初等变换和初等矩阵

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1、第五节第五节 初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵1引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组解解: 第二个方程减去第一个方程的第二个方程减去第一个方程的2倍倍,第三个方程第三个方程减去第一个方程减去第一个方程,得得:2第二个方程与第三个方程互换得第二个方程与第三个方程互换得 :第三个方程减去第二个方程的第三个方程减去第二个方程的4倍得倍得:3第三个方程两边乘以第三个方程两边乘以 得得:将第一个方程减去第三个方程的将第一个方程减去第三个方程的3倍倍,第二个方程第二个方程加上第三个方程得加上第三个方程得:4将第一个方程加上第二个方程得将第一个方程加上第二个方

2、程得:第一个方程两边乘以第一个方程两边乘以 得得:即即上面解方程的过程上面解方程的过程,从从到到叫消元过程叫消元过程,从从到到叫回代过程叫回代过程.5小结小结1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：三种变换：（1）交换两个方程次序；）交换两个方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与与相互交换）相互交换）（以（以 替换）替换）（以（以 替换）替换）这三种变换均称为线性方程组的初等变换这三种变换均称为

3、线性方程组的初等变换.63上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的因此线性方程组的组与变换后的方程组是同解的因此线性方程组的三种初等变换也称为同解变换三种初等变换也称为同解变换7可以看到在上述变换过程中，仅仅只对方程组可以看到在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（方程组（1）的增广矩阵）的行进行变换过程如下）的增广矩阵）的

4、行进行变换过程如下:8最后一个矩阵对应的最后一个矩阵对应的 就是原方程组的解就是原方程组的解9 从上面的分析可以看出从上面的分析可以看出,解线性方程组的解线性方程组的过程完全可以归结为对矩阵的变换。过程完全可以归结为对矩阵的变换。 上面对矩阵的行所作的变换上面对矩阵的行所作的变换,归纳起来归纳起来有三种类型，即矩阵的初等变换。有三种类型，即矩阵的初等变换。这种方法不仅可以简化解方程的手续这种方法不仅可以简化解方程的手续,更重要的更重要的是为研究线性方程组解的理论提供了重要的工具。是为研究线性方程组解的理论提供了重要的工具。10定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等

5、行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换11 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相且变换类型相同同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换12等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系。具有上述三条性质的关系称为等价关系。例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价13例例1 用矩阵的

6、初等行变换用矩阵的初等行变换 解线性方程组解线性方程组14特点：特点：（1）可划出一条）可划出一条阶梯线，线的下阶梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）每个台阶）每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元 称为行阶梯形矩阵称为行阶梯形矩阵 。15 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形。标准形。16(F称为矩阵称为矩阵 的标的标准形准形,其特点是左上其特点是左上角是一个单位矩阵角是一个单位矩阵,其余元

7、素全为零其余元素全为零)17 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，称等价的矩阵组成的一个集合，称为一个为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简单的矩是这个等价类中最简单的矩阵阵.18三、初等矩阵三、初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛。泛。三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.定义定义 由由 阶单位矩阵阶单位矩阵 经过一次初等变换得到的经过一次初等变换得到的方阵称为方阵称为 阶初等矩阵阶初等矩阵. .19第一种第一种初等阵初等阵20其结果相当于矩阵其结果相当于矩阵 进行一次第一种初等行

8、变换进行一次第一种初等行变换-交换矩阵的第交换矩阵的第 两行两行21即即22以数以数 乘乘 的第的第 行行(或第或第 列列)得到的矩阵得到的矩阵,记为记为 ,即即第二种第二种初等阵初等阵23即即24第三种第三种初等阵初等阵25对对A施以第三种初等列变换施以第三种初等列变换:26 对单位矩阵作一次初等行（列）对单位矩阵作一次初等行（列）变换得到三类初等矩阵变换得到三类初等矩阵,分别为分别为:以上三类矩阵就是全部的初等矩阵以上三类矩阵就是全部的初等矩阵.27定理定理1 (初等变换和初等矩阵的关系初等变换和初等矩阵的关系)设设 是一个是一个 矩阵矩阵,对对 施行一次施行一次初等行变换初等行变换,相当

9、于在相当于在矩阵矩阵 的的左边乘左边乘以相应的以相应的 阶矩阵阶矩阵;对对 施行一次施行一次初等列初等列变换变换,相当于在矩阵相当于在矩阵 的的右边乘右边乘以相应的以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵,即即左边乘左边乘右边乘右边乘28如如:29相当于对矩阵相当于对矩阵 进行一次第三种初等列变换进行一次第三种初等列变换,即将第一即将第一列乘以列乘以k加到第二列。加到第二列。304.初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵 因为初等矩阵都是单位矩阵经过一次初等变换因为初等矩阵都是单位矩阵经过一次初等变换得到的得到的,所以它们的行列式都不为零所以它们的行列式都不为零,因此初等矩阵都因此初等矩阵都是可逆的是可逆的,

10、且它们的逆矩阵仍是初等矩阵且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.31四、利用初等变换求逆矩阵四、利用初等变换求逆矩阵 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一次施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .32 矩阵矩阵 总可经过初等变换化为标准形总可经过初等变换化为标准形其中其中 为行阶梯形矩阵中的行数为行阶梯形矩阵中的行数该结论可以叙述为该结论可以叙述为定理定理2 对于任一对于任一 矩阵矩阵 ,一

11、定存在有限个一定存在有限个 阶初阶初等矩阵等矩阵 和和 阶初等矩阵阶初等矩阵 使得使得33定理定理3 对于对于 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,一定存在有限个一定存在有限个 阶初等阶初等矩阵矩阵 ,使得使得34定理定理4 设设 为可逆方阵为可逆方阵,则存在有限个初等矩阵则存在有限个初等矩阵使使推论推论 矩阵矩阵 与与 等价的充要条件是存在等价的充要条件是存在 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 和和 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ,使使证明证明:由定理由定理3,由矩阵等价的对称性知由矩阵等价的对称性知:即即即即 可以经过有限次初等变换变成可以经过有限次初等变换变成 ,即存在有限即存在有限个初等矩阵个初等矩阵 使得使得35利

12、用初等变换求逆阵的步骤如下利用初等变换求逆阵的步骤如下:1. 作一个作一个 的矩阵的矩阵2.对此矩阵进行初等行变换对此矩阵进行初等行变换,使得使得A这块矩阵这块矩阵化为单位矩阵化为单位矩阵,则则E这块矩阵相应地变成这块矩阵相应地变成或者或者1. 作一个作一个 的矩阵的矩阵2.对此矩阵进行初等列变换对此矩阵进行初等列变换,使得使得A这块矩阵这块矩阵化为单位矩阵化为单位矩阵,则则E这块矩阵相应地变成这块矩阵相应地变成36 解解例例2 237 如果不知如果不知A是否可逆是否可逆,也可用此方法做。也可用此方法做。当要求化成当要求化成E的那块矩阵出的那块矩阵出现全零行现全零行(列列),则表明原矩阵则表明原矩阵A 不可逆。不可逆。38即即初等行变换初等行变换利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可以用于解矩阵方还可以用于解矩阵方程程 。显然。显然39例例3 3解解40列变换列变换如果要解如果要解YA=C,则可以对矩阵则可以对矩阵 作初等列变换作初等列变换,行变换行变换41