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1、十章压杆稳定Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望2桁架结构桁架结构3失稳破坏失稳破坏4 在在在在工工工工程程程程实实实实际际际际中中中中，为为为为了了了了保保保保证证证证构构构构件件件件或或或或结结结结构构构构物物物物能能能能够够够够安安安安全全全全可可可可靠靠靠靠地地地地工工工工作作作作，构构构构件件件件除除除除了了了了满满满满足足足足强强强强度度度度、刚刚刚刚度度度度条条条条件件件件外，还必须满足外，还必须满足外，还必须满足外，还必须满足稳定性稳定性稳定性稳定性的要求
2、。的要求。的要求。的要求。稳定性稳定性：指构件指构件或体系或体系保持其原有平衡状态的能力保持其原有平衡状态的能力。失稳失稳：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，由稳定平衡状态转变为不稳定状态。由稳定平衡状态转变为不稳定状态。5平衡的三种状态平衡的三种状态： 体体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡状态，当干扰消除后，它状态，当干扰消除后，它能够能够恢复到原有的平衡恢复到原有的平衡状态，则原有平衡状态称为状态，则原有平衡状态称为稳定平衡状态稳定平衡状态。 当干扰消除后，它当干扰消除后，它不能够不能够恢复到原有的平衡恢复
3、到原有的平衡状态，且状态，且趋向于远离原有的平衡状态趋向于远离原有的平衡状态，则原有平，则原有平衡状态称为衡状态称为不稳定平衡状态不稳定平衡状态。 当干当干扰消除后，它扰消除后，它不能够不能够恢复到原有的平衡恢复到原有的平衡状态，但状态，但能够在新的状态维持平衡能够在新的状态维持平衡，则原有平衡，则原有平衡状态称为状态称为随遇平衡状态随遇平衡状态。6平衡的三种状态平衡的三种状态随遇平衡状态随遇平衡状态稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态7F1FFFFcrFFcrFFcr稳定平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态干扰力干扰力8临界平衡状态临界平衡状态：压杆处于稳定平衡与
4、不稳定平衡：压杆处于稳定平衡与不稳定平衡 之之间的临界状态。间的临界状态。 两重性两重性既可在直线状态保持平衡，又可既可在直线状态保持平衡，又可 在在微弯状态维持平衡。微弯状态维持平衡。 临界（压）力临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受的：压杆处于临界平衡状态时所受的 轴向轴向压力。压力。 Fcr或或 使压杆使压杆保持直线状态平衡的最大保持直线状态平衡的最大 轴向轴向压力。压力。或或 使使压杆失稳的最小轴向压力。压杆失稳的最小轴向压力。9其它形式的构件也存在稳定性问题：其它形式的构件也存在稳定性问题： 浅拱失稳浅拱失稳q薄壁容器薄壁容器失稳失稳薄壁杆件薄壁杆件弯扭屈曲弯扭屈曲F10102
5、两端两端铰支支细长压杆杆临界力的欧拉公式界力的欧拉公式 xml/2xyFcrlyFcr(a) mM(x) = EIxyFcryxFcr(b) 假设假设理想压杆理想压杆处于临界平衡处于临界平衡状态的微弯状状态的微弯状态，态，材料材料处于处于线弹性线弹性范围。范围。距离原点距离原点x处处截面截面m的挠度的挠度为为y=f(x) 。11mM(x) = EIxyFcryxFcr(b) 由图由图( (b) )所所示隔离体的平衡可知：示隔离体的平衡可知：则挠曲线近似微分方程为：则挠曲线近似微分方程为：而而令令则则12微分方程的解：微分方程的解：边界条件：边界条件：13 由由于临界力于临界力Fcr是使压杆失稳
6、的最小压力，故是使压杆失稳的最小压力，故n应取不为零的最小值，即取应取不为零的最小值，即取n=1。 上式即上式即为为两端铰支两端铰支细长压杆临界力细长压杆临界力Fcr的计算的计算公式，由欧拉（公式，由欧拉（L.Euler）于）于1744年首先导出，所年首先导出，所以通常称为以通常称为欧拉公式欧拉公式。应该注意，压杆的弯曲是。应该注意，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的平面内发生，因此欧拉公式在其弯曲刚度最小的平面内发生，因此欧拉公式中的中的I应该是截面的应该是截面的最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩。 欧拉公式欧拉公式14在临界荷载在临界荷载Fcr作用下，作用下， FFcrOAB(a)由挠曲线精确微
7、分方程导由挠曲线精确微分方程导出出(b)由挠曲线近似微分方程导出由挠曲线近似微分方程导出FFcrOAB随遇平衡状态随遇平衡状态 15103不同支承条件下不同支承条件下细长压杆杆临界力的欧拉公式界力的欧拉公式 对对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：欧拉公式可写成统一的形式： 式中式中 称为称为长度系数长度系数，与杆端的约束情况有关，与杆端的约束情况有关 。 l 称为称为计算长度计算长度；代表；代表压杆失杆失稳时挠曲曲线上上两拐两拐点之点之间的的长度度。 16表表101 各种支承条件下细长压杆的临界力各种支承条件下细长压杆的临界力 F
8、crl支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定，两端固定，但可沿纵向但可沿纵向相对移动相对移动一端固定一端固定一端自由一端自由两端固定，两端固定，但可沿横向但可沿横向相对移动相对移动失失稳稳时时挠挠曲曲线线形形状状临界力临界力长度系数长度系数lFcrl0.5lFcr= 1= 0.7= 0.5= 2= 12llFcrFcr0.7ll17一、欧拉公式的应用范围104 欧拉公式的应用范围临界应力总图 实验表明实验表明：粗短压杆粗短压杆没有失稳现象；没有失稳现象；中等长度的中等长度的压杆压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不
9、符合；并不符合；细长压杆细长压杆失稳时的临界力，可以用欧失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。拉公式来计算。临界应力临界应力 cr：为量化欧拉公式的适用范围，定义：为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力临界力Fcr除以压杆横截面面积除以压杆横截面面积A为为临界应力临界应力。18则则引入压杆引入压杆长细比长细比或或柔度柔度：式中式中 为为压杆横截面杆横截面对中性中性轴的的惯性半径。惯性半径。 挠曲线挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此只有上，因此只有材料在线弹性范围内工作材料在线弹性范围内工作时，即只时，即只有有 cr p时，欧拉公式才能适用。时，欧拉公式
10、才能适用。 19O p p cr欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线 通常称通常称 p的压杆为的压杆为大柔度杆大柔度杆或或细长压杆细长压杆。欧拉公式的应用范围：欧拉公式的应用范围：20例如对于例如对于Q235钢，钢，E=206GPa， p=200MPa， 故对于故对于Q235钢压杆，欧拉公式的适用范围为钢压杆，欧拉公式的适用范围为 100。例题例题151 图示各杆均为圆截面细长压杆图示各杆均为圆截面细长压杆( p)，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如下图所示，问哪根杆能够承受的压力最大？哪根能下图所示，问哪根杆能够承受的压力最大？哪根能够承受的
11、压力最小？够承受的压力最小？ 21Fa(a)F1.3a(b)F1.6a(c)2aF(d)22解解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为细长杆，所以都可以用欧拉公式计算因为各杆均为细长杆，所以都可以用欧拉公式计算临界力。临界力。由于各杆的材料和截面都相同，因此只需比较各杆由于各杆的材料和截面都相同，因此只需比较各杆的计算长度的计算长度 l 即可。即可。 杆杆a： l = 2a = 2a 杆杆b： l = 11.3a = 1.3a 杆杆c： l = 0.71.6a = 1.12a 杆杆d： l = 0.52a = a临界力与界力与 l 的平
12、方成反比，所以的平方成反比，所以杆杆d能能够承受的承受的压力最大，力最大，杆杆a能能够承受的承受的压力最小。力最小。 23例题例题102 图示压杆用图示压杆用30304等边角钢制成，已等边角钢制成，已知杆长知杆长l=0.5m，材料为，材料为Q235钢，试求该压杆的临钢，试求该压杆的临界力。界力。 Fly0x0xxx0y024解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯最小惯性半径性半径为对为对y0轴的轴的惯性半径惯性半径 iy0= 0.58cm，由此可计，由此可计算出其柔度（长细比）为：算出其柔度（长细比）为：可见该压杆属于可见该压杆属于大柔度杆大柔度杆，可以
13、使用欧拉公式计算，可以使用欧拉公式计算其临界力。仍要注意截面的其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩最小惯性矩为对为对y0轴的轴的惯性矩惯性矩 Iy0= 0.77cm4，由此可计算出该压杆的，由此可计算出该压杆的临界临界力为：力为：25例题例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆，其两端用图示一矩形截面的细长压杆，其两端用柱柱形形铰铰与与其其它它构构件件相相连连接接。压压杆杆的的材材料料为为Q235钢钢，E=210GPa。(1)若若l=2.3m，b=40mm，h=60mm，试求其临界力；，试求其临界力；(2)试确定截面尺寸试确定截面尺寸b和和h的合理关系。的合理关系。 bhylhFFxbFFzx2
14、6解：解：(1) 若压杆在若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数件为两端铰支，长度系数 1=1，惯性半径，惯性半径若压杆在若压杆在xz平面内失稳，则杆端约束条件为两端平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数固定，长度系数 2=0.5，惯性半径，惯性半径 则则柔度柔度则则柔度柔度27 由于由于 1 2，因此该杆，因此该杆将将在在xy平面内失稳平面内失稳。该。该杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。(2) 若压杆在若压杆在xy平面内失稳，其临界力为：平面内失稳，其临界力为：28若压杆在若压杆在xz平面内失稳
15、，其临界力为：平面内失稳，其临界力为：截面的合理尺寸应使压杆在截面的合理尺寸应使压杆在xy和和xz两个平面内两个平面内具有相同的稳定性具有相同的稳定性，即，即由此可得：由此可得： h = 2b29二、二、中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 如如果压杆的柔度果压杆的柔度 p，则临界应力，则临界应力 cr大于材大于材料的比例极限料的比例极限 p，此时欧拉公式不再适用。对于，此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的经验公这类压杆，通常采用以试验结果为基础的经验公式来计算其临界应力。式来计算其临界应力。1. 直线公式直线公式 式中，式中，a和和b是与材料力学性能有关的常
16、数，一些是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料的常用材料的a和和b值见表值见表152。30表表102 一些常用材料的一些常用材料的a、b、 p、 s值值材材 料料a (MPa)b (MPa) p sQ235钢s=235MPab=372MPa3041.1210061.4优质碳碳钢s=306MPab=470MPa4602.5710060硅硅 钢s=353MPab510MPa5773.7410060铬 钼 钢9805.29550硬硬 铝3923.26500松松 木木28.70.19959031*公式适用范围公式适用范围：临界界应力不能大于极限力不能大于极限应力（塑力（塑 性材料性材料为屈服极限，脆
17、性材料屈服极限，脆性材料为强强度极限）。度极限）。满足此条件的杆件称为满足此条件的杆件称为中柔度杆中柔度杆或或中长压杆。中长压杆。 塑性材料：塑性材料： s p , 脆性材料：脆性材料： b p , * s的压杆称为的压杆称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆，属，属强度强度 破坏破坏，其临界应力为极限应力其临界应力为极限应力。 322. 抛物线公式抛物线公式式中，式中，a 是与材料力学性能有关的常数。是与材料力学性能有关的常数。 例如例如钢结构构设计规范范对小柔度杆提出了如下抛小柔度杆提出了如下抛物线型近似公式物线型近似公式 ：式中，式中，f 为钢材的强度设计值；为钢材的强度设计值； 1为与构
18、件截面为与构件截面类型有关的系数；类型有关的系数；fy为钢材的屈服强度。为钢材的屈服强度。33三、三、压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图：压杆的临界应力：压杆的临界应力 cr与柔度与柔度 之间的关系曲线。之间的关系曲线。 直线型经验公式的直线型经验公式的压杆临界应力总图压杆临界应力总图Oppcrsu(1)大柔度杆大柔度杆： p， cr p， 按按欧拉公式欧拉公式计算；计算；(2)中柔度杆中柔度杆： s p， 按按直线型经验公式直线型经验公式计算；计算；(3)小柔度杆小柔度杆： s， cr= u， 按按强度问题强度问题处理。处理。34Occcrs抛物线型经
19、验公式抛物线型经验公式的压杆临界应力总图的压杆临界应力总图(1)当当 c时，压杆时，压杆的临界应力的临界应力 cr c，可按可按欧拉公式欧拉公式计算；计算；(2)当当 c时，压杆时，压杆的临界应力按的临界应力按抛物线抛物线经验公式经验公式计算。计算。35稳定许用应力稳定许用应力：105 压杆的稳定计算 一、压杆的稳定许用应力、折减系数 式中式中nst为为稳定安全系数稳定安全系数，通常，通常nst随着柔度随着柔度 的增的增大而增大大而增大。稳定安全系数一般比强度安全系数要稳定安全系数一般比强度安全系数要大些大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为定为1
20、.41.7，而稳定安全系数规定为，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。甚至更大。 36折减系数折减系数或或稳定系数稳定系数： 是是 的函数，即的函数，即 = ( ) ，其值在，其值在01之间。之间。 二、压杆的稳定条件 即即 或或压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力 cr。37稳定性计算主要解决三方面的问题：稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核稳定性校核； (2) 选择截面选择截面； (3) 确定许用荷载确定许用荷载。注意：注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此不大，因此在稳定计算
21、中横截面面积在稳定计算中横截面面积一一般取毛面般取毛面积计算积计算。压杆的。压杆的折减系数折减系数 （或柔度（或柔度 ）受截面形）受截面形状和尺寸的影响状和尺寸的影响，通常采用，通常采用试算法试算法求解。求解。38例题例题 104 图示结构由两根材料和直径均相同的圆图示结构由两根材料和直径均相同的圆杆组成，杆的材料为杆组成，杆的材料为Q235钢，已知钢，已知h=0.4m，直径，直径d=20mm，材料的强度许用应力，材料的强度许用应力=170MPa，荷载，荷载F=15kN，试校核两杆的稳定性。，试校核两杆的稳定性。 FAddhBC4530(a)12yAxFFN1FN2(b)例题154图39解解：
22、为为校校核核两两杆杆的的稳稳定定性性，首首先先需需要要计计算算每每根根杆杆所所承承受受的的压压力力，为为此此考考虑虑结结点点A的的平平衡衡，其其平平衡方程为：衡方程为：由此解得两杆所受的压力分别为：由此解得两杆所受的压力分别为：FN1 = 0.896F = 13.44 kNFN2 = 0.732F = 10.98 kN40查表查表103，并插值可得，并插值可得两杆的折减系数分别为两杆的折减系数分别为两杆的长度分别为：两杆的长度分别为：l1 = h/sin45 = 0.566 m l2 = h/sin30 = 0.8 m两杆的柔度分别为：两杆的柔度分别为：41故两杆均故两杆均满足足稳定条件定条件
23、。 对两杆分别进行稳定性校核：对两杆分别进行稳定性校核：42例题例题 105 图示两端铰支的钢柱，已知长度图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料，试选择工字钢截面，材料的许用应力的许用应力=160MPa。 例题例题155图图yzxFlz43解解：由由稳稳定定条条件件不不能能同同时时确确定定两两个个未未知知量量A与与 ，因此必须采用因此必须采用试算法试算法。（1）第一次试算：）第一次试算：假设假设 =0.5，由稳定条件有：，由稳定条件有：查型钢表，试选查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面面积为号工字钢，其横截面面积为 ，最小惯性半径
24、为，最小惯性半径为 ，于是于是查折减系数表得查折减系数表得 ，由于由于 与与 相差较大相差较大，因此必须进行第二次试算因此必须进行第二次试算。44根据稳定条件有：根据稳定条件有： （2）第二次试算：）第二次试算：假设假设再选再选25a号工字钢，其横截面面积为号工字钢，其横截面面积为 ，最小惯性半径为最小惯性半径为 ，于是：，于是：查折减系数表并插值查折减系数表并插值由于由于 与与 仍相差较大仍相差较大，故还需进行第三次试算故还需进行第三次试算。45根据稳定条件有：根据稳定条件有： （3）第三次试算：）第三次试算：假设假设再选再选22b号工字钢，其横截面面积为号工字钢，其横截面面积为 ，最小惯性
25、半径为最小惯性半径为 ，于是：，于是：46此时此时 与与 已经相差不大已经相差不大，可以进行稳定校核可以进行稳定校核。最后最后选定定22b号工字号工字钢。 47例题例题106 图示托架中的图示托架中的AB杆为杆为16号工字钢，号工字钢，CD杆杆由两根由两根506等边角钢组成。已知等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m，材，材料为料为Q235钢，其许用应力钢，其许用应力 = 160 MPa，试求该托，试求该托架的许用荷载架的许用荷载F。 DCFlhABl/248解：首先考虑解：首先考虑AB杆的平衡（图杆的平衡（图a）图(a)ABCFFCD1. 由由CD杆的稳定性确定许用荷载杆的稳定性确定许用荷载49图(b)M图Fl/2+2F图(c)FN图由此可得：由此可得：2. 由由AB杆的强度确定许用荷载杆的强度确定许用荷载 AB杆杆为为拉拉弯弯组组合合受受力力状状态态，其其弯弯矩矩图图和和轴轴力力图图分分别别如如图图b和和图图c所所示示。可可见见C左左侧侧截截面面为为危危险险截截面，由此可以建立强度条件。面，由此可以建立强度条件。 50通过比较通过比较1和和2可知，该托架的许用荷载为可知，该托架的许用荷载为F=18.9kN。51
