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1、二、二、 连续与间断连续与间断 一、一、 函数函数 三、三、 极限极限 函数与极限函数与极限 第一章 一、一、 函数函数1. 概念定义定义: 定义域 值域图形图形:( 一般为曲线 )设函数为特殊的映射:其中2. 特性有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函数设函数为单射, 反函数为其逆映射4. 复合函数给定函数链则复合函数为5. 初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?以上各函数都是初等函数 .4. 设求及其定义域 .5. 已知, 求6. 设求由得4. 解解:5. 已知, 求解解:6. 设求解解:解解
2、: 利用函数表示与变量字母的无关的特性利用函数表示与变量字母的无关的特性 .代入原方程得代入上式得设其中，求令即即令即画线三式联立即例例1.二、二、 连续与间断连续与间断1. 函数连续的等价形式有2. 函数间断点第一类间断点(左右极限存在左右极限存在)第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零点定理零点定理 ; 介值定理介值定理 . p70-723. 闭区间上连续函数的性质例例2. 设函数在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .提示提示:上连续 , 且恒为正 ,例例5. 设在对任意的必存在一点证证:使令, 则使故由零点定理知
3、, 存在即证明:即 上连续, 且 a c d b ,例例6. 设在必有一点证证:使即由介值定理,证明:故 即 三、三、 极限极限1. 极限定义的等价形式 (以 为例 )(即 为无穷小)有2. 极限存在准则及极限运算法则3. 无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;常用等价无穷小: (x0时) 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 5. 求极限的基本方法 或注注: 代表相同的表达式例例7. 求下列极限：提示提示: 无穷小有界则有复习复习: 若 2. 求解解:原式 = 1 (2000考研)注意此项含绝对值3. 求解解: 令则利用夹逼准则可知导数与微分 第二章 一、一、 导数和微分的概念及
4、应用导数和微分的概念及应用 导数导数 p79 :当时,为右导数当时,为左导数 微分微分 : 关系关系 : 可导可微( 思考 P125 题1 ) 应用应用 :(1) 利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (3)(3)微分在近似计算与误差估计中的应用微分在近似计算与误差估计中的应用(2)(2)用导数定义求极限用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2) 求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导
5、数;3) 由导数定义证明一些命题由导数定义证明一些命题.例例1.1.设存在,求解解: : 原式=设解解:又例例5.所以 在处连续. 即在处可导 .处的连续性及可导性. 例例4.4.设,试确定常数a , b解解: :得即使 f (x) 处处可导,并求是否为连续函数 ?判别判别:二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导求分段函数的导数数注意讨论注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法隐函数求导法对数微分法对数微分法(3
6、) 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导(4) 复合函数求导法复合函数求导法( (可利用微分形式不变性可利用微分形式不变性) )转化转化(5) 高阶导数的求法高阶导数的求法逐次求导归纳逐次求导归纳; ; 间接求导法间接求导法; ;利用莱布尼茨公式利用莱布尼茨公式. .导出导出例例6.6.设其中可微 ,解解:例例7.7.且存在, 问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数解解: 由题设存在, 因此1) 利用在连续, 即得2) 利用而得3) 利用而得二、二、 导数应用导数应用一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 拉格朗日中值定理 一、一、
7、微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 泰勒中值定理 柯西中值定理 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公泰勒公式式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放
8、大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .例例1. 设函数在内可导, 且证明在内有界. 证证: 取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理, 得(定数)可见对任意即得所证 .例例4. 设实数满足下述等式证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .证证: 令则可设且由罗尔定理罗尔定理知存在一点使即例例3.且试证存在证证: 欲证因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有将代入 , 化简得故有即要证二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最
9、值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等. .在区间 上是凸弧 ;拐点为 提示提示:的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数的图形如图所示,例例8. 证明在上单调增加.证证:令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而在上单调增.得例例11. 证明证证: 设, 则故时, 单调增加 , 从而即思考思考: 证明时, 如何设辅助函数更好 ?提示提示:例例15. 求解法解法1 利用中值定理求极限原式解法解法2 利用泰勒公式令则原式解法解法3 利用洛必达法则原式不定积分
10、的计算方法 第四四章 一、一、 求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1. 直接积分法直接积分法通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .2. 换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(代换: )3. 分部积分法分部积分法使用原则:1) 由易求出 v ;2)比好求 .一般经验: 按“反反, 对对, 幂幂, 指指 , 三三” 的顺序,排前者取为 u , 排后者取为计算格式: 列表计算多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律快速计算表格:特别特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 . 例例6. 求解解: 取说明说明: 此法特别适用于如下类型的积分
11、: 例例4. 设解解: 令求积分即而例例7. 证明递推公式证证:注注:或有理函数的积分 第四四章 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解: (1) 用拼凑法(2) 用赋值法故例例6. 求求解解: 原式(见P363 公式21)注意本题技巧注意本题技巧本题用常规方法解很繁二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式 ,令万能代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:令
