概率论与数理统计第一章

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1、湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室第一章第一章 概率论的概率论的基本概念基本概念蕾胃贡遇樟错结邢克监猎蚊藕滤呐潭堂蓟撮浊酗伴毯崩奋辞凤搀雅帖趟吭概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章篱问卿赃些吟侣挝佩琶咖匈渝刀沈宇棍承砚戍购砾棒钨己斤祸绽织乞青冰概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 概率论的基本概念概率论的基本概念第二节 事 件 的 概 率第三节第三节 古典概率模型古典概率模型第四节 条件概率第五节 事件的独立性七卤距率焚夫烦皱寝纯气挥闻澜绘效壳壹谅苛咀埂悉我遣裳蛮佰均利喊妒概率论与数理统计第一章概率

2、论与数理统计第一章一、一、 随机试验与事件随机试验与事件I. I. 随机试验随机试验 1. 随机试验随机试验 把对某种随机现象的一次把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等称为一个试验。如果观察、观测或测量等称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为试验为随机试验，也简称为试验，记为E E。注：以后所提到的试验均指随机试验。注：以后所提到的试验均指随机试验。审待垦沮麦亿毗珊弓后航彬簧骆玻吐镣叼钉诌盒站炙撅褪讨费焕逊所曹粕概率论与数理统计第一章

3、概率论与数理统计第一章随机试验举例：随机试验举例： E E1 1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几；掷一颗骰子，观察所掷的点数是几； E E2 2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数；观察某城市某个月内交通事故发生的次数； E E3 3: 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命；观察其使用寿命； E E4 4: 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命是否小观察其使用寿命是否小 于于200200小时。小时。堆乏译闯顿乳句羽弛鬃集拂冯镑劲擒昭短杭柞揭雷孕撰金宜声叠焦姚喜询概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 对于随机试验对于随机试验, ,仅管在每次试验之仅管

4、在每次试验之前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结果所组成的集合却是已知的。果所组成的集合却是已知的。 若以若以i表示试验表示试验Ei的样本空间的样本空间, i=1,2,3,4, 则则 E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几，掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6； 称试验所有可能称试验所有可能结果所组成的集合为样本空间结果所组成的集合为样本空间,记为记为。2. 样本空间样本空间 样本空样本空间的元素间的元素, 即即随机试验的单个结果称为样本点随机试验的单个结果称为样本点。褒扬剖齐嗓魂钨搬絮切懂住堪耽厉翻烁趋水契骇匈

5、闪规共贵壤醉钻缕颊句概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章uE E2 2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数，观察某城市某个月内交通事故发生次数， 2 2=0,1,2,=0,1,2, ；uE E3 3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命，对某只灯泡实验，观察其使用寿命， 3 3=t,t0=t,t0；uE E4 4: 对某只灯泡做实验对某只灯泡做实验, ,观察其使用寿命是否观察其使用寿命是否 小于小于200200小时，小时， 4 4=寿命小于寿命小于200200小时，寿命不小于小时，寿命不小于200200小时小时 。爷葱癌斑结躬寂茎耘畏始爬轰振睡卿双拖圭摊纷碰呆刨虑明犀敝辱菇动妆概率论与数

6、理统计第一章概率论与数理统计第一章II. II. 随机随机事件事件 把样本空间的任意一个子集称为一个随机把样本空间的任意一个子集称为一个随机事件事件, ,简称事件。常用大写字母简称事件。常用大写字母A,B,C,A,B,C,表示。表示。 特别地特别地, ,如果事件只含一个试验结果如果事件只含一个试验结果( (即样即样本空间的一个元素本空间的一个元素),),则称该事件为基本事件。则称该事件为基本事件。囱康蜀邪粟博污姑房考蔬灾舶油那祝嚷胸镁折蔷共产玄膨达厢氖阮滴掷屎概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 写写出试验出试验E E1 1的样本空间的样本空间 1 1=1,2,3,4,5,6=1,2,

7、3,4,5,6的下述子集合表示什么的下述子集合表示什么事件？指出哪些是基本事件。事件？指出哪些是基本事件。 A A1 1=1,A=1,A2 2=2,=2,A,A6 6=6=6 分别表示掷的分别表示掷的结果为结果为“一点一点”至至“六点六点”, ,都是基本事件；都是基本事件； B=2,4,6B=2,4,6 表示掷的结果为表示掷的结果为“偶数点偶数点”，非基本事件；，非基本事件； C=1,3,5,C=1,3,5, 表示表示“掷的结果为奇数点掷的结果为奇数点”，非基本事件；，非基本事件； D=4,5,6D=4,5,6 表示表示“掷的结果为四点或掷的结果为四点或四点以上四点以上”，非基本事件。，非基本

8、事件。例例 1 1： 趣闷休域胯寺厘默爵哲化棍衙总短珊庶疲虑遏追垄桩绑迹胆浚资献扑蚀索概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 当结果当结果A A时时, , 称事件称事件A A发生发生。 注意：注意： (1).(1).由于样本空间由于样本空间包含了所有的样本点包含了所有的样本点, ,且是且是 自身的一个子集。故自身的一个子集。故, ,在每次试验中在每次试验中总总 是发生。因此是发生。因此, , 称称必然事件必然事件。 (2).(2).空集空集 不包含任何样本点，但它也是样本空不包含任何样本点，但它也是样本空 间间的一个子集的一个子集, ,由于它在每次试验中肯定由于它在每次试验中肯定 不发生

9、，所以称不发生，所以称 为为不可能事件不可能事件。注意注意: 只要做试验只要做试验, ,就会产生一个结果就会产生一个结果, ,即样即样 本空间本空间中就会有一个点中就会有一个点( (样本点样本点 ) )出现。出现。慈趟段竖胎嗓硕葬将经秸盂转贵唁龟朴宰磷填颈玖岿握黍从艺窃浓陇弘逮概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章二、二、事件的关系与运算事件的关系与运算I. I. 集合与事件集合与事件 回忆回忆: : 做试验做试验E E时时, ,若若 A A, ,则称事件则称事件A A发生。发生。集合集合A A包含于集包含于集合合B B：若对若对 A, A, 总有总有B B，则称则称集合集合A A包含包

10、含于集合于集合B B，记成，记成A B。事件事件A A包含于事件包含于事件B:B:若事件若事件A A发生必发生必有事件有事件B B发生，则发生，则称事件称事件A A包含于事包含于事件件B,B,记成记成A B。序茂搅硅恳委芬攻洁更肉轧章泵脆亲衬乓沦咕闪道鲜劲讶俗骗开障更俭射概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章集合集合A与与B的并或和：的并或和：若若 C, 当且仅当当且仅当 A A或或B,B,则称集合则称集合C C为集合为集合A A与与B B的并或和的并或和, ,记成记成AB 或或 A+B。事件事件A与与B的并的并或和：或和：若事件若事件C发生，当且发生，当且仅当事件仅当事件A A或或C

11、C发生，则称事发生，则称事件件C C为事件为事件A A与与B的并或和，的并或和，记成记成AB 或或 A+B。若若A A B,B,且且B B A A，则称事件，则称事件A A与与B B相等相等，记成，记成A=BA=B。粘差奏擎刘焦曝费注拟住苞浊躯扛扮躺抠居碍漾掂檄怕烩谆菌往番颜帝讲概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章无穷多个事件无穷多个事件A A1 1,A,A2 2, ,的和的和n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n的和的和C C发生就是发生就是A A1 1,A,A2 2, ,，A An n中至中至少一个事件发生。少一个事件发生。C C发生就是发生就是A A1 1,A

12、,A2 2中至中至少一个发生。少一个发生。迂片焚邓酌窑依恶佣殊衡胯趟婪烫按腮纬侨垛乓键翅柴铸琐州猿冯梨扶鸵概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章集合集合A与集合与集合B的交或积：的交或积：若若 C，当且仅，当且仅当当 A且且B, 则称集合则称集合C为集为集合合A与与B的的交或交或积积, 记成记成A AB B或或ABAB。事件事件A与与B的积或交：的积或交：若事件若事件C C发生，当且仅发生，当且仅当事件当事件A A与与B B同时发生，同时发生，则称事件则称事件C C为事件为事件A与与B的积或交的积或交, 记成记成 A AB B或或ABAB。哭柳汽禾颤舵咳盛空轰溪蝴白瓣叭能详巧涵箕痰妖貌虚

13、雌聚桑秃客札治螺概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章特别地特别地, ,当AB=AB=时时, ,称称A A与与B B为互斥事件为互斥事件( (或互不相容事件或互不相容事件),),简称简称A A与与B B互斥。也互斥。也就是说事件就是说事件A A与与B B不不能同时发生。能同时发生。例例 1(1(续续) ) A A1 1=1, A=1, A2 2=2,=2,于是于是A A1 1A A2 2=。故。故A A1 1与与B B2 2互斥；互斥； B=2,4,6,C=1,3,5, B=2,4,6,C=1,3,5,于是于是BC=,BC=,故故B B与与C C也互斥。也互斥。卵众蟹喂夯爸汉嘛畏寿搀足笨

14、彪附钡纬凝赋阵瑟韭鞍碍皑稿佯秦拇菩耕丙概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章无穷多个事件无穷多个事件A A1 1,A,A2 2, ,的积的积n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n的积的积C C发生就是发生就是A A1 1,A,A2 2, ,，A An n都发生。都发生。C C发生就是发生就是A A1 1,A,A2 2, ,，都发生。都发生。. .闺效挝茸魂蛀妮万减檄尘亏萨垄仁梳财炊菌垦萝隶于搀骡肪扶银眶骂柏逐概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章集合集合A与集合与集合B的差：的差：若若 C当且仅当当且仅当 A且且B ，则称集合C为集合A与与B B的差，记成的差，

15、记成 A A- B B。事件事件A与与B的差：的差：若事件若事件C C发生当且发生当且仅当仅当事件事件A A发生发生且且事件事件B B不发生不发生, ,则则称事件称事件C C为事件为事件A A与与B B的差的差, ,记成记成A A-B B。春袁男穆殴侍勇薄邑气郝沫挪淹谜捏素咱所钧凤霄呵菠宜秩保情侮壤剩尹概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章特别地，特别地，称称-A-A为为A A的对立事件的对立事件( (或或A A的的逆事件、补事件逆事件、补事件) )等等, ,记成记成A A 。例例1(1(续续) ) A A1 1=1, =1, B=2,4,6,B=2,4,6,于是于是A A就是就是A A

16、不发生。不发生。侮位燎鉴关颓曝荧惦去权艳桩姻舰化组低设仁担匪槐赴游肤漓踞斋缓婆堑概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章u交换律交换律: : A AB=BA AB=BAB=BA AB=BAu结合律结合律: A(BC)=: A(BC)=(A(AB)CB)C A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)Cu分配律分配律: A(BC)=: A(BC)=A ABAC BAC A(BC)= A(BC)=(A(AB)(AC)B)(AC)u对偶律对偶律: :II. II. 事件的运算法则事件的运算法则 ( (与集合运算法则相同与集合运算法则相同) )还有常用不是A,B中至少有一个发生A,B都不发生甲羚燎

17、媚繁宰优卷轴榜哑捅撂叛昧隅聋点嗡滔绊潭与险屯简挎旷迅箭欲语概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章对于多个随机事件对于多个随机事件, ,上述运算规则也成立上述运算规则也成立A(AA(A1 1AA2 2AAn n) ) =(AA =(AA1 1)(AA)(AA2 2)(AA(AAn n) )化调惯残忠癣搜晦庶巍保酷歉有垫趣泽甄沈绩理责幽妇洲荐肤泄翁烬现径概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 小结小结 本节首先介绍了随机试验、样本本节首先介绍了随机试验、样本空间的基本概念，然后给出了随机空间的基本概念，然后给出了随机事件的各种运算及运算法则。事件的各种运算及运算法则。皂愁埔办殊鹊匆铣闭

18、畔零窑册植目伙锣炸荒褪尚瓜回蹈石斩瘪洗枝误祁豢概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第一章第二节 事 件 的 概 率福擞悍神藏但神渠忠章钮啪足裴措秸雇妄返溅赏毋项双谱应吾刊妹蒲帖突概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章l频率频率一、频率与频率稳定性一、频率与频率稳定性 则称则称m m为事件为事件A A在在n n次试验中次试验中发生的频数或频次发生的频数或频次, ,称称m m与与n n的比值的比值m/nm/n为事件为事件A A在在n n次试验中发生的频率次试验中发生的频率, ,记记为为f fn n(A)(A)。 设设A是一个事件

19、在相同的条件下进是一个事件在相同的条件下进行行n次试验次试验,在这在这n次试验中次试验中,事件事件A发发生了生了m次。次。怪颖蹿翔蛤艇活暖踩丛踊性匙妙熟具臀碌昭柞檄音掷舆亚禄巡窥卫秤迭称概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 当试验次数充分大时，事件的频率当试验次数充分大时，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，数越多，一般说来一般说来摆动的幅度越小摆动的幅度越小 。这。这一性质称频率的稳定性。一性质称频率的稳定性。请看下面试验请看下面试验掷硬币试验掷硬币试验掷骰子试验掷骰子试验魔茧揪冈帘舞柳擎填追建兄囱纶捞许碧旷皑家各疫磊蓬土丫嘴踩圭损沿

20、贷概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 频率在一定程度上反映了事件在一次频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。仅管每进行一试验中发生的可能性大小。仅管每进行一连串（连串（n次）试验，所得到的频率可能各次）试验，所得到的频率可能各不相同，但只要不相同，但只要 n足当大，频率就会非常足当大，频率就会非常接近一个固定值接近一个固定值概率。概率。 因此，概率是可以通过频率来因此，概率是可以通过频率来“度量度量”的。频率是概率的近似。的。频率是概率的近似。菌望裴哇奶鄙汞迪宗咬尚巡历屎克僳萧煌又沪却弦雄法遣页胎今从曝彼功概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 考虑在相同条件

21、下进行的考虑在相同条件下进行的S 轮试验轮试验第二轮试验试验次数试验次数n2事件事件A出现出现m2次次第S轮试验试验次数试验次数ns事件事件A出现出现ms 次次试验次数试验次数n1事件事件A出现出现m1次次第一轮试验事件事件A在各轮试验中的频率形成一个数列在各轮试验中的频率形成一个数列下面我们来说明频率稳定性的含义下面我们来说明频率稳定性的含义紊衫亦热卷寥叹筷沃蚀俏枣剖玖扳氨租湍醉各剖氧撒奠甸淹息禄鹏先己肋概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 指的是：各轮试验次数指的是：各轮试验次数n1, n2, , ns 充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们

22、与某固定的出现的频率之间、或者它们与某固定的数值相差甚微数值相差甚微 。频率频率 稳定在概率稳定在概率 p 附近附近 频率稳定性频率稳定性虾咙脾硝界莎漱递荚阜以葵禾血踌冉卑纯掳弓著矗烤梢铜撮脖懈油泰躲杏概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 这种稳定性为这种稳定性为用统计方法求概率用统计方法求概率开拓开拓了道路。了道路。 在实际中，当概率不易求出时，人们常在实际中，当概率不易求出时，人们常用试验次数很大时事件的频率作为概率的估用试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，计值，并称此概率为统计概率。并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为这种确定概率的方法为频率法频率法。独滴禹翻姬葫烂躯

23、芽晋祟柜抉窿炉趾簇婴矾渗铸漫则蜒渔吼掘芽澈搐勘十概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例如如，若若我我们们希希望望知知道道某某射射手手中中靶靶的的概概率率，应应对对这这个个射射手手在在相相同同条条件件下下大大量量的射击情况进行观察、并记录。的射击情况进行观察、并记录。 假设他射击假设他射击n次次,中靶中靶m次次, 当当n很大很大时时,可用可用频率频率m/n作为作为其中靶概率之估计。其中靶概率之估计。础扬迷相巳奏痉中镑村荧苑驼征必崎伎吁炳笨重而噎竹稼八铲湖池厨闰嫂概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章1 0 fn( A) 1；2 fn()=1, fn()=0；3. 若事件A1,A2

24、,Ak两两互斥, 则:l性质性质二、二、 事件概率事件概率I. I. 概率的定义概率的定义叶浚睛拢与渭拯举签热签堂掺惺营酞乍草往酶谍坪符鲍瓜叫旱拈模滞工店概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章下面介绍用公理给出的概率定义下面介绍用公理给出的概率定义 1933年，前苏联数学家年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率柯尔莫哥洛夫给出了概率的的公理化定义公理化定义。侧襟凿肄橇回攀藩砚钙蔚彦萍典祝矮谊感劝感赦增狰功疡稍彦瘪眼节钳首概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章概率的公理化定义概率的公理化定义公理公理2 P(P()=1)=1 ; (2) 公理公理3 若事件若事件A1, A2 , 两两互

25、不相容，则两两互不相容，则有有 (3)这里事件个数可以是有限或无限的这里事件个数可以是有限或无限的 。 设设E是随机试验，是随机试验， 是它的样本空间，是它的样本空间，对于对于 中的每一个事件中的每一个事件A，赋予一个实数，赋予一个实数，记为记为P(A) ，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函的概率，如果集合函数数 P( ) 满足下述三条公理满足下述三条公理:公理公理1 (1)奖玩贯眠免围槛羡钵蝇刻滑瘟漱沿瘴袄崎沸挟钧杯蛀碰砚菩赫肤淤尊跋婿概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 公理公理1说明，任一事件的概率介于说明，任一事件的概率介于0与与1间；间；公理公理2说明，必然事件的概率等于

26、说明，必然事件的概率等于1；公理公理3说明，对于任何两两互不相容说明，对于任何两两互不相容(互斥互斥)的事件序列，这些序列事件并的概率等于的事件序列，这些序列事件并的概率等于各事件概率之和。各事件概率之和。位秉荆猎哄紊蜡峨需懂比柑夺迂镊凋诞距宰旗骸河戌缅脸掣洁恿沧朽碉崩概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章IIII、概率的性质概率的性质 1.P(1.P()=0)=0，即不可能事件的概率为零；，即不可能事件的概率为零； 2.2.若事件若事件A A1 1,A,A,，A An n两两互斥两两互斥, ,则有则有: : P(A P(A1 1AA2 2AAn n)=P(A)=P(A1 1)+)+P(

27、A+P(An n),), 即互斥事件之并的概率等于它们各自即互斥事件之并的概率等于它们各自 概率之和概率之和( (有限可加性有限可加性););4.4.对两个事件对两个事件A A和和B,B,若若A A B, B, 则有则有: : P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)P(A)。3. 对任一事件对任一事件A,均有均有润缓舷叶嘎英多是府毒洋盘骸壤误噬主征麓争简秉序放郧漫虽腻斤瓣佑驴概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章证明：证明：性质性质5对任意两个事件对任意两个事件A、B，有，有因因得，得，再由再由及性质及性质3，得得(8)式成立。式

28、成立。耸狈玩帧复做阎逝写懒肋喂来芹矾碴夸郝轩刹绿咸逃娱粉粥船预岁延独笑概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章J 说明说明n个事件并的多除少补公式个事件并的多除少补公式特别地，特别地，n=3时时洞偏唤企品愈踊朋检林纺驶戏胜传爆叔夹珠麦博大更肚国噶痈议偶鸡捎嗡概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章小结 本节首先介绍了频率的概念，指出本节首先介绍了频率的概念，指出在试验次数充分大条件下，频率接近在试验次数充分大条件下，频率接近于概率结论；然后给出了概率的公理于概率结论；然后给出了概率的公理化定义及概率的主要性质。化定义及概率的主要性质。搁划证杂秸莫弘诧彻习脏骨矣粥虑寡竭仕省恋编袄烷溺刮茁

29、拓庞鹏簧驳橱概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章湖南商学院信息系湖南商学院信息系 数学教研室数学教研室 第一章第三节 古典概率模型古典概率模型件钨蒂定兄炊术施钡咙硫捂喘躁獭殿签版遵容锦票驴逸赋鲤汐盟袱摸嗣卷概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章I I. . 什么是古典概率模型什么是古典概率模型如果试验如果试验E E满足满足 (1) (1) 试验结果只有有限种，试验结果只有有限种， (2) (2) 每种结果发生的可能性相同。每种结果发生的可能性相同。则称这样的试验模型为则称这样的试验模型为等可能概率模型等可能概率模型或或古典概率模型古典概率模型，简称为简称为等可能概型等可能概型或或

30、古典古典概型概型。澜芍峪超褥梢假红汗埔墙蓖侵披累整奇伪思渭澈过蔓第吾蜕蓄脯喊挚拉听概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章II. II. 古典概率模型中事件概率求法古典概率模型中事件概率求法 因因试验试验E E的结果只有有限种的结果只有有限种, ,即样本点是有即样本点是有限个限个: : 1 1, , 2 2 , , , n n ，其中，其中 = 1 1 2 2 n n ， i i 是基本事件，且它们发生的概率都相等。是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有于是，有 1=P()=P(1=P()=P( 1 1 2 2 n n) =P( =P( 1 1)+P()+P( 2 2 )+)+P(

31、+P( n n) =nP( =nP( i i), i=1,2,), i=1,2,n n。从而，从而，P(P( i i)= 1/n= 1/n，i=1,2,i=1,2,nn。裔自雪贷幕量拨败瘤锋友跺能匝忌欲乒措滓梧崎砸旷渤独游拯蠢鸥驳焚骚概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章因此，若事件因此，若事件A A包含包含k k个基本事件，有个基本事件，有 P(A)=k P(A)=k (1/n)=k/n(1/n)=k/n。III. III. 古典概模型的例古典概模型的例例例1 1：掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，设设:A:A表示所掷结果为表示所掷结果为“四点或五点四点或五点”； B B表示所掷结果为表

32、示所掷结果为“偶数点偶数点”。求求:P(A):P(A)和和P(B)P(B)。解：解：由由n=6n=6，k kA A=2,=2,得得P(A)=2/6=1/3P(A)=2/6=1/3；再由再由k kB B=3=3，得，得P(B)=3/6=1/2P(B)=3/6=1/2。客坞盏鼠笛丢芹桔其君牌百蛾烘迷命雕调岛葫恕饺玄王允侍罐凝怜莎主抠概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例2：解解: 货架上有外观相同的商品货架上有外观相同的商品1515件，其中件，其中1212件来自产地甲件来自产地甲, 3, 3件来自地乙。现从件来自地乙。现从1515件商品件商品中随机地抽取两件中随机地抽取两件, ,求这两件

33、商品来自一同产求这两件商品来自一同产地的概率。地的概率。 从从1515件商品中取出件商品中取出2 2商品商品, ,共有共有C C2 21515 =105 =105种种取法取法, ,且每种取法都是等可能的，且每种取法都是等可能的，故故n=105n=105。令令 A= A=两件商品都来自产地甲两件商品都来自产地甲,k,kA A= C= C2 21212=66,=66, B= B=两件商品都来自产地乙两件商品都来自产地乙,k,kB B= C= C2 23 3 =3 =3，而而事事件件:两两件件商商品品来来自自同同一一产产地地=A=ABB, ,且且A A与与B B互斥互斥, ,AB包含基本事件数包含基

34、本事件数66+3=6966+3=69。故，所求概率故，所求概率=69/105=23/35=69/105=23/35。背宙萌眉氯加操席甭靴婴臀蒋慢瑟卒如口薄牢置钻烬诊疚促陈烃挛览障拭概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例3 ：有外观相同的三极管有外观相同的三极管6 6只只, ,按其电流放大按其电流放大系数分类系数分类,4,4只属甲类只属甲类,2,2只属乙类。按下列两种只属乙类。按下列两种方案抽取三极管两只方案抽取三极管两只, ,(1).(1).每次抽取一个只每次抽取一个只, ,测试后放回测试后放回, ,然后再抽取然后再抽取 下一只下一只( (放回抽样放回抽样););(2).(2).每次

35、抽取一只每次抽取一只, ,测试后不放回测试后不放回, ,然后在剩下然后在剩下 的三极管中再抽取下一只的三极管中再抽取下一只( (不放回抽样不放回抽样) )。设设A=A=抽到两只甲类三极管抽到两只甲类三极管 ,B=,B=抽到两只同类抽到两只同类三极管三极管 ,C=,C=至少抽到一只甲类三极管至少抽到一只甲类三极管 ,D=,D=抽抽到两只不同类三极管到两只不同类三极管 。求：求：P(A),P(B),P(C),P(D)P(A),P(B),P(C),P(D)。烙站副丹绽骋宾盗杠犬啄使逼队醛盘疼快槽沙鲸疏翰赵睛淳友浚亦豁柏琉概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解: (1). (1).由于每次抽

36、测后放回由于每次抽测后放回, ,因此因此, ,每次都是每次都是在在6 6只三极管中抽取。因第一次从只三极管中抽取。因第一次从6 6只中取一只中取一只只, ,共有共有6 6种可能取法；第二次还是从种可能取法；第二次还是从6 6只中取只中取一只一只, ,还是有还是有6 6种可能取法。种可能取法。故故, ,取两只三极管取两只三极管共有共有6 6 6=36 6=36 种可能的取法。从而种可能的取法。从而,n=36,n=36。注意注意: :这种分析方法使用的是中学学过的这种分析方法使用的是中学学过的 乘法原理乘法原理羡猩睦毁叭霄枉嘴沦吩椎撇姑张巾堕身洲狙雹涡继屯机松救眶艺避樊丽撼概率论与数理统计第一章概

37、率论与数理统计第一章 因每个基本事件发生的可能性相同因每个基本事件发生的可能性相同, ,第一第一次取一只甲类三极管共有次取一只甲类三极管共有4 4种可能取法种可能取法, ,第二第二次再取一只甲类三极管还是有次再取一只甲类三极管还是有4 4种可能取法。种可能取法。所以所以, ,取两只甲类三极管共有取两只甲类三极管共有 4 4 4=16 4=16 种可种可能的取法能的取法, , 即即k kA A=16=16。故。故 P(A)=16/36=4/9 P(A)=16/36=4/9；令令E E=抽到两只乙类三极管抽到两只乙类三极管 ,k,kE E= =2 2 2=42=4。故。故 P(E)=4/36=1/

38、9; P(E)=4/36=1/9; 因因C C是是E E的对立事件，故的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9 P(C)=1-P(E)=8/9；因因B= AB= AEE , ,且且A A与与E E互斥互斥, ,得得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D D是是B B的对立事件的对立事件, , 得得 P(D)=1-P(B)=4/9 P(D)=1-P(B)=4/9。梗瑚掷馒票贤斋妈颤琐妈捐掌儒紧锐公搞改奥稚讯磁声啡踩噶拖氏终玩轻概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章(2).(2).由于第一次抽测后不放回由于第一次抽测后不放回, ,因此因此, ,

39、第一次第一次从从6 6只中取一只只中取一只, ,共有共有6 6种可能的取法；第二次种可能的取法；第二次是从剩余的是从剩余的5 5只中取一只只中取一只, ,有有5 5种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理，知取两只三极管共有由乘法原理，知取两只三极管共有n=6n=6 5=305=30种可能的取法。种可能的取法。由乘法原理由乘法原理, ,得得 k kA A=4=4 3=12, 3=12, P(A)=12/30=2/5;P(A)=12/30=2/5;k kE E= =2 2 1=21=2，P(E)=2/30=1/15;P(E)=2/30=1/15;由由C C是是E E的对立事件的对立事件, ,得得P

40、(C)=1-P(E)=14/15P(C)=1-P(E)=14/15；由由B=AB=AEE, ,且且A A与与E E互斥互斥, ,得得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由由D D是是B B的对立事件的对立事件, , 得得 P(D)=1-P(B)=8/15 P(D)=1-P(B)=8/15。气鬼隅柒卓郑援收芜碰谐肾惧蹭浪傻询瞬额笔夷硫夸茄亚夕丰衣豢涟孙灰概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例4 4：n n个球随机地放入个球随机地放入N(NN(Nn)n)个盒子中个盒子中, ,若盒若盒子的容量无限制。求子的容量无限制。求“每个盒子中至多有

41、一球每个盒子中至多有一球”的概率。的概率。 因因每个球都可以放入每个球都可以放入N N个盒子中的任何一个个盒子中的任何一个, , 故故每个球有每个球有N N种放法。种放法。由乘法原理由乘法原理, ,将将n n个球放个球放入入N N个盒子中共有个盒子中共有N Nn n种不同的放法。种不同的放法。 每个盒子中至多有一个球的放法每个盒子中至多有一个球的放法( (由乘法由乘法原理原理得得): N(N-1): N(N-1)(N-(N-n+1)=An+1)=AN Nn n 种。种。故，故， P(A)= P(A)= A AN Nn n/ /N Nn n。替风峦砾全鄙完霓涤隐手爱痪语眶停橱递念材梆哩墒刃想隘纸

42、耶苔庐普奇概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 设每个人在一年设每个人在一年( (按按365365天计天计) )内每天出内每天出生的可能性都相同生的可能性都相同, ,现随机地选取现随机地选取n(n365)n(n365)个人个人, ,则他们生日各不相同的概率为则他们生日各不相同的概率为 A A365365n n/365/365n n。于是于是, , n n个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率为为 1- A 1- A365365n n/365/365n n。(请打开请打开P14 表表1.3.1) 许多问题和上例有相同的数学模型。许多问题和上例有相同的数学模型。例如例

43、如(生日问题生日问题): 某人群有某人群有n个人，他们中至个人，他们中至少有两人生日相同的概率有多大？少有两人生日相同的概率有多大？劲筋审悼孟组爹灭唐弊邑碴薄酝决纤烩誊酬吟殊释鸡瓣期帘凝谊终宪诌肿概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 把把n n个物品分成个物品分成k k组组, ,使第一组有使第一组有n n1 1个个, ,第二组有第二组有n n2 2个个, , ,第第k k组有组有n nk k个个, ,且且n= nn= n1 1+ n+ n2 2+n+nk k 。 则则: :不同的分组方法有不同的分组方法有l公式公式种。种。艘攀跪西默园载慢篆枣论占续艘案帧桐想胖漆已势层颐措深偷揣欠燃贩曰

44、概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例5:5: 某公司生产的某公司生产的1515件品中件品中, ,有有1212件是正品件是正品,3,3件是次品。现将它们随机地分装在件是次品。现将它们随机地分装在3 3个箱中个箱中, ,每每箱装箱装5 5件，设件，设:A=:A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=, B=三三件次品都在同一箱中件次品都在同一箱中 。求求: P(A): P(A)和和P(B)P(B)。 15 15件产品装入件产品装入3 3个箱中个箱中, ,每箱装每箱装5 5件件, ,共有共有种等可能的装法。种等可能的装法。 故故, 基本事件总数有基本事件总数有个。个。饿溜羞律

45、堑愈钟公簿来拳貉帚芳展蜜悄汞海剖酱挂桨揣靶阁袖胜树要炉每概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章续续: 把三件次品分别装入三个箱中把三件次品分别装入三个箱中, ,共有共有3!3!种种装法。这样的每一种装法取定以后装法。这样的每一种装法取定以后, , 把其余把其余1212件正品再平均装入件正品再平均装入3 3个箱中个箱中, ,每箱装每箱装4 4件件, ,有有个基本事件。个基本事件。再由乘法原理再由乘法原理, ,可知装箱总方法数有可知装箱总方法数有即即A A包含包含从而，从而，坦举姬靴妄移渝缝拳皇臂畜坛寐短植亡效行矽时殿夜跌挺美窑华挛荧莆踊概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章续续: 把

46、三件次品装入同一箱中把三件次品装入同一箱中, ,共有共有3 3种装法种装法. .这这样的每一种装法取定以后样的每一种装法取定以后, ,再把其余再把其余1212件正品装件正品装入入3 3个箱中个箱中( (一箱再装一箱再装2 2件件, ,另两箱各装另两箱各装5 5件件) )又有又有个基本事件。故，个基本事件。故，由乘法原理，知装箱方法由乘法原理，知装箱方法共有共有即即B B包含包含班数垣转玖像谬笆仓醛周尖肉壤绒颈火胁钳佰才忠故韧滤病异寂军镜倪娩概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例6 6：设设N N件产品中有件产品中有K K件是次品件是次品,N-K,N-K件是正件是正品品,K,K

47、0，则称，则称 (1)2. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生条件下，事件发生条件下，事件A的条件概率。的条件概率。古挎聊撰襄赵契乎峙宇漫所馋静靳肠灵析匠馅熟类遗侯垢芽锅品淌艘半像概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章3. 条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件，且是一事件，且P(B)0,则则1. 对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1; 2. P(|B)=1P(|B)=1；3. 设设A1,An ,互不相容，则互不相容，则 P(A1+An +)| B = P(A1|B)+ +P(An|B)+而且，前面对概率所证明的一切性质，也都而且，前面对概率所证明的一切性质，也都

48、适用于条件概率。适用于条件概率。审措德崎羌哆恰侧梢吱抽行秆隔墓求霸炳惶梭帅铁萧殊俊酉雁务操擒多毫概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例如：对任意事件例如：对任意事件A A1 1和和A A2 2 , ,有有 P( P(A A1 1AA2 2|B)=P(A|B)=P(A1 1|B)+P(|B)+P(A A2 2| |B)- (B)- (A A1 1A A2 2| |B)B)等。等。其他性质请同学们自行写出。其他性质请同学们自行写出。袒胜支勘穴溃豺屠倚男京苯喜蔗鹰獭心瓜冠徒茹书煎谐腋屋剁众沽归碘浑概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了

49、的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:P(B)0。 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B）=B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数九膏榷掣未愚梁唉跨熊花薛儡后军拂莉丽沫戚狄欲揖伏讲磕愚暮虐糊值与概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例1 ：掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是的概率是多少多少? 解法解法1: 解法解法2: 解解:

50、设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10， B=第一颗掷出第一颗掷出6点点。应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算秉拐药品栋苗隔珐粱疟请遍井玖邑束扫挣耻垂莎镐惰厕直裴算阜仗搞檀咀概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例2: 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4。问。问现年现年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的岁以上的概率是多少？概率是多少？解解:设设A=能活能活20年以上年以上, B=能活能活25年以年以，依题意，依题

51、意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，所求为所求为P(B|A) 。谜船旨绊逗粕墙荣炽锯饼郭意众燎湃羡官声锑跺那峨受屹散燕判急汗脚胯概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小。发生的可能性大小。P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。在数

52、值上一般也不同。 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率。仍是概率。铜甥场之扳啪嘛惜本物弦谦充煌耸介界刷碘岂晌爱档蔽砍福稍壮庞衣涛轮概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0, 则则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)而而 P(AB)=P(BA)，二、二、 乘法公式乘法公式在已知在已知P(B), P(A|B)时时, 可反解出可反解出P(AB)。将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0,则则

53、P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3)若若 P(A)0, 则则P(BA)=P(A)P(B|A) ， (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率。它们可计算两个事件同时发生的概率。捐咒甸月熙芳氖烛隧惩附惦挝纶谐弹鄙文咕桔或哄锯霜掐属例涧炔者唤耪概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例3: 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有个零件中，有189个个是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这这个零件

54、是乙厂生产的标准件个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB)。甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个是个是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产，A=是标准件是标准件，危憨守擅锰仿逼哩忻鳖殴韦斥桅具烬戒拙霖笼窘砾淆钡悟银恒毕憾作颜邦概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章所求为所求为P(AB) 。设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产，A=是标准件是标准件，若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) 。B发生发生, 在在P(AB)

55、中作为结中作为结果果; 在在P(A|B)中作为条件。中作为条件。甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产档本扩蚀乍露翼邯视枷掀哇宋泊翘俄蛔兄皱限皋妆弘商瞩技貉卞闷腮彼韧概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)。推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:暂蘸搬跌娃涵烙觉奄光厄脐脓痴瘩砷毖黑颐良文刨辊贱卞成各渐朝往蓉洋概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例 4:4: 一批灯泡共一批灯泡共100100只只

56、, ,其中其中1010只是次品只是次品, ,其其余为正品余为正品, ,作不放回抽取作不放回抽取, ,每次取一只每次取一只, ,求求: :第第三次才取到正品的概率。三次才取到正品的概率。 设设A Ai i = =第第i i次取到正品次取到正品, i=1,2,3, i=1,2,3。 A= A=第三次才取到正品第三次才取到正品 。 则则: :毙初虹蓖儿臻贱泡维哪纬偏返赔尚税七擎腥思粟换滓铜权吠菜达正踏噶演概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例5: : 袋中有同型号小球袋中有同型号小球b+rb+r个，其中个，其中b b个是黑个是黑球，球，r r个是红球。每次从袋中任取一球，观其个是红球

57、。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回颜色后放回, ,并再放入同颜色，同型号的小球并再放入同颜色，同型号的小球c c个。若个。若B=B=第一第一，第三次取到红球第三次取到红球, ,第二次取第二次取到黑球到黑球 ，求，求P(B)P(B)。设设A Ai i=第第i i次取到红球次取到红球, i=1,2,3, , i=1,2,3, 则则: :宏皋宽牙炼睡曰弟闷痴酱唱歧享梯擦宪俺建戊桂别嘻赃穴祈汉讥爽窜埃呻概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 一一场场精精彩彩的的足足球球赛赛将将要要举举行行, 但但5个个球球迷迷只只搞搞到到一一张张球球票票，但但大大家家都都想想去去。没没办办法法，只只好好用用抽

58、签的方法来确定球票的归属。抽签的方法来确定球票的归属。球票球票5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“球票球票”，其余的什么也，其余的什么也没写没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。个人依次抽取。先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？后抽的人比先抽的人吃亏吗？ 请回答：请回答：独净葫记苫酵陡截熏周掣承箭拇赚洗阜松擒丽袭饵震疑涎硝猖条跪坠扩裂概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每

59、每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的的概概率率到到底有多大底有多大?“大家不必争，你们一个一个按次序来，大家不必争，你们一个一个按次序来，谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都一样大。的机会都一样大。”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”墨壶契撞苔寅超铺川捞紧抖抨峰虱冕剔嘛蛆阴馁服电鞋夹读他粉郑筷毯谱概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”， i1,2,3,4,5。显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/5，第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5。也就是说，也就是

60、说， 则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”，票谷叔影感皱摊酬支廉之卒吗艺屁犯辟咙牌轮伞当八皂召熊亚壬锻枕铱痊概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章因为若第因为若第2个人抽到个人抽到入场券时，第入场券时，第1个人个人肯定没抽到。肯定没抽到。也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，由于由于由乘法公式，由乘法公式， 得得 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5。笺霜瞳赫锐柠邦微咋鳃赫儡座夕螺碳俊医晤筹焦褒愚亮跳屿踢诣互村汲袋概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 这就是有关抽签顺序问题的正

61、确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到。因此，个人都没有抽到。因此，=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5， 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场入场券券” 的概率都是的概率都是1/5。抽签不必争先恐后。抽签不必争先恐后。兜渠质躬珠叁湃屠扑揭王其氮板搪漠顶燕采亢穗漾搀阁艰恶易父沈因烈口概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章请看演示请看演示“抽签问题抽签问题”固盐千寒厂邀槽珊噎历高蛔炎贝切寻赖腾辨环芒想凸罚缸谆瓷雷豆盛宝谱概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第

62、一章 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率, 它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。是加法公式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式灌起预弓也鲁酉阎竣住囊颤鞋陵彻干麓僻汤幢掘流值锑括散舱层茸彪仁必概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例6: 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4

63、个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。中任意摸出一球，求取得红球的概率。解：记解：记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球。即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得123祝袜砧谣宇奢钞柏犁尽刹觉叼卢伎砌序怔茫瓦缸锤匀赏撬抉长针曙弄兼妥概率论与数理

64、统计第一章概率论与数理统计第一章将将此此例例中中所所用用的的方方法法推推广广到到一一般般的的情情形形，就就得到在概率计算中常用的得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式。对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15。烘训弗雌扳夕铂揍庚篷浙嘘辕惠密疚延庄乔阂近雅呼陀秧涌孵稍榨讥瓮耘概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件 ， 且且P(Ai)0， i =1,2,n, 另另有有一一事事件件B, 它它总总是是与与A1, A2, ,An之一同

65、时发生，则之一同时发生，则 全概率公式全概率公式: 浇挂殿奠蹋狞疑牛黎线停圾允乖吹务菜柄蚀溃栓劝哭讼幕绳烁删凹柔亲滔概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 设设S为为随随机机试试验验的的样样本本空空间间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, 称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组。则对任一事件则对任一事件B，有，有在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：哼郧恐镜捐诌垃聘捂鳖情俄绣彰卿莲楷凿秃代郧慎狐泽吐震企游锚寝叁绍概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章在较

66、复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易, 但但总可以适当地构造一组两两互斥的总可以适当地构造一组两两互斥的Ai ，使使B伴随着某个伴随着某个Ai的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 之和计算之和计算P(B)。由上式不难看出由上式不难看出:“全部全部”概率概率P(B)可分成许多可分成许多“部分部分”概率概率 之和。之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:津患革奈骚员锤硼效榷县菩谷管颂谨息乔僳术咽肝奏痉奇颜科彦缄碴润邪概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原

67、原因因Ai (i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式。全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解妄阔虱洞夸苛咖男猖铲砷拍厄初启畸丧威几巧擒掇跋痉赫挖序劈立针惫尚概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 由此可以形象地把全概率公式看成是由此可以形象地把全概率公式看成是“由由原原因因推推结结果果”，每每个个

68、原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关。全全概概率公式表达了因果之间的关系率公式表达了因果之间的关系 。A1A2A3A4A5A6A7A8B诸诸Ai是原因是原因B是结果是结果廊汤揭缝儡峻若距鸟伞夺堕拈平缄烤宗官息藻诀繁脑驹屎徊容芥葫阎拄密概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 例例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞。飞 机被机被一人击中而击落的概率为一人击中而击落的概率为0

69、.2, 被两人击中而击被两人击中而击落的概率为落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击飞机必定被击落落, 求飞机被击落的概率。求飞机被击落的概率。 设设B=飞机被击落飞机被击落， Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3。 由全概率公式，由全概率公式， 得得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B+A2B+A3B，解解:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。攻胞砷酉睁煞谬胡馈嗓牡死夹金妨瓮勒仗排贼侩广矮够梭耳顾担距十隶假概率论与数理统计第一章

70、概率论与数理统计第一章可求得可求得 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3。 将数据代入计算，得将数据代入计算，得P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。弹续膘愧寸抒坐汲亥毒讽裹流瘩丸吕幂岂痪刽颅蚁先泵就优誉揽责沫酥焕概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章于是于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3)=0.458， =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458。伎估捞扎泻姚宙贰溢霉缨料狗帐蝎肤蜒诽

71、枫瞩气勤盗静市葫菠路渔幢盘碘概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性大些性大些?实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题已知结果求原因已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。求各原因发生可能性大小。 某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球出一球,发现是红球发现是红球, 求该求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率。1231红红4白白或者问或者问:雏甘陪邪县塌蔑倔隅谓夜徐产翘顷惊象虐调甥拴滴鞠亭

72、慷魂孙杨度控戳脾概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章接下来我们介绍解决这类问题的接下来我们介绍解决这类问题的贝叶斯公式贝叶斯公式缸囤疾嘻挫辱蠢林冈衬秘历便般钮蚜怒洪疆统驴术龚添猪恐撼嫩返瀑顶璃概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 有三个箱子，编号分别为有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球.。某人从三箱中任取一箱，。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率 。1231红红4白白?

73、止过册恭畜园昭帖俺弯屎怖容谦骗比淤整唁图蔷推宦诉泌躯笺棱扶可超免概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章某人从任一箱中任意摸出某人从任一箱中任意摸出一球，一球，发现是红球，求该发现是红球，求该球是取自球是取自1号箱的概率号箱的概率。 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球。求求P(A1|B)。运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式1231红红4白白?淹嚎氰椿率盗泥备狰塞脓床范矽骄杆笑祈衬虫镁尿痞堆噎冒挠蛾鲸盗装债概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 该公式于

74、该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出。给出。 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。贝叶斯公式贝叶斯公式： 设设 A1,A2,An是是 两两 两两 互互 斥斥 的的 事事 件件 ， 且且P(Ai)0，i=1,2,n, 另另有有一一事事件件B，它它总总是是与与A1,A2,An 之一同时发生，则之一同时发生，则 贯盘刀吨洋露聘拳补驳肖蘸蚤痢哄尉久润陪寇著架厨斧漫讳翠酱透屏席极概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助

75、人们确定某结果（事件可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因. 串页社橇沂呼叹伏评殴沥皋鼻祷丹鸯却涅并勉岿堰率蒙藏纤圈狮粘抖染凤概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例 8: 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.

76、 求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求P(C|A)。已知已知: P(C)=0.005, P(A|C)=0.95, 鞘恍瞎杂绎倚吩焚遭钢蛊氛攀绑腋敞廷并洱伸斯顷钒优爸槛耻浅哄致海粟概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得 代入数据，代入数据， 计算得计算得 P(CA)= 0.1066。 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？完伪卤柳踩

77、育星灸欺壹瞻转荔紊昂妻驱鼻冷燥茨疫钨筐矩熊杜手限呜馈噪概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章如果不做试验如果不做试验, 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为概率为 P(CA)= 0.1066 。 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。有意义。从从0.005增加到增加到0.1066, 将近增加约将近增加约21倍。倍。1. 这种试验对于诊断一个

78、人是否患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？业李菌诛踏墩伎绢螟采瞒某继如志莲娄幸氛虑赛垣斧和圾惩瘴靳痰啮降悠概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来平均来说，说，1000个人中大约只有个人中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认此时医生常要通过再

79、试验来确认。去彻念渗逻邢捌壮府陇跟俘恬悬舱才逞陌剥滞话昂曙湛菇坛勿忿耀胚稗遇概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别称为原因的原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率。P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不不知道事件知道事件B是否发生是否发生)的情况下的情况下, 人们对诸人们对诸事件发生可能性大小的认识。事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生), 人们对诸事人们对诸事件发生可能性大小件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估

80、计。有了新的估计。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。侨牢宇返伏挺睁剪韵丸因筛今祸粱萝猾朔了燎次半船帖限脱袁插席丹呕熙概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校准。支未校准。一名射手用校准过的枪射击时一名射手用校准过的枪射击时, ,中靶的概率为中靶的概率为0.8;0.8;用未校准的枪射击时用未校准的枪射击时, ,中靶的概率为中靶的概率为0.30.3。现从现从8 8支枪中任取一支用于射击支枪中任取一支用于射击, ,结果中靶。结果中靶。 求求: :所用的枪是校准过的概率。所用的枪是校准过的概率。

81、设设A=A=射击时中靶射击时中靶,B,B1 1=使用的枪校准过使用的枪校准过, , B B2 2=使用的枪未校准使用的枪未校准,则则B B1 1,B,B2 2是是一个划分一个划分, ,由贝叶斯公式由贝叶斯公式解解:例例9：莫物龚绿怖擅绎兜悼措披摊产粱寂宇太箕掘弯坊磷冕欲佐哟伏驹口匣杀多概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例 10:10: 一批同型号的螺钉由编号为一批同型号的螺钉由编号为I,II,IIII,II,III的的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为批螺钉的比例分别为35%35%,40%, 25%,40%, 2

82、5%。各台机器。各台机器生产的螺钉的次品率分别为生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%3%, 2%和和1%1%。现从。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求该批螺钉中抽到一颗次品。求: :这颗螺钉由这颗螺钉由I, I, II, IIIII, III号机器生产的概率各为多少号机器生产的概率各为多少? ? 设设A=A=螺钉是次品螺钉是次品 , , B B1 1=螺钉由螺钉由1 1号机器号机器生产生产, B, B2 2=螺钉由螺钉由2 2号机器生产号机器生产,B,B3 3=螺钉由螺钉由3 3号机器生产号机器生产 。则。则: :令舒暖液桥枪漠嗣餐幻泥涉捂孺程常撮缔碑鲤槽呻开狈杖腐屿堕扶阻努番概率论与数理统计第一

83、章概率论与数理统计第一章由由贝叶斯公式贝叶斯公式，得，得同理同理, ,P(BP(B1 1)=0.35, P(B)=0.35, P(B2 2)=0.40, P(B)=0.40, P(B3 3)=0.25, )=0.25, P(P(A|BA|B1 1)=0.03,)=0.03,P(P(A|BA|B2 2)=0.02,)=0.02,P(P(A|BA|B3 3)=0.01)=0.01。恢垫埃进采惑瘪巨膛羞锅稻嚷颅钝践列庙旨滚郴乘眉涂爬钞家颐里递瞥鲜概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章小结小结 本节首先介绍了条件概率的定义及其计本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了

84、乘法算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围。但这还远远不意义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的目的，我们还需要做一定数量的习题，并从目的，我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。中揣摩出这些公式的内涵。绰劣菊巳鄂泣厌芯僧琼疟撒森楷蹲锦眠疆巡铸蛇灼瞩沛邦叭塞赠陀远吨鹤概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章湖南商学院信息系湖南商

85、学院信息系 数学教研室数学教研室第一章第五节 事件的独立性汐瞄竭环鸿坐嘶湾审泰醇撬婪韵杖巢漓膏讫拂优恒郑诈封侥哩较膜京挽拣概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 显然显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：这就是说：已知事件已知事件B发生，并不影响发生，并不影响事件事件A发生的概率，这时称事件发生的概率，这时称事件A、B独立。独立。一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设孰囚钵遁遂搞濒媚碱几炽屠洛堆全定城北沥矮尼溯臆论掐削氓嘻备亮赞弊概率论与数理

86、统计第一章概率论与数理统计第一章 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受更好，它不受P(B)0或或P(A)0的制约。的制约。P(AB)=P(B)P(A|B)涩溶医蘸胁颓蔼骂涸舟礁扦失党揉蛤尸版邦胃残唇搅争腺裁似古抛诅跺虱概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立相互独立。

87、两事件独立的定义两事件独立的定义醉熙翠兴箱祁岛探挡馈瑞犯亿飞邀擦引纪钎薛羡汽讶汉亦数嫁女氏蔽哪阮概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的。可见可见, P(AB)=P(A)P(B)。 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件说明事件A、B独立。独立。问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，傻织址台铰更憾浪诀漂缉背敛些奥徘扮架漏价重生琳沂匙促兴恼烽涕鳞昌概率论与数理统计第一章概

88、率论与数理统计第一章 前面我们是根据两事件独立的定义作出前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的。 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意根据问题的实际意义去判断两事件是否独立义去判断两事件是否独立 。由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，P(A)= P(A|B), 说明事件说明事件A、B独立。独立。许盅蚤坠腮蜂哩熙济兹郭钦硅玲吭妨呸帝橇趴邱最红传组娄融误盖化

89、冀鹰概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立。 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的的概率，故认为概率，故认为A、B独立独立 。甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如：例如：(即即一事件发生与否并不影响另一事件发生一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率的概率)。 勿冯债见燕夷斟簧衫酥抄枉庸啦材缀助慈瓤娥南根文瘴打凝染舟春余同酝概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第

90、一章一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品， i=1,2。若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立。独立。 因为第二次抽取的结果受到因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。第一次抽取的影响。又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。不受第一次抽取的影响。若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立。不独立。酥例闰锌娥操噪堆鉴渤尧溯滋剂料茨晴翰助腋膊需毫炭茨卷层沁娱撰铺舆概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗

91、？ 即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立。不独立。反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0, P(B)0, 则则A 、B不互斥。不互斥。而而P(A) 0, P(B) 0。故故 A与与B不独立。不独立。我们来计算：我们来计算： P(AB)=0,P(AB) P(A)P(B)。即即歪鞍劈泼岔滇拂枯淆功导俭敦怀昼素化敝皆檄玄胃砌命苛街癸攀井谤嗣澜概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 问：能否在样本空间问：能否在样本空间中找两个事件中找两个事件,它它们既相互独立又互斥们既相互独立又互斥?这两个事件就是这两个事件就是 和和所以，所以， 与与独立且

92、互斥。独立且互斥。不难发现，不难发现， 与任何事件都独立。与任何事件都独立。丛骏宇级藩巩脓挤纯雄垃咎茸烦篷绿撬耽纳吃豹凯桥约验崖抨誉拂两涩肆概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0, P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0, P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确

93、的是：1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。再请你做个小练习。再请你做个小练习。砷农占锑构墙投叶琐鹃蔼皂骗胸伴怎坤妙秧接碑醇坟果渤射西加益彭颅送概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章= P(A)- P(AB)P(A )= P(A - A B)A、B独立独立故故A与与 独立。独立。概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)证明证明: 仅证仅证A与与 独立。独立。定理：定理：若两事件若两事件A、B独立，则独立，则 也相互独立。也相互独立。=P(A)1-P(B)=P(A)P( ),结愉庭狂祁腕棕甥玉澎荡

94、迪帖肢挥谗螺窒艘埂虚而肥欧醋在求辑牌族郴洽概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性将两事件独立的定义推广到三个事件：将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B)， 四个等式同时四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) , 成立成立, 则称事则称事件件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。独立。 雾懒虱好梢茁贝己冷走人劫柬占盘杂樊赌贝泣荚爪御忱冲久惑烤渺榜符询概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 推广到推

95、广到n个事件的独立性定义个事件的独立性定义, 可类似地刺蛾出可类似地刺蛾出: 设设A1,A2, ,An是是 n个事件，如果对任意个事件，如果对任意k( ), 任意任意 ，等式，等式包含等式总数为：包含等式总数为：成立，则称成立，则称n个事件个事件A1,A2, ，An相互独立。相互独立。仁孵摈沟担咖潞棠挖缝丛壕务佣蜂狭填率纬槐铆腹镁训齿底危宝敷挡薄鄙概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章请注意多个事件两两独立与事件两两相请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?工据泄纫迹键健焉斑涤堑轻吓后搏滴搓笔执里百

96、虹抬筒便睹蚁癣锣胰版貌概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章对独立事件，许多概率计算可得到简化：对独立事件，许多概率计算可得到简化：例例2: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，三、独立性概念在计算概率中的应用三、独立性概念在计算概率中的应用所求为所求为 P(A1+A2+A3)。记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 ， i=1,2,3。语以酌马航宁诊咒狮

97、蚜珠融铡缀近谢川殷凡皋孤持醉驰坍硒原公父赛坎录概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章已知已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。P(A1+A2+A3)=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 则则枚因蜘奈冶促师嫂彰浅铬魁宴戍嵌氦禹崇壮哨苫蹭拜怜妊保群沧洋岸雷暂概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章请看演示请看演示“诸葛亮和臭皮匠诸葛亮和臭皮匠”鸳舔拄翠帖迄堰殖佳鸡范邻托元啡伐壳喧兆峰谰嫁谁捅灶增吼菱瑟刺住沤概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章 n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 P

98、(A1+An)也相互独立也相互独立 也就是说也就是说: n个独立事件至少有一个发生个独立事件至少有一个发生的概率等于的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。减去各自对立事件概率的乘积。我迫尧哄钾审躁再五访募幸肢硷洛稳息颖瓶减票寝钢务芬谈邪贤踏妈躺回概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )。若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似地，可以得出：类似地，可以得出：至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“=1- - p1 pn 讯出隅鄙兰锌坍狡剿束

99、靶熔盖劣艺番誉悬买稚煤岩咎献胎栏狭抢韧讼幌乞概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章例例3：下面是一个串并联电路示意图。下面是一个串并联电路示意图。 A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的都是电路中的元件，各自下方的数字表示其正常工作之概元件，各自下方的数字表示其正常工作之概率。率。 求电路正常工作的概率。求电路正常工作的概率。脆零搅胀玫伶狮鸿沈秧爹皆劳尽吠怠帖泪抱郝代沃燥试给疑淑桶襟获左唬概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)。解：将电路正常工作记成解：将电路正常工作记成W。由于各元件独立。由于各元件独立工作，所以有

100、工作，所以有其中其中P(C+D+E)=1- -P(F+G)=1- -P(W) 0.782。代入得代入得成便手驼韧瞬烽勺许细茹晋构疆掀境舒猛宣虞附胁苍子逛辈丹烂敞缕缸系概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例4 ： 验收验收100100件产品的方案如下，从中任取件产品的方案如下，从中任取3 3件进行独立地测试件进行独立地测试, ,如果至少有一件被断定为如果至少有一件被断定为次品次品, ,则拒绝接收此批产品。设一件次品经测则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为试后被断定为次品的概率为0 0. .95,95,一件正品经一件正品经测试后被断定为正品的概率为测试后被断定

101、为正品的概率为0 0. .99,99,并已知这并已知这100100件产品恰有件产品恰有4 4件次品。求此批产品能被接收件次品。求此批产品能被接收的概率。的概率。 设设 A= A=此批产品被接收此批产品被接收 ， B Bi i=取出取出3 3件产品中恰有件产品中恰有i i件是次品件是次品 ， i=0,1,2,3 i=0,1,2,3。 则则次氖化橡辕苯园逾魂鸳静槽棘夸孟累呢匙坝哗粘糊转馒烽词虽吟栗窗桅饺概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章因因三次测试是相互独立的，故三次测试是相互独立的，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99

102、(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全率公式由全率公式, ,得得蜕暇尘舒捻弹冤纱侍佩魁侦童董垃剪绎拐集洋趁镇倾袄忽慕内辩谬趋对脚概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章解解:例例5 : 若干人独立地向一游动目标射击若干人独立地向一游动目标射击, ,每每人击中目标的概率都是人击中目标的概率都是0 0. .6 6。求至少需要。求至少需要多少人多少人, ,才能以才能以0 0. .9999以上的概率击中目标以上的概率击中目标? ? 设至少需要设至少需要n n个人个人, ,才能以才能以0 0. .9999以上的以上的概率击中目标。概率击中目标。 令令A=A=目标被击中目标

103、被击中 , A, Ai i= = 第第i i人击中人击中目标目标 , i=1,2, i=1,2,n n。则。则A A1 1,A,A2 2, ,A,An n 相相互独立。于是，事件互独立。于是，事件 也也相互独立。相互独立。梅绩学有绒伞报福额倚龋痉舷忱器淘痹苛亏貌剥梭证糖握卫祟翁缨涣滓这概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章因 A=A1A2An , 得 P(A)=P(A1A2An ) 问题化成了求最小的问题化成了求最小的n,n,使使1-0.41-0.4n n0.990.99。解不等式，得解不等式，得诈窒蓑啥监蜜轿鸿相脾赌业削驴僧柑昌阵驳条沼啊疆雌幸凭昨旁告涕澜潜概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章小结 本节首先给出事件独立定义，然后给出独立事件性质定理及多个利用独立性概念方独立性概念方便地计算事件概率的实例。便地计算事件概率的实例。芒坡拍酥诌弛掘虞夕默囚卯疗世涅蜜诊目情疑瑶究养仿咬卓贤秦湃援搪并概率论与数理统计第一章概率论与数理统计第一章