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1、百度文库 - 让每个人平等地提升自我专题：构造全等专题：构造全等三角形三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。1 1、如图 1，在ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AEEF试说明线段AC与BF相等的理由简析由于AD是中线，于是可延长AD到G，使DGAD，连结BG，则在ACD和GBD中，ADGD，ADCGDB，CDBD，所以ACDGBD（SAS） ，B所以ACGB，CADG，而AEEF，所以CADAFE，又AFEBFG，所以BFGG，所
2、以BFBG，所以ACBF说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形AFDGEC图 1利用三角形的角平分线来构造全等三角形利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在法一：如图，在ABCABC 中，中，ADAD 平分平分BACBAC。在。在 ABAB 上截取上截取 AE=ACAE=AC，连结，连结 DEDE。（ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ）法二：如图，在法二：如图，在ABCABC 中，中，ADAD 平分平分BACBAC。延
3、长。延长 ACAC 到到 F F，使，使 AF=ABAF=AB，连结，连结 DFDF。( (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。) )法三：在法三：在ABCABC 中，中，ADAD 平分平分BACBAC。作。作 DMDMABAB 于于 MM，DNDNACAC 于于 N N。( (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形) )1百度文库 - 让每个人平等地提升自我（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证（还可以用“角平分
4、线上的点到角的两边距离相等”来证 DM=DNDM=DN）2 2、已知：如图，在四边形、已知：如图，在四边形ABCDABCD 中，中，BDBD 是是ABCABC 的角平分线，的角平分线，AD=CDAD=CD，求证：，求证：A+A+C=180C=180法一：证明：在 BC 上截取 BE，使 BE=AB，连结 DE。法二：延长 BA 到 F，使 BF=BC，连结 DF。 BD 是ABC 的角平分线（已知） BD 是ABC 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）1=2（角平分线定义）在ABD 和EBD 中在BFD 和BCD 中AB=EB（已知）BF=BC（已知）1=2（已证）1=2（已证）BD=BD
5、（公共边）BD=BD（公共边）ABDEBD（）BFDBCD（） A3（全等三角形的对应角相等） FC（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知） ，AD=DE（已证） AD=CD（已知） ，DF=DC（已证）DE=DC（等量代换）DF=AD（等量代换）4=C（等边对等角）4=F（等边对等角） 3+ 4180（平角定义） ， FC（已证）A3（已证）4=C（等量代换）A+ C180（等量代换） 3+ 4180（平角定义）A+ C180（等量代换）法三：作 DMBC 于 M，DNBA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是ABC
6、 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知）N=DMB=90（垂直的定义）在NBD 和MBD 中N=DMB （已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD（） ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）NAD 和MCD 是 Rt在 RtNAD 和 RtMCD 中ND=MD （已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义） ，2百度文库 - 让每个人平等地提升自我A3（已证）A+ C180（等量代换）法四：作 DMBC 于 M，DNBA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是AB
7、C 的角平分线（已知）DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） DNBA，DMBC（已知）NAD 和MCD 是 Rt在 RtNAD 和 RtMCD 中ND=MD （已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义）A3（已证）A+ C180（等量代换）利用高可以高线为对称轴构造全等三角形利用高可以高线为对称轴构造全等三角形3 3、在ABC 中，ADBC，若C2B试比较线段 BD 与 AC+CD 的大小A简析由于 ADBC，所以可在 BD 上截取 DEDC，于是可得ADEADC（SAS） ，所以 A
8、EAC，AEDC，又C2B，所以AED2B，而AEDB+BAE，BC即BBAE，所以 BEAEAC，所以 BDBE+DEAE+DEAC+CDED说明利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形4、设点 P 为等边三角形 ABC 内任一点，试比较线段 PA 与PB+PC 的大小简析由于ABC 是等边三角形， 所以可以将ABP 绕点 A 旋转 60到 ACP的位置，连结 PP，则 ACPABP（SAS） ，所以 APAP， CPBP， APP是等边三角形， 即 PPPA， 在 CPP中，因为 P
9、PPC+PC，所以 PAPB+PC说明由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题3APPB图 4C百度文库 - 让每个人平等地提升自我利用利用平行线构造全等三角形利用利用平行线构造全等三角形5 5、ABC 中，ABAC，E 是 AB 上任意一点，延长 AC 到 F，连接 EF 交 BC 于 M，且 EMFM 试说明线段 BE 与 CF 相等的理由A简析由于 BE 与 CF 的位置较散，故可考虑将线段 CF 平移到EED， 所以过点 E 作 EDCF， 则EDBACB， EDMFCM，C由于 E
10、MFM，EMDFMC，所以EMDFMC（AAS） ，BDM所以 EDCF， 又因为 ABAC， 所以BACB， 即BEDB，F所以 EBED，所以 BECF图 5说明这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低综合练习综合练习1 1、如图，已知、如图，已知ABCABC 中，中，ADAD 是是BACBAC 的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：，求证：C=2C=2B B法一：证明：在法一：证明：在 ABAB 上截取上截取 AEAE，使，使 AE=ACAE=AC，连结，连结 DEDE。 ADAD 是是BACBAC 的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=1=2 2
11、（角平分线定义）（角平分线定义）在在AEDAED 和和ACDACD 中中AE=ACAE=AC（已知）（已知）1=1=2 2（已证）（已证）AD=ADAD=AD（公共边）（公共边）AEDAEDACDACD（）（） C C3 3（全等三角形的对应角相等（全等三角形的对应角相等) )ED=CDED=CD（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又 AB=AC+CD=AE+EBAB=AC+CD=AE+EB（已知）（已知）EB=DC=EDEB=DC=ED（等量代换）（等量代换）B=B=4 4（等边对等角）（等边对等角） 3=3= B+B+4= 24= 2B B（三角形的一个外角等于和它不相邻
12、的两个内角和）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2C=2B B（等量代换）（等量代换）法二：延长法二：延长 ACAC 到到 F F，使，使 CF=CDCF=CD，连结，连结 DFDF。 ADAD 是是BACBAC 的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=1=2 2（角平分线定义）（角平分线定义） AB=AC+CDAB=AC+CD，CF=CDCF=CD（已知）（已知） AB=AC+CF=AFAB=AC+CF=AF（等量代换）（等量代换）在在ABDABD 和和AFDAFD 中中AB=AFAB=AF（已证）（已证）1=1=2 2（已证）（已证）AD=ADAD=AD（公共边）（公共边）
13、4百度文库 - 让每个人平等地提升自我ABDABDAFDAFD（）（） F FB B（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） CF=CDCF=CD（已知）（已知）B=B=3 3（等边对等角）（等边对等角） ACB= 2ACB= 2F F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2ACB=2B B（等量代换）（等量代换）2 2、如图，已知直线、如图，已知直线 MNMNPQPQ，且，且 AEAE 平分平分BANBAN、BEBE 平分平分QBAQBA，DCDC 是过是过 E E 的任意线的任意线段，交段，交 MNMN 于点于点 D
14、 D，交，交 PQPQ 于点于点 C C。求证：。求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。法一：证明：延长法一：证明：延长 AEAE，交直线，交直线 PQPQ 于点于点 F F。法二：法二： 延长延长 BABA 到点到点 G G， 使得使得 AG=ADAG=AD， 连结连结 EGEG。法三：法三： 延长延长 BABA 到点到点 G G， 使得使得 AG=ADAG=AD，连结连结 EGEG。3 3、已知：如图在、已知：如图在RtRtABCABC 中，中，BAC=90BAC=90，AEAEBCBC， BDBD 是是ABCABC 的角平分线，的角平分线， GFGFBCBC ，求证：，求证：AD=FCAD=FC。证明：过证明：过 D D 作作 DHDHBCBC，垂足为垂足为 H H。5
