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1、11行程问题中时钟的标准制定;2时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算;3时钟的周期问题.时钟问题知识点说明时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及或相遇问题,不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针.我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题,其中包括时钟的快慢,时钟的周期,时钟上时针与分针所成的角度等等.时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时,而是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”.对于正常的时钟,具体为：整个钟面为 360 度,上面有 12 个大格,每个大格为 30 度;60 个小格,每个小
2、格为 6 度.分针速度：每分钟走 1 小格,每分钟走 6 度时针速度：每分钟走112小格,每分钟走 0.5 度注意：但是在许多时钟问题中,往往我们会遇到各种“怪钟”,或者是“坏了的钟”,它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同,这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析.要把时钟问题当做行程问题来看,分针快,时针慢,所以分针与时针的问题,就是他们之间的追及问题.另外,在解时钟的快慢问题中,要学会十字交叉法.例如：时钟问题需要记住标准的钟,时针与分针从一次重合到下一次重合,所需时间为56511分.模块一、时针与分针的追及与相遇问题【例例 1】当时钟表示 1 点 45 分时,时针和分针所
3、成的钝角是多少度?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】142.5 度【答案】142.5 度【巩固】 在 16 点 16 分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是_度.例题精讲例题精讲知识点拨知识点拨教学目标教学目标时钟问题时钟问题2【考点】行程问题之时钟问题 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】16 点的时候夹角为 120 度,每分钟,分针转 6 度,时针转 0.5 度,16：16 的时候夹角为 120-616+0.516=32 度.【答案】32 度【例例 2】有一座时钟现在显示 10 时整那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合;
4、再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】在 10 点时,时针所在位置为刻度 10,分针所在位置为刻度 12;当两针重合时,分针必须追上 50 个小刻度,设分针速度为“l”,有时针速度为“112”,于是需要时间：1650(1)541211所以,再过65411分钟,时针与分针将第一次重合第二次重合时显然为 12 点整,所以再经过65(12 10) 6054651111分钟,时针与分针第二次重合标准的时钟,每隔56511分钟,时针与分针重合一次 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有 12 个,即为小时数;小刻度有
5、 60 个,即为分钟数所以时针一圈需要 12 小时,分针一圈需要 60 分钟(1 小时),时针的速度为分针速度的112如果设分针的速度为单位“l”,那么时针的速度为“112” 【答案】65411分钟【巩固】 钟表的时针与分针在 4 点多少分第一次重合?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】此题属于追及问题,追及路程是 20 格,速度差是11111212,所以追及时间是：11920211211（分）.【答案】92111分【巩固】 现在是 3 点,什么时候时针与分针第一次重合?3【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,3 点时,时
6、针与分针成 90 度,第一次重合需要分针追 90 度,490(60.5)1611（分）9k 【答案】41611分【例例 3】钟表的时针与分针在 8 点多少分第一次垂直?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】32711此题属于追及问题,但是追及路程是 440 1525格（由原来的 40 格变为 15 格）,速度差是11111212,所以追及时间是：11325271211（分）.【答案】32711分【巩固】 2 点钟以后,什么时刻分针与时针第一次成直角?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,2 点时,时针与分针成 60 度,第一
7、次垂直需要 90 度,即分针追了 90+60=150（度）,3150(60.5)2711（分）【答案】32711分【例例 4】时钟的时针和分针在 6 点钟反向成一直线,问：它们下次反向成直线是在什么时间?(准确到秒)【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】时针、分针下一次反向成一直线是在 7 点以后,这时分针应比时针多走钟面上 5 格,分针每分钟走 1 格,时针每分钟走112格.【解析】5(1112)60115511,5116027.【解析】即在 7 点 5 分 27 秒,时针、分针再次反向成一直线.【答案】7 点 5 分 27 秒4【例例 5】
8、8 时到 9 时之间时针和分针在“8”的两边,并且两针所形成的射线到“8”的距离相等问这时是 8 时多少分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】8 点整的时候,时针较分针顺时针方向多 40 格,设在满足题意时,时针走过 x 格,那么分针走过40-x 格,所以时针、分针共走过 x+(40-x)=40 格于是,所需时间为11240(1)361213分钟,即在 8 点123613分钟为题中所求时刻【答案】8 点123613分【例例 6】现在是 10 点,再过多长时间,时针与分针将第一次在一条直线上?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】时针的
9、速度是 3601260=0.5(度/分),分针的速度是 36060=6(度/分),即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10 点时,分针与时针的夹角是 60 度, ,第一次在一条直线时,分针与时针的夹角是 180 度,即 分针与时针从 60 度到 180 度经过的时间为所求.,所以 答案为 9(18060)5.52111(分)【答案】92111分【巩固】 在在在 9 9 9 点与点与点与 101010 点之间的什么时刻点之间的什么时刻点之间的什么时刻, , ,分针与时针在一条直线上分针与时针在一条直线上分针与时针在一条直线上? ? ?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星
10、 【题型】解答 【解析】根据题意可知,9 点时,时针与分针成 90 度,第一次在一条直线上需要分针追 90 度,第二次在一条直线上需要分针追 270 度,答案为490(60.5)1611（分）和1270(60.5)4911（分）【答案】14911分【例例 7】晚上 8 点刚过,不一会小华开始做作业,一看钟,时针与分针正好成一条直线.做完作业再看钟,还不到 9 点,而且分针与时针恰好重合.小华做作业用了多长时间?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知, 从在一条直线上追到重合,需要分针追 180 度,8180(60.5)3211（分）【答案】83211分5
11、【例例 8】某人下午六时多外出买东西,出门时看手表,发现表的时针和分针的夹角为 1100,七时前回家时又看手表,发现时针和分针的夹角仍是 1100那么此人外出多少分钟?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】如下示意图,开始分针在时针左边 1100位置,后来追至时针右边 1100位置于是,分针追上了 1100+1100=2200,对应2206格所需时间为2201(1)40612分钟所以此人外出 40 分钟评注：通过上面的例子,看到有时是将格数除以1(1)12,有时是将格数除以1(1)12,这是因为有时格数是时针、分针共同走过的,对应速度和;有时格数是分针追上时针的,对
12、应速度差对于这个问题,大家还可以将题改为:“在 9 点多钟出去,9 点多钟回来,两次的夹角都是 1100”,答案还是 40 分钟【答案】40 分钟【例例 9】上午 9 点多钟,当钟表的时针和分针重合时,钟表表示的时间是 9 点几分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】时针与分针第一次重合的经过的时间为：11451491211（分）,当钟表的时针和分针重合时,钟表表示的时间是 9 点14911分.【答案】14911分【例例 10】 小红上午 8 点多钟开始做作业时,时针与分针正好重合在一起.10 点多钟做完时,时针与分针正好又重合在一起.小红做作业用了多长时间?【考
13、点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】8 点多钟时,时针和分针重合的时刻为：17401431211（分）10 点多钟时,时针和分针重合的时刻为：16501541211（分）67101054843210111111时分时分时分,小红做作业用了1021011时分时间【答案】1021011分分【例例 11】 小红在 9 点与 10 点之间开始解一道数学题,当时时针和分针正好成一条直线,当小红解完这道题时,时针和分针刚好第一次重合,小红解这道题用了多少时间?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 6【解析】9 点和 10 点之间分针和时针在一条直线上的时刻为：
14、14151161211（分）,时针与分针第一次重合的时刻为： 11451491211（分）,所以这道题目所用的时间为：148491632111111（分）【答案】83211分【例例 12】 一部动画片放映的时间不足 1 时,小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下.这部动画片放映了多长时间?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,时针恰好走到分针的位置,分针恰好走到时针的位置,它们一共走了一圈,即5360(60.5)5513（分）【答案】55513分【例例 13】 在一段时间里,时针、分钟、秒针转动的圈数之和恰好是 14
15、66 圈,那么这段时间有 秒.【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】解：它们的速度比为 1:12:720,所以秒针转了 1466（720+12+1）720=1440 秒.【答案】1440 秒. 86400 秒模块二、时间标准及闹钟问题【例例 14】 星期天早晨,小明发现闹钟因电池能量耗尽停走了.他换上新电池,估计了一下时间,将闹钟的指针拨到 8：00.然后,小明离家前往天文馆.小明到达天文馆时,看到天文馆的标准时钟显示的时间是 9：15.一个半小时后,小明从天文馆以同样的速度返回家中,看到闹钟显示的时间是11：20.请问,这时小明应
16、该把闹钟调到什么时间才是准确的?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯,四年级,二试【解析】由小明的闹钟显示的时间可知小明出门共用了 3 小时 20 分钟. 来回路上共用去 1 小时 50 分钟,回家路上用去 55 分钟 从小明到达天文馆,到回到家中共经历 2 小时 25 分钟,小明到达天文馆时是 9:15,所以回到家中的时间是 11 时 40 分,即应把闹钟调到 11:40 【答案】11:40【例例 15】 王叔叔有一只手表,他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒,那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒?【考点】行
17、程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】6 秒【答案】6 秒7【巩固】 小春有一块手表,这块表每小时比标准时间慢 2 分钟.某天晚上 9 点整,小春将手表对准,到第二天上午手表上显示的时间是 7 点 38 分的时候,标准时间是_.【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,六年级,一试【解析】从晚上 9 点到第二天 7：38,分针一共划过 6010+38=638,而这块表每小时比标准时间慢 2 分钟,即每转 58 格,标准钟转 60 格,所以标准钟分针转了 6385860=660,所以此时是 8 点.【答案】8 点【巩固】 小强家有一个闹钟,每时
18、比标准时间快 3 分.有一天晚上 10 点整,小强对准了闹钟,他想第二天早晨 600 起床,他应该将闹钟的铃定在几点几分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】6：24【答案】6：24【巩固】 小翔家有一个闹钟,每时比标准时间慢 3 分.有一天晚上 9 点整,小翔对准了闹钟,他想第二天早晨 630 起床,于是他就将闹钟的铃定在了 630.这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】7 点【答案】7 点【例例 16】 （1997 年第六届华杯赛初赛第 7 题）辆汽车的速度是每小时 50 千米,现有一块每 5
19、 小时慢 2分的表,若用该表计时,测得这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数)【解析】正常表走 5 小时,慢表只走了：5602298(分),【解析】因此,用慢表测速度,这辆汽车的速度是：5052986050.3(千米/小时)【例例 17】 钟敏家有一个闹钟,每时比标准时间快 2 分.星期天上午 9 点整,钟敏对准了闹钟,然后定上铃,想让闹钟在 11 点半闹铃,提醒她帮助妈妈做饭.钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】闹钟与标准时间的速度比是 62:60=31:30, 11 点半与 9 点相差 150 分, 根据十字交叉法,闹钟走了
20、 1503130=155(分),所以 闹钟的铃应当定在 11 点 35 分上.【答案】11 点 35 分【例例 18】 小翔家有一个闹钟,每时比标准时间慢 2 分.有一天晚上 9 点整,小翔对准了闹钟,他想第二天早晨 640 起床,于是他就将闹钟的铃定在了 640.这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】闹钟与标准时间的速度比是 58:60=29:30 晚上 9 点与次日早晨 6 点 40 分相差 580 分, 即 标准时间过了 5803029=600(分),所以 标准时间是 7 点.8【答案】7 点【例例 19】 有一个时钟每
21、时快 20 秒,它在 3 月 1 日中午 12 时准确,下一次准确的时间是什么时间?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】时钟与标准时间的速度差是 20 秒/时,因为经过 12 小时,时钟的指针回到起始的位置,所以到下一次准确时间时,时钟走了 12360020=2160(小时) 即 90 天, 所以 下一次准确的时间是5 月 30 日中午 12 时.【答案】5 月 30 日中午 12 时【巩固】 有一个时钟,它每小时慢 25 秒,今年 3 月 21 日中午十二点它的指示正确.请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2
22、星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】当这个时钟慢 12 个小时的时候,它又指示准确的时间,慢 12 个小时需【解析】60 60 1225121212(小时)【解析】相当于：12 12 122472(天)【解析】注意 3 月份有 31 天,4 月份有 30 天,5 月份有 31 天,到 6 月 1 日中午,恰好是 72 天【解析】答：下一次指示正确时间是 6 月 1 日中午 12 点.【答案】6 月 1 日中午 12 点【例例 20】 辆汽车的速度是每小时 50 千米,现有一块每 5 小时慢 2 分的表,若用该表计时,测得这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数)【考点】行程问题之时
23、钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛【解析】正常表走 5 小时,慢表只走了：5602298(分),【解析】因此,用慢表测速度,这辆汽车的速度是：5052986050.3(千米/小时)【答案】50.3 千米/小时【例例 21】 小明家有两个旧挂钟,一个每天快 20 分,另一个每天慢 30 分.现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间,它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】快的挂钟与标准时间的速度差是 20 分/天,慢的挂钟与标准时间的速度差是 30 分/天,快的每标准一次需要 126030=24(天),慢
24、的每标准一次需要 126020=36(天),24 与 36 的最小公倍数是 72,所以 它们至少要经过 72 天才能再次同时显示标准时间.【答案】72 天【例例 22】 某科学家设计了只怪钟,这只怪钟每昼夜 10 时,每时 100 分（如右图所示）.当这只钟显示 5 点时,实际上是中午 12 点;当这只钟显示 6 点 75 分时,实际上是什么时间?9【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】标准钟一昼夜是 2460=1440（分）,怪钟一昼夜是 10010=1000（分）,怪钟从 5 点到 6 点 75分,经过 175 分,根据十字交叉法,14401751000=252
25、（分）,即 4 点 12 分.【答案】4 点 12 分【例例 23】 手表比闹钟每时快 60 秒,闹钟比标准时间每时慢 60 秒.8 点整将手表对准,12 点整手表显示的时间是几点几分几秒?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】按题意,闹钟走 3600 秒手表走 3660 秒,而在标准时间的一小时中,闹钟走了 3540 秒.所以在标准时间的一小时中手表走 366036003599 = 3599（秒）即手表每小时慢 1 秒,所以 12 点时手表显示的时间是 11 点 59 分 56 秒.【答案】11 点 59 分 56 秒【例例 24】 高山气象站上白天和夜间的气温相
26、差很大,挂钟受气温的影响走的不正常,每个白天快 30 秒,每个夜晚慢 20 秒.如果在 10 月一日清晨将挂钟对准,那么挂钟最早在什么时间恰好快 3 分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,一昼夜快 10 秒,（360-30）10=15（天）,所以挂钟最早在第 15+1=16（天）傍晚恰好快 3 分钟,即 10 月 16 日傍晚.【答案】10 月 16 日傍晚【例例 25】 一个快钟每时比标准时间快 1 分,一个慢钟每时比标准时间慢 3 分.将两个钟同时调到标准时间,结果在 24 时内,快钟显示 9 点整时,慢钟恰好显示 8 点整.此时的标准时间是多
27、少?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,标准时间过 60 分钟,快钟走了 61 分钟,慢钟走了 57 分钟,即标准时间每 60 分钟,快钟比慢钟多走 4 分钟,604=15（小时）经过 15 小时快钟比标准时间快 15 分钟,所以现在的标准时间是 8 点 45 分.【答案】8 点 45 分【例例 26】 小明上午 8 点要到学校上课,可是家里的闹钟早晨 6 点 10 分就停了,他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了,到学校一看还提前了 10 分.中午 12 点放学,小明回到家一看钟才 11 点整.如果小明上学、下学在路上用的时间相同,那么,他家的闹钟停了多少分?【考点】行程问题之时钟问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据题意可知,小明从上学到放学一共经过的时间是 290 分钟（11 点减去 6 点 10 分）,在校时间为 250 分钟（8 点到 12 点,再加上提前到的 10 分钟）所以上下学共经过 290-250=40（分钟）,即从家到学校需要 20 分钟,所以从家出来的时间为 7：30（8：00-10 分-20 分）即他家的闹钟停了 1 小时 20 分钟,即 80 分钟. 【答案】80 分钟
