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1、一、平面向量复习一、平面向量复习定义：定义：既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示；用有向线段表示； 字母表示法：字母表示法：用字母用字母a、b等或者等或者用有向用有向线段段的起点与的起点与终点字母点字母 表示表示相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算向量的加法：向量的加法：aba+b平行四边形法则平行四边形法则aba+b三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连)向量的减法向量的减法aba-b三角形法则三角形法则 减向量减向量终点指向终点指向被减向量被减向量
2、终点终点平面向量的加法运算律平面向量的加法运算律加法交换律：加法交换律：abba 加法结合律：加法结合律：(ab)ca(bc) 推广推广首尾相接的若干向量之和，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：尾向量的终点的向量即：首尾相接的若干向量构成一首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零个封闭图形，则它们的和为零向量即：向量即：二、空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算 空间向量空间向量（1）定义：空间中具有）定义：空间中具有大小大小和和方向方向的的量叫做空间向量量叫做空间向量空间向量的大小叫做空间向量的大小叫做向量向量的
3、的模模二、空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算 空间向量空间向量（2）表示方法）表示方法：几何表示：用有向线段表示空间向量几何表示：用有向线段表示空间向量有向线段的长度表示空间向量的模；有向线段的长度表示空间向量的模；代数表示：用表示有向线段起点终点代数表示：用表示有向线段起点终点的大写字母加箭头表示空间向量；也可的大写字母加箭头表示空间向量；也可用带有箭头的小写字母表示空间向量；用带有箭头的小写字母表示空间向量；空间向量的模表示成空间向量的模表示成 或或与与平面向量平面向量相同相同 空间向量空间向量（3）特殊的空间向量：）特殊的空间向量：单位向量：单位向量：大小（模）为大小（模）为1
4、向量；向量；零向量：零向量：大小（模）为零的向量；大小（模）为零的向量； 记作记作二、空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算零向量零向量的方向是任意的的方向是任意的若若 是单位向量，则是单位向量，则若若 ，则，则 是单位向量是单位向量二、空间向量及其加减运算二、空间向量及其加减运算 空间向量空间向量相等向量：相等向量：大小相等大小相等和和方向相同方向相同的向的向量；二者缺一不可量；二者缺一不可（4）空间向量的关系）空间向量的关系：共线向量（或平行向量）：方向相同共线向量（或平行向量）：方向相同或相反的向量或相反的向量相反向量：大小相等方向相反的向量相反向量：大小相等方向相反的向量 空间向
5、量是自由向量；空间任意两个空间向量是自由向量；空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示段表示2. 空间向量的加法、减法空间向量的加法、减法a + babABbCOa - - b3. 空间向量加法运算律空间向量加法运算律加法交换律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c 空间向量的加法、减法的说明空间向量的加法、减法的说明1. 空间向量的运算就是平面向量空间向量的运算就是平面向量运算的推广运算的推广2.
6、 两个向量相加的平行四边形法两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立则在空间仍然成立3. 空间向量的加法运算可以推广至空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加若干个向量相加推广推广首尾相接的若干向量之和，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：尾向量的终点的向量即：首尾相接的若干向量构成一首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零个封闭图形，则它们的和为零向量即：向量即：例例1. 给出以下命题：给出以下命题：（1）空间中任意两个单位向量相等。空间中任意两个单位向量相等。 （2）两个空间向量相等，则它们的两个空间向量相等，则它
7、们的起点、终点相同；起点、终点相同；（3）若空间向量若空间向量 满足满足 ，则则 ；（4）在正方体在正方体 中，中，必有必有 ；（5）若空间向量若空间向量 满足满足 ，则，则 ；其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4C变式：变式：如图所示，长方体中，如图所示，长方体中，AD=2，AA1=1，AB=3。（1）写出与写出与 相等的所有向量；相等的所有向量；（2）写出与向量写出与向量 的相反向量。的相反向量。平行六面体：平行六面体：平行四边形平行四边形ABCD平平移向量移向量a到到A1B1C1D1的的轨迹所形成轨迹所形成 的几何体，叫做平行六面体。
8、的几何体，叫做平行六面体。ABCDA1B1C1D1A1D1C1B1BACD记作记作ABCDA1B1C1D1，它的六个面它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。行六面体的棱。a例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ， 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ， 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD（1）例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ， 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量
9、表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD（2）例例2 已知平行六面体已知平行六面体 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD（2）始点相同的三个不共始点相同的三个不共面向量之和，等于以面向量之和，等于以这三个向量为棱的平这三个向量为棱的平行六面体的以公共始行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量点为始点的对角线所示向量例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ， 化简下列向量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD例例2 已知平行六面体已知平行六面体 ， 化简下列向
10、量表达式，并标出化简化简下列向量表达式，并标出化简 结果的向量：结果的向量：ABCDABCD变变式：式：已知平行六面体，下列四式中已知平行六面体，下列四式中正确的是正确的是 。A1D1C1B1BACD变式：变式：A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例例3 在正方体在正方体 中，中，下列各式中运算的结果为向量下列各式中运算的结果为向量 的共有（的共有（ ）个）个例例4 在如图所示的平行六面体中，求证：在如图所示的平行六面体中，求证：ABCDABCD平面向量平面向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律表示法表示法相等向量相等向量减法减法: :三角形法则三角形法则加法加法: :三角形法则或三角形法则或平行四边形法则平行四边形法则空间向量空间向量定义：具有大小和方向的量定义：具有大小和方向的量小结小结类比、数形结合类比、数形结合加法交换律：加法交换律：abba 加法结合律：加法结合律：(ab)ca(bc)
