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1、4.34.3 分部积分法分部积分法一、幂函数与指数函数之积一、幂函数与指数函数之积三、幂函数与对数或反三角函数之积三、幂函数与对数或反三角函数之积四、单独的对数或反三角函数四、单独的对数或反三角函数五、三角函数与指数函数之积五、三角函数与指数函数之积六、多种方法的综合使用六、多种方法的综合使用二、幂函数与三角函数之积二、幂函数与三角函数之积1应用分部积分法的关键在于应用分部积分法的关键在于的选择是否恰当的选择是否恰当. .的选择原则是的选择原则是: :1).1). 要易求得要易求得; ;2).2).要比要比易求易求. .说明说明分部积分法公式分部积分法公式或者或者2设函数设函数具有连续导数，具
2、有连续导数，由由得得两边求不定积分，得两边求不定积分，得证明：证明：3一、幂函数与指数函数之积一、幂函数与指数函数之积选选4例例1 1. .求求解解选取合适选取合适的助手的助手由分部积分公式由分部积分公式, ,得得其中，其中，5解解例例2.2.求求选取合适选取合适的助手的助手注：注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数的若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数的乘积，可设幂函数为乘积，可设幂函数为u u，而将其余部分为，而将其余部分为v v, ,使得应用分部积使得应用分部积分后，分后，幂函数的幂次降低一次幂函数的幂次降低一次。6二、幂函数与三角函数之积二、幂函数与三角函数之积选
3、选或者或者或或7解解由分部积分公式由分部积分公式, ,得得例例3 3. .求求选取合选取合适的助适的助手手8例例4. 4. 求求解解选取合选取合适的助适的助手手注：注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函数的乘积，可设幂函数为数的乘积，可设幂函数为u u，而将其余部分为，而将其余部分为v v, ,使得应用分部使得应用分部积分后，积分后，幂函数的幂次降低一次幂函数的幂次降低一次。9三、幂函数与对数或反三角函数之积三、幂函数与对数或反三角函数之积或者或者选选10例例5.5.求求选取合选取合适的助适的助手手解解11例例6 6. .选取合
4、选取合适的助适的助手手解解 原式原式12v注：注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为积，可设对数函数或反三角函数为u u，而将幂函数为，而将幂函数为v,v,使使得应用分部积分后，得应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失对数函数或反三角函数消失。13四、单独的对数或反三角函数四、单独的对数或反三角函数或者或者当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时, ,也用分部积分公式。也用分部积分公式。选选14例例7.7.解解15例例8 8. .解解方法方法1 1，换元法，换元法方法方
5、法2 2设同时用到同时用到分部积分法分部积分法和和换元法换元法16五、三角函数与指数函数的乘积五、三角函数与指数函数的乘积或者或者“打回头打回头”现象现象选选或或17例例9 9. .于是于是, ,解解“打回头打回头”现象现象18v注：注：若当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，若当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，u u和和vv可随意选取可随意选取, ,但在两次分部积分中，必须选用但在两次分部积分中，必须选用同类型同类型的的u u，以便经过两次分部积分后，以便经过两次分部积分后产生循环式产生循环式，从而解出所求积从而解出所求积分分。19说明说明在用分部积分法求不定积分时在用分部积
6、分法求不定积分时, ,常出现如下情形常出现如下情形: :“打回头打回头”现现象象20六、多种方法的综合使用六、多种方法的综合使用有时在积分过程中有时在积分过程中, ,需要同时用到需要同时用到换元法换元法和和分部积分法分部积分法. .21解解例例1010. .令令同时用到同时用到换元法换元法和和分部积分法分部积分法22解解说明说明: : 此题若先求出此题若先求出再求积分反而复杂再求积分反而复杂. . 的一个原函数是的一个原函数是求求例例1111 . .已知已知抽象函数的积分抽象函数的积分练习一下练习一下23练习一下练习一下答案见答案见 例题例题4 4和和6 6。求求24小小 结结两条经验两条经验1 1）分部积分法的四种情况）分部积分法的四种情况2 2）多种积分方法的综合使用）多种积分方法的综合使用2 2）遇到抽象函数的积分要灵活）遇到抽象函数的积分要灵活1 1）分部积分法的关键是选取合适的助手，即选择）分部积分法的关键是选取合适的助手，即选择合适的合适的 。2526
