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1、1第 11 讲 反比例函数的图象和性质一、一、知识清单梳理知识清单梳理知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念(1)定义:形如 y (k0)的函数称为反比例函数,k 叫做比例系数,kx自变量的取值范围是非零的一切实数(2)形式:反比例函数有以下三种基本形式:y ;y=kx-1; xy=k.(其中 k 为常数,且 k0)kx例:函数 y=3xm+1,当 m=2 时,则该函数是反比例函数k 的符号图象经过象限y 随 x 变化的情况k0图象经过第一、三象限(x、y 同号)每个象限内,函数 y 的值随 x 的增大而减小.2.反比例函数的图象和性质k0图象经过第二
2、、四象限(x、y 异号)每个象限内,函数 y 的值随 x 的增大而增大.(1)判断点是否在反比例函数图象上的方法:把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式;把点的横、纵坐标相乘,判断其乘积是否等于 k.失分点警示(2)反比例函数值大小的比较时,首先要判断自变量的取值是否同号,即是否在同一个象限内,若不在则不能运用性质进行比较,可以画出草图,直观地判断.3.反比例函数的图象特征(1)由两条曲线组成,叫做双曲线;(2)图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴,但都不会与 x 轴和 y 轴相交;(3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2 条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、
3、四象限的角平分线例:若(a,b)在反比例函数kyx的图象上,则(a,b)在该函数图象上.(填“在、不在)4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数 k 即可.例:已知反比例函数图象过点(3,1),则它的解析式是y=3/x.知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数 k 的几何意义(1)意义:从反比例函数 y (k0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作kx垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为 1/2|k|.(2)常见的面积类型: 图见学练优 RJ 九数上前面四页“方法、易错”的此内容下的
4、图片失分点警示已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则 k0.例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比例函数解析式为:3yx或3yx .26.与一次函数的综合(1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解.(2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分 k0 和 k0 两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时,要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积;也要注意系数 k的几何意义. 例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:SAOC=SOPESBOD.知识点三:反比例函数的实际应用7.一般步骤(1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系;(2 设出函数表达式;(3)依题意求解函数表达式;(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
