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1、第三章第三章 电路定理电路定理叠叠加加定定理理 替替代代定定理理 戴戴维维南南定定理理（诺诺顿顿定定理理) 最最大大功功率传输定理率传输定理 特勒根定理特勒根定理 互易定理互易定理 对偶原理。对偶原理。 电路定理电路定理：第一节第一节 叠加定理叠加定理 一定理陈述及其解释性证明一定理陈述及其解释性证明1定定理理陈陈述述：在在线线性性电电路路中中，任任一一支支路路的的电电流流或或电电压压是是电电路路中中各各个个独独独独立立立立源源源源( (激激激激励励励励) )分分别别作作用用时时在在该该支支路路中中产产生生的的电电流或电压的流或电压的代数和代数和。 aR1R3+ US1 - - I1IS2-
2、-US3 +分析图中分析图中Ua 、I1 与各个激励的关系与各个激励的关系 叠加定理叠加定理R1R3I1US1aUS1 单单独独作作用用时时(IS 不不作作用用时时开开路路，US3 不不作用时作用时短路短路)： R1R3IS2I1IS2 单独作用时单独作用时 :US3 单独作用时：单独作用时： R1R3- - US3 +I1显然有显然有 叠加原理证明叠加原理证明解释性证明：解释性证明： 线线性性电电路路独独立立变变量量方方程程是是线线性性代代数数方方程程，其其方方程程右右端端项项与与各各电电源源成成正正比比，由由克克莱莱姆姆法法则则知知独独立立变变量量与与各各电电源源成成正正比，再由支路比，再
3、由支路VAR可知各支路可知各支路u、i亦与各电源成正比。亦与各电源成正比。 二叠加定理二叠加定理注意点注意点 1、叠加定理是、叠加定理是线性电路线性电路叠加特性叠加特性的概括表征。的概括表征。 2、若若uS不不作作用用，则则短短接接之之，若若iS不不作作用用，则则开开路路之之；而而受受控控源源不不是是激激励励，即即作作图图分分解解时时受受受受控控控控源源源源始始始始终终终终保保保保留留留留在在在在电电电电路路路路中中，此此外外，定定理理中中“各各个个独独立立源源”可可换换为为“各各组组独独立立源源”(分组叠加分组叠加)。 U Ua a = =K K1 1U US1S1 + + K K2 2I
4、IS2S2 + + K K3 3U US3S3 3、对非线性电路不适用。、对非线性电路不适用。4、要注意电压或电流的参考方向（代数和）。、要注意电压或电流的参考方向（代数和）。6、只只适适用用于于线线性性电电路路中中求求解解电电压压与与电电流流响响应应，而而不不不不能能能能用用用用来来来来计计计计算算算算功功功功率率率率。这这是是由由于于只只有有线线性性电电路路中中的的电电压压或或电电流流才才是是激激励励的的一一次次函函数数，而而功功率率与与激激励励不不再再是是一一次次函函数数关关系系。求求“代数和代数和”时要时要注意注意注意注意各电压或电流的各电压或电流的各电压或电流的各电压或电流的参考方向
5、参考方向参考方向参考方向。 7、当当线线性性电电路路只只有有一一个个激激励励时时，则则激激励励扩扩大大K倍倍，任任意意支支路路的的响响应应也也扩扩大大K倍倍。这这称称为为线线性性电电路路的的齐齐齐齐次次次次性性性性。实实际际上上：线线线线性性性性性性性性质质质质包包包包括括括括 叠叠叠叠加加加加性性性性( (可可可可加加加加性性性性) )和和和和齐齐齐齐次次次次性性性性( (比比比比例例例例性性性性，均均均均匀性匀性匀性匀性) )。5、叠加时，电路的连接以及电路中所有的元件（除不作、叠加时，电路的连接以及电路中所有的元件（除不作用的独立源）都不允许更动。用的独立源）都不允许更动。例例1. 求图
6、求图(a)中的中的uab 、i1 。(a)631- - 6V + 12V- -2A3Ai1ab(b)6313Ai1 ab(c)631- -6V + 12V- -2Ai1 ab 解解：用用叠叠加加法法，采采用用“分分组组叠叠加加”方法方法3A电流源单独作用时（图电流源单独作用时（图(b)） 其它独立源共同作用时（图其它独立源共同作用时（图(c)）例例2图示电路中图示电路中NS为有源线性三端口网络，为有源线性三端口网络，已知：已知：IS1 = 8A、US2 = 10V时，时，UX = 10V；IS1 = 8A、US2 = 6V时，时，UX = 22V；IS1 =US2 = 0时，时，UX = 2V
7、；试求：试求：IS1 = 2A、US2 = 4V时，时，UX = ？ UX IS1 US2 NS解：根据叠加性用解：根据叠加性用“待定系数法待定系数法”求解：即设：求解：即设： UX =K1IS1 +K2US2 +K3 其中其中K3为为NS内部所有独立源对内部所有独立源对UX 所产生的贡献。于是有所产生的贡献。于是有若为若为无源线性无源线性网络，则网络，则不不不不考虑内部电源考虑内部电源的作用的作用. 第二节第二节 替代定理替代定理(置换定理置换定理)一一定定理理陈陈述述：在在给给给给定定定定的的线线性性或或非非线线性性电电路路中中，若若已已知知第第k条条支支路路的的电电压压uK和和电电流流i
8、K ，且且该该支支路路不不含含有有受受控控源源或或受受控控源源的的控控制制量量，则则该该支支路路可可以以用用下下列列任任何何一一种种元元件件来来替替代代： uS = uK的的电电压压源源； iS = iK的的电电流流源源； 若若pK吸吸 0，则则可可替替代代为为RK=|uKiK |的的电电阻阻。若若替替代代前前后后电电路路均均具具有有唯唯一一解解，则则替替代代后后电电路路中中各各支支路路的的电电压压与电流均保持为原值。与电流均保持为原值。2）替代前后电路均具有唯一解，因此替代后）替代前后电路均具有唯一解，因此替代后uK 不变；不变；其它各支路的电压、电流不变其它各支路的电压、电流不变。1）设第
9、）设第K条支路用条支路用iS = iK 来替代，则替代前后来替代，则替代前后iK 不变；不变；其它支路其它支路VAR未变；未变；KCL、KVL未变；未变； 二定理证明：二定理证明： 这这相相当当于于数数学学上上将将具具有有唯唯一一解解的的一一组组方方程程中中的的某某一一未未知知量量用用其其解解答答代代替替，不不会会引引起起方方程程中中其其它它任任何何未未知知量量的的解解答答在量值上有所改变。在量值上有所改变。 三三 定理应用：定理应用： 说明：说明：1、实际上，某一支路的电压和电流不一定全要知道，才、实际上，某一支路的电压和电流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相应的元件
10、去能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相应的元件去替代。如：已知替代。如：已知uk，则可用电压为，则可用电压为uk的独立源来置换该支的独立源来置换该支路的元件。路的元件。2、电压源的极性和电流源的方向必须和原网络中的被替、电压源的极性和电流源的方向必须和原网络中的被替代量一致。代量一致。替代定理应用替代定理应用 大网络的大网络的“撕裂撕裂”： i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C 替替代代定定理理推推广广用用于于二二端端网网络络时时，要要求求该该二二端端网网络络内内部部某某部部分分电电压压或或电电流流不不能能是是外外部部受受控源的控制量控源的控制量。 某些线性电路问题的解决某些线性电路问题的
11、解决(如定理的证明如定理的证明) ; 具有唯一解非线性电路问题的简化分析。具有唯一解非线性电路问题的简化分析。i+u- -Ni+u- -N 是测试或试验中采用假负载的理论依据。是测试或试验中采用假负载的理论依据。 作业：作业：3-13-1，3-33-3，3-53-5 课前练习题课前练习题图示电路图示电路, ,求电压求电压U 。解法解法1: 叠加定理叠加定理U= - -6V6618V 3A3+U- -3U=12V 663A3+U- -36618V 3+U- -3663A3+U- -3解法解法2: : 节点法节点法U = U+U = 6VabR一端口网络一端口网络 两个端钮电流相等的二端网络两个端
12、钮电流相等的二端网络无源一端口网络无源一端口网络（无源二端网络）（无源二端网络）第三节第三节 戴维南定理与诺顿定理戴维南定理与诺顿定理含源含源一端口网络一端口网络（有源二端网络）（有源二端网络）？3642A+24V- -ab(a)- - 8V +3644Aab (b)6+16V- -ab(c)Ri NS 的的“除源电阻除源电阻”；是指将；是指将NS内所有的独立源令为零内所有的独立源令为零(将将uS短路，将短路，将iS开路开路)时的入端电阻时的入端电阻(除源后的一端口用除源后的一端口用N0表示表示)。NSi+u- -外外电电路路(a)i+u- -外外电电路路(b)Ri+uocuOC NS 端口的
13、开路电压端口的开路电压 1定理陈述：任何一个含独立源、定理陈述：任何一个含独立源、线性电阻、线性受控源的一端口网线性电阻、线性受控源的一端口网络络NS ，对于外电路来说都可以等效，对于外电路来说都可以等效成为有伴电压源成为有伴电压源(uOC 与与Ri 的串联组的串联组合合)，其中：，其中：一戴维南定理一戴维南定理 2. 定理证明：定理证明：开路开路NS + +u= uOC - -NOi+u- iNSi+u- i替代定理替代定理Rii +u=Rii - i因因此此 u= u+u= uOC -Ri i 如如图图（b），），定理证毕。定理证毕。 两个网络若在端口处的两个网络若在端口处的VCR相相同，
14、则两者对同，则两者对外电路外电路而言是而言是等效等效的。的。i+u- -外外电电路路(b)Ri+uocNSi+u- -外外电电路路(a)二诺顿定理二诺顿定理 1定定理理陈陈述述：任任何何一一个个含含独独立立源源、线线性性电电阻阻、线线性性受受控控源源的的一一端端口口网网络络NS ，对对于于外外电电路路来来说说都都可可以以等等效效成成为为有有伴伴电电流流源源(iSC 与与Gi 的并联组合的并联组合)，其中：，其中： iSC NS 端口的短路电流；端口的短路电流； iSC 方向由方向由u的的“+极极”沿外电路至沿外电路至“- - 极极”！ Gi =1Ri NS 的的“除源电导除源电导”； 2定定理
15、理证证明明：先先将将NS 等等效效为为戴戴维维南南等等效效电电路路，再再用用有有伴伴电电源源等等效效变变换换即即证证。由由等效关系可知：等效关系可知： iSC = i|u=0 = uOCRi NSi+u- -外外电电路路(a)iiSC外外电电路路(b)+u Gi三戴维南等效电路或诺顿等效电路的求法三戴维南等效电路或诺顿等效电路的求法方法一方法一 (若除源后若除源后N0 为简单纯电阻电路为简单纯电阻电路)：求求uOC 、iSC 二者之一，其中：二者之一，其中： uOC 令端口令端口i =0 (开路开路) iSC 令端口令端口u =0 (短路短路) 对除源网络对除源网络N0 (简单纯电阻电路简单纯
16、电阻电路)用串、并联的方法求出用串、并联的方法求出Ri 方法二方法二：同时求出：同时求出uOC 、i SC ， 则：则： Ri =uOC iSC但当但当uOC =0时，时，iSC 也为也为零零，此时就此时就不能用不能用上式求上式求Ri 方法三方法三(一步法一步法或激励响应法或激励响应法 )： 直接对直接对NS 求解端口的求解端口的VAR，若求得为若求得为 u =A+B i 则由戴维南等效电路知：则由戴维南等效电路知：uOC =A，Ri=B （当求当求uOC 或或iSC 的电路仍然较复的电路仍然较复杂时用此法的计算量最少杂时用此法的计算量最少） NSi+ u - - + uS - - 方法四：方
17、法四：实验测量法实验测量法（限于（限于直流直流电路）：电路）： + +U R- - + +UOC - - RiI测开路电压测开路电压UOC ； 允允许许短短路路时时测测ISC ，则则Ri =UOCISC ; 否否则则用用一一R作作为为外外电电路路并并测其测其U、I， 此时此时例例1试分别求当负载电阻试分别求当负载电阻RL为为7和和11时电流时电流I之值之值 。解解：特特点点 求求解解量量均均在在RL 支支路路(a图图)。最最好好选选用用戴戴维维南南定定理理（或诺顿定理）求解：（或诺顿定理）求解：求求UOC: 用回路法用回路法(b图图) ：对对除除源源后后的的简简单单电电阻阻电电路用路用串并联串
18、并联的方法求的方法求Ri ：32048RL- - 16V +1AIab(a)32I1-201=16， 得得 I1= 98A, UOC =8I1+1631=4V ab(b)32048- - 16V +1A1AI1 + +UOC - -32048abRi(c)由戴维南等效电路求由戴维南等效电路求I ： IRL4V 9此此解法简单解法简单例例2求图求图(a)电路的最简等效电电路的最简等效电路。路。 除源（受控源不得除去）求除源（受控源不得除去）求Ri （图（图b）消去非端口变量消去非端口变量I1 得：得：Ri =15+ 20V- -15a+U- -bI解法一：求解法一：求UOC 、Ri I =0 求
19、求UOC （图图a）51051+ 12V- -2I1I1Ia+U- -b(a)I1I1510512I1I1Ia+U- -b(b)解法二：同时求解法二：同时求UOC 与与ISC UOC 的求法同解法一的求法同解法一 求求ISC 对应的电路如图对应的电路如图c： 51051+ 12V- -2I1I1I(c)ISCI3I2 由由KVL：5ISC -10I1 = 0得得：I1 =0.5I SC从从而而I3 =I1 +I SC =1.5I SC ，I2 =2I1 I3 = 0.5I SC 注注意意控控制制量量I1在在不不同同状状态态时时的的变变化化：短短路路时时I1 =23A，开开路路时时I1 =2A
20、.解法三：一步法（直接求端口解法三：一步法（直接求端口VAR） 另一回路另一回路KVL：1I3 5I2+5I SC =12即：即：(1.5+2.5+5)I SC =12 得：得：I SC =43A； Ri =U OCI SC =20(4/3)=15 得：得：U=20+15I I1 =(-5I+U)10=0.1U-0.5I I2 =I1+I =0.1U + 0.5I I3 =2I1 I2 =0.1U-1.5I U=5I5I2 I3 +12 U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12解解法法四四：先先等等效效变变换换化化简简再再求求解解（略）（略）.51051+ 12V- -2I1I1
21、Ia+U-b(a)I2I3注意点注意点： 1、对端钮处等效，即对、对端钮处等效，即对外电路等效外电路等效。 2、含源一端口网络一定是、含源一端口网络一定是线性线性网络。网络。 3、开路电压、开路电压uOC与端电压与端电压u不同，要注意等效电压源不同，要注意等效电压源uOC的参考极性。的参考极性。 4、外电路为、外电路为任意任意（线性、非线性、有源、无源、支路或（线性、非线性、有源、无源、支路或部分网络均可）。部分网络均可）。 5、若含源一端口网络、若含源一端口网络NS内具有受控源时，这些受控源只内具有受控源时，这些受控源只能受能受NS内部内部（包括端口）（包括端口）有关电压或电流控制，而有关电
22、压或电流控制，而NS内部内部的电压或电流也不能作为外电路中受控源的控制量。即的电压或电流也不能作为外电路中受控源的控制量。即NS与外电路之间与外电路之间一般一般应没有耦合关系。应没有耦合关系。第四节第四节 最大功率传输定理最大功率传输定理一最大功率传输定理的结论与证明一最大功率传输定理的结论与证明I a+U RLbNS问题：如图问题：如图RL =?时，时，NS 传给传给RL的的PR L = Pmax =?I a+U- - RL b+UOC- -Ri得得 RL =Ri ，此时此时 RL 可获得可获得Pmax 匹配匹配求解：戴维南等效电路如图则有：求解：戴维南等效电路如图则有：（最大功率传输定理最
23、大功率传输定理） 通通常常UOC 发发出出的的功功率率并并不不等等于于NS 中中原原来来电电源源所所发发出出的的功功率率，匹匹配配时时的的效效率率并并不不高高，对对UOC来来讲讲，只只有有50(对对NS ，50)。因因此此，对对于于强强电电而而言言，不不能能工工作作在在匹匹配配状状态态；但但对对弱弱信信号号的的传传输输，往往往就需要实现最大功率传输。往就需要实现最大功率传输。若用诺顿等效电路若用诺顿等效电路例：求例：求RL = ?时时PRL吸吸 = Pmax= ?Ri+ UOC - - RL11 iRL 202010 2A11+ 15V - - + 5V - - i解：先进行戴维南等效解：先进
24、行戴维南等效作业：作业：3-7(a)、(b)、(c)，3-9(a)，3-14，3-16 4 4 3 3 2 2A A+ +12V- -6 6 a ab bRL（2） 解：（1）课前练习题课前练习题 图所示电路图所示电路。求求:（1）RL为何值时它可获得最大功率，并求此最大功为何值时它可获得最大功率，并求此最大功率率Pmax;（2 2）若）若R RL L=2=2 , ,再求再求RL消耗的功率。消耗的功率。第七节第七节 对偶原理对偶原理 即即系系统统中中某某些些元元素素之之间间的的关关系系（或或方方程程）用用对对应应的的另另一一些些元元素素置置换换后后，所所得得的的新新关关系系（或或新新方方程程）
25、也也一一定定对对应应地成立。地成立。电路中互为对偶的元素、变量有：电路中互为对偶的元素、变量有：u、R、L、开开路路、有有伴伴电电压压源源、磁磁链链、uOC 、节节点、节点自电导、点、节点自电导、iS i、G、C、短短路路、有有伴伴电电流流源源、电电荷荷、i SC 、网网孔孔、网孔自电阻、网孔自电阻、uS 在电路分析中，发现有些关系式、物理量及电路是成对出在电路分析中，发现有些关系式、物理量及电路是成对出现的，它们之间存在着一种明显的现的，它们之间存在着一种明显的类比类比关系。例如：欧姆关系。例如：欧姆定律的两种形式：定律的两种形式： 关联参考方向：关联参考方向：u = Ri ， I = Gu
26、通过对应元素（对偶元素）互换后又能彼此转换，这种类通过对应元素（对偶元素）互换后又能彼此转换，这种类比的性质就称比的性质就称对偶性对偶性，即对偶原理。，即对偶原理。 电路中互为对偶的方程如：电路中互为对偶的方程如： u=Ri ；iC =C(duC dt)；L = LiL ； ； i=Gu ；uL =L(diL dt)；qC = CuC ；. R1 R3 + uS1 - -il1 R2il2 + uS3 - - G2G1G3iS1iS3互为对偶的电路互为对偶的电路根据对偶原理，如果导出了电路某一个关系式或结论，就等于解决了根据对偶原理，如果导出了电路某一个关系式或结论，就等于解决了与之对偶的另一
27、个关系式或结论。掌握电路的这一性质，能帮助我们与之对偶的另一个关系式或结论。掌握电路的这一性质，能帮助我们掌握电路的规律，做到掌握电路的规律，做到由此及彼由此及彼，举一反三举一反三。例如：例如：必须必须注意注意，“对偶对偶”和和“等效等效”是两个不同的概念，不可混淆。是两个不同的概念，不可混淆。例例1、图示电路。求两电源的功率，并分别说明、图示电路。求两电源的功率，并分别说明电源在电路中的作用？电源在电路中的作用？ 解：解： 习题课一习题课一 直流电路直流电路215A+4V- -44215A+4V- -44+us- -iS例例2、图所示含运算放大器电路，求输出电流图所示含运算放大器电路，求输出
28、电流 IO 。解：解：注意注意：+- -2V+ + - -10kW W4kW W4kW WoI5kW W例例3、电路如图、电路如图A所示，求：所示，求：Uab ?解：解：电压源两边电阻组成两组电桥，均处于平衡状态电压源两边电阻组成两组电桥，均处于平衡状态电流为电流为0的支路可视为开路的支路可视为开路2I1216310a图图Ab2444+- -24VI2I43+- -24VI3a6b42242图图B1例例4、书上书上P 84，习题，习题3-13解：解：（1）设）设K1为为Us=1V单独作用单独作用时在时在a、b端产生的响应（电压）端产生的响应（电压） 设设K2为为Is=1A单独作用时在单独作用时
29、在a、b端产生的响应（电压）端产生的响应（电压）(2)ab 线性无源线性无源 网络网络ISU+ US - -2a+U- -b i2V 2例例5、图示电路，求电流、图示电路，求电流 i ？解：解：戴维南定理（戴维南定理（1）求）求uoc(2)求求Ri 短路线原因短路线原因，1 1、2 2电电阻上无电流阻上无电流 (3)组成戴维南等效电路，组成戴维南等效电路，“两步法两步法”2312A4IbaIi- -5V+ +2314I1baI1Ri一步就求出戴维南等效电路一步就求出戴维南等效电路 “一步法一步法”只需求出只需求出a、b端钮端钮 u，i关系关系 相应含源支路为：相应含源支路为：+ - -3.2V
30、- -3a+u- -bi2312A4Iia+u- -bI例例6、图示电路，求（图示电路，求（1）当）当Rx=4时，电阻时，电阻Rx消耗的功消耗的功率率？（2）Rx=?时，可使时，可使Rx获得最大功率，这时获得最大功率，这时Pmax= ?解：解：求求uoc求求Ri43610A- - 2i1 +i1aRxb例例7、图中图中N为含源电阻网络，开关为含源电阻网络，开关s断开时量得电压断开时量得电压Uab=13V，s闭合时量得电流闭合时量得电流Iab=3.9A ，试求试求N网络的最简网络的最简等效电路。等效电路。解：解：应用戴维南定理等效应用戴维南定理等效：N+ 9 9V- -3 abS8 6 IabSRi10+ UOC- -+3V- -baIabN1N+ 1818V- -5a+u- -bi
