出了势能之差的概念。（只给出了势能之差的概念。（4）式右边的两）式右边的两项都加或减一个常数，等式仍成立项都加或减一个常数，等式仍成立这说明：这说明：1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值保守力的功保守力的功（4）因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考点选择以后势能的值就是唯一的了。点选择以后势能的值就是唯一的了。只有物体之间的相互作用力是保守力，只有物体之间的相互作用力是保守力，才能建立势能的概念。才能建立势能的概念。注意：注
5、意：例如就不能引入摩例如就不能引入摩擦力势能的概念擦力势能的概念参考点参考点mmmmA1A2A33 3）计算势能可以任选一个你认为方便的路径。计算势能可以任选一个你认为方便的路径。例：重力势能，以例：重力势能，以地面为参考点地面为参考点，势能：选取从势能：选取从a-ba-b点的路径，则：点的路径，则：例：弹性势能，例：弹性势能，以弹簧的平衡位以弹簧的平衡位置为势能零点置为势能零点o oa ab bmgmgo oy y例：万有引力势能，例：万有引力势能，选取选取 远为势能远为势能的零点的零点4）势能的值是相势能的值是相对参考点而言的，对参考点而言的，参考点选择不同势参考点选择不同势能的值不同。能
6、的值不同。M M地地a ac ca ab b 重力势能重力势能 零点可以任意选取，弹性势能选平衡零点可以任意选取，弹性势能选平衡位置为势能零点。位置为势能零点。 原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则上可以任意选择，但要以研究问题方便为原则原则如何选择参考点如何选择参考点：万有引力势能常以无穷远为参考点。万有引力势能常以无穷远为参考点。保守力做功与势能变化的关系保守力做功与势能变化的关系或：或：即：保守力做功等于势能的减少或势能增量即：保守力做功等于势能的减少或势能增量的负值的负值功能原理实际上是系统动能定理的变形。功能原理实际上是系统动能定理的变形。三、三、 功能原理功能原理第一个质点
7、：第一个质点：第二个质点：第二个质点：第第n n个质点：个质点：、合力合力外力外力内力内力保守内力保守内力非保守内力非保守内力A A合力合力A A外力外力A A内力内力A A保守内力保守内力A A非保守内力非保守内力A A合合A A外外A A保守内力保守内力A A非保守内力非保守内力E Ek2k2E Ek1k1（E Ep2p2E Ep1p1）A外外A非保守内力非保守内力+【（Ep2Ep1）】）】=Ek2Ek1“同状态的量同状态的量”合并：合并：令令称为系统的机械能称为系统的机械能式中式中分别为作功前后系统的机械能分别为作功前后系统的机械能A外外A非保守内力非保守内力=(Ek2Ek1 ）+（Ep
8、2Ep1）A A外外A A非保守内力非保守内力=(=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）系统的功能原理系统的功能原理说明说明: :1 1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改系统的机械能改系统的机械能. .功能原理功能原理: :系统的机械能的增量等于外力及非系统的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之总和保守内力作功之总和. .2 2）功能原理与动能功能原理与动能定定理并无本质差别理并无本质差别 , ,区别在于区别在于功能原理引入了势能概念功能原理引入了势能概念, ,而无需计算保守力的功而无需计算保守力的功. .动能动能定定理则应计算包括保守内力
9、在内的所有力的功理则应计算包括保守内力在内的所有力的功. .例例: 提高杠铃的机械能靠外力提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动而马达的停止转动是靠非保守内力是靠非保守内力-摩擦力摩擦力.或：或：机械能守恒定律机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以外，：如果系统内除保守内力以外，其它外力及和非保守内力都不作功或者所作的功其它外力及和非保守内力都不作功或者所作的功为零，那么系统的总机械能保持不变。为零，那么系统的总机械能保持不变。四四、机械能守恒定律机械能守恒定律2 2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。特例。能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化，
10、只能量守恒定律：能量不能消灭，只能转化，只能从一种形式向另一种形式转化。能从一种形式向另一种形式转化。注意：注意： 1 1）机械能守恒的条件：）机械能守恒的条件：并非：并非：例例 一条均匀链条，质量为一条均匀链条，质量为m，总长总长 ，m成成直线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数直线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为为 。现已知链条下垂长度为。现已知链条下垂长度为a a时，链条开始下滑，时，链条开始下滑，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。解：法解：法1 1）利用动能定理）利用动能定理以链条为研究对象以链条为研究对象求重力的功：求重力的功：GTTx
11、求重力的功：求重力的功：求摩擦力的功：求摩擦力的功：代入动能定理：代入动能定理：法法2 2）以链条和地球为研）以链条和地球为研究对象利用功能定理究对象利用功能定理由功能原理：由功能原理：以台面为势能零点以台面为势能零点法法3 3）以链条为研究对象利用牛顿运动定律）以链条为研究对象利用牛顿运动定律： 例例 2 有一轻弹簧有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的其一端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P, 另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并小球穿过圆环并在圆环上运动在圆环上运动(不计摩擦不计摩擦) .开始小球静止于点开始小球静止于点 A, 弹簧处弹簧处于自然状态于自然状态,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环的当小球运动到圆环的底端点底端点B时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数.解解 以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，只有保守内力做功只有保守内力做功系统机械能守恒系统机械能守恒取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点又又 所以所以即即系统机械能守恒系统机械能守恒图中图中 点为重力势能零点点为重力势能零点
