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1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计是研究什么的？概率论与数理统计是研究什么的？概率论概率论概率论概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的从数量上研究随机现象的统计规律性的科学科学科学科学。 数理统计数理统计数理统计数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。立有效的统计方法，进行统计推理。 随机现象：不确定性与统计规律性随机现象
2、：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三章第三章 多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第七章第七章 参数估计参数估计第八章第八章 假设检验假设检验主要内容主要内容第一章 概率论的基本概念1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其性质1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 独立性
3、1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？如何研究随机现象呢？1.1.1 随机现象 自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。 1.1.2 随机试验随机试验E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；E3: 记录110报警台一天接到的报警次数；E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5: 记录某
4、物理量的测量误差；E6:在区间 上任取一点，记录它的坐标。例例1-1： 上述试验具有如下特点：上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性试验的可重复性在相同条件下可重复进行在相同条件下可重复进行； 2.一次试验结果的随机性一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先所有可能的结果是预先可知可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。的，且每次试验有且仅有一个结果出现。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为在概率论中，将具有上
5、述三个特点的试验成为随机试随机试验验，简称，简称试验试验。随机试验常用。随机试验常用E表示。表示。 v样本空间样本空间: 试验的试验的所有可能结果所有可能结果所组成的所组成的集合集合称为称为试验试验E的样本空间的样本空间, 记为记为.v样本点样本点: 试验的试验的每一个可能出现的结果每一个可能出现的结果（样本空（样本空间中的元素）间中的元素）称为称为试验试验E的的一个一个样本点样本点, 记为记为. 1.1.3 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 分别写出例分别写出例1-1各试验各试验 所对应的样本空间所对应的样本空间例例1-2： 例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。
6、A还可以用样本点的集合形式表示，即A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。如如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件基本事件。v随机事件：随机事件：样本空间的任意一个子集子集称为随机事随机事件件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。复合事件复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。两个特殊的事件两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：. 既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。 1
7、. 包含关系与相等包含关系与相等： “事件事件 A A发生必有事件发生必有事件B B发生发生” 记为记为A B。 AB A B且B A.1.1.4 事件间的关系与运算事件间的关系与运算A BAB2. 和（并）事件：和（并）事件： “事件事件A与事件与事件B至少有一个发至少有一个发生生”，记作，记作A B或或A+B。显然：A A B，B A B；若；若A B，则，则A B=B。推广推广：n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，至少有一个发生， 记作记作 或或3. 积（交）事件积（交）事件 : 事件事件A与事件与事件B同时发生，同时发生，记作记作 A B 或或AB。推广推广：n个事件个事
8、件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作 A1A2An或或 或或显然：AB A，AB B；若；若A B，则，则AB=A。4. 差事件差事件： AB称为称为A与与B的差事件的差事件, 表示事件表示事件 A发生而事件发生而事件B不发生不发生显然：显然：A-B A； 若若A B，则，则A- -B=。5. 互不相容事件（也称互斥的事件）：互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件即事件A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生。AB 。ABAB= 推广推广：n个事件个事件A1, A2, An任意两个都互不相任意两个都互不相容，则称容，则称n个事件个事件两两互不相容两两互不相容。若若n个事件个事件
9、A1, A2, An 两两互不相容，且两两互不相容，且则称则称n个事件个事件A1, A2, An 构成一个构成一个完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组。6. 对立（逆）对立（逆）事件事件 A B , 且且AB 显然有：显然有：思考思考：事件事件A和事件和事件B互不相容与事件互不相容与事件A和事件和事件B互互为对立事件的区别为对立事件的区别. 互不相容事件与对立事件是两个不同的概互不相容事件与对立事件是两个不同的概念，念，对立事件一定是互不相容事件对立事件一定是互不相容事件，互不相互不相容事件不一定是对立事件容事件不一定是对立事件，对立在样本空间，对立在样本空间只有两个事件时存在，互不相容还
10、可在样本只有两个事件时存在，互不相容还可在样本空间有多个事件时存在空间有多个事件时存在交换律：交换律：ABBA，ABBA。结合律结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)。对偶对偶(De Morgan)律律： 7.事件的运算性质例例1-3： 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解解例例1-1-4 4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以：甲、乙、丙三人各向目标
11、射击一发子弹，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的运算关系表示的运算关系表示下列事件：下列事件：本节课主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念； 4.随机事件的关系和运算（重点）。小小 结结1.2 概率的定义及其性质概率的定义及其性质1.2.1 概率的统计定义概率的统计定义试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790.4979K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率的性质：频率的性质：一口
12、袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。 2001390.6954002010.6536004010.668频率是概率的近似值，概率频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：也应有类似特征：定义定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 注注注注1 1 1 1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，
13、事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频往是未知的，由于频率具有稳定性，我们就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值率值作为概率的近似值注注注注2 2 2 2：但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解容易造成误解 注注注注3 3 3 3：定义定义2 2中的叙述易使
14、人想到概率是频率的极限，概率是否为中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？频率的极限，以什么方式趋于概率呢？ 1.2.2 概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义3：若对随机试验：若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间 中的每一事件中的每一事件A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)，集合函数，集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1) 非负性公理：非负性公理：P(A) 0；(2) 规范性公理：规范性公理：P( )1 ，P( )0 ； (3) 可列可加性公理可列可加性公理：设设A1，A2，, 是一列两两互不相容是一列两两互不相容的事件，即的事件，即
15、AiAj ，(i j), i , j1, 2, , 有有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称则称P(A)为事件为事件A的的概率概率概率概率。性质性质 1v概率的性质概率的性质性质性质 2（有限可加性有限可加性）设设A1，A2，, An是一列两两互不相容的事件，即是一列两两互不相容的事件，即AiAj ，(i j), i , j1, 2, , n， 有有 P( A1 A2 An ) P(A1) P(A2)+.P(An) 性质性质 3 （互补性互补性） 证明证明：因为 所以有故性质性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).特别地,当 时,P(A-B)=P(A)-P(B),且P(
16、 B) P(A).证明：因为 且 ，所以性质性质 5（加法公式）（加法公式）对于任意事件对于任意事件A,B，有，有 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).对任意对任意n个事件个事件A1，A2，, An， 有有 证明：单调不减性单调不减性单调不减性单调不减性性质性质 6 （可分性可分性） 对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB ) , P(B)P(AB)P(AB )例例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求求P(B).解解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)
17、=0.8-0.5+0.3=0.6.解解 由性质6可知，例例1-6 设A,B两个随机事件, P(A)=0.8, P(AB)=0.5, 求P(AB). P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例例1-7 设设A与与B互不相容互不相容, P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求求P(AB).解解 P(AB)=P( )=1-P(AB)=1-P(A)+P(B) =1-(0.5+0.3)=0.2 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。 小小 结结1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.3.1 古典概型古典概型2.2.等可能性等可能
18、性：每个基本事件发生的可能性相同. 理论上理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为称为古典概型（或等可能概型）古典概型（或等可能概型）：1.1.有限性：有限性：基本事件的总数是有限的, 换句话说样本空间仅含有有限个样本点; 设事件A中所含样本点个数为r , 样本空间中样本点总数为n,则有古典概型的概率计算公式古典概型的概率计算公式:例例1-9 掷一枚质地均匀的骰子掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。求出现奇数点的概率。事件事件“出现奇数点出现奇数点”用用A表示表示,则则A=1,3,5,所含样所含样本本点数点数r=3,从而从而解解： 显然样本空
19、间显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数样本点总数n=6,解解1:试出现正面用试出现正面用H表示表示,出现反面用出现反面用T表示表示,则样本空间则样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT, 样本点总数样本点总数n=8.A=TTH，THT，HTT，B=HHH，C=HHH, THH,HTH, HHT, TTH,THT, HTT所以所以A,B,C中样本点数分别为中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例例1-10 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币3次次,设事件设事件A为为“恰有恰有1次出现面次出现面”, B为为“恰有恰有2次出现正面次出现正面”,C为为“
20、至少一次出现正面至少一次出现正面”,试试求求 P(A),P(B),P(C).则则P(A)=rAn= 38, P(B)=rBn=18, P(C)=rCn= 78.例例1-11 从从0,1,2,9等等10个数字中任意选出个数字中任意选出3个不同数字个不同数字,试求试求3个数字中不含个数字中不含0和和5的概率的概率.解解 设设A表示表示“3个数字中不含个数字中不含0和和5”. 从从0,1,2,9中任意选中任意选3个不同的数字个不同的数字,共有共有 种选法种选法, 即基本事件总数即基本事件总数n= . 3个数中不含个数中不含0和和5,是从是从1,2,3,4,6,7,8,9共共8个数中取得个数中取得,
21、选法有选法有 ,即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 ,则则 如果把题中的如果把题中的 “0和和5” 改成改成“0或或5”,结果如何？结果如何？例例1-12 从从1,2,9这这9个数字中任意取一个数个数字中任意取一个数,取后放回取后放回,而而后再取一数后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率试求取出的两个数字不同的概率. 解解 基本事件总数基本事件总数n=92,因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能取法中可能取法,这这时可重复排列问题时可重复排列问题. 设设A表示表示“取出的两个数字不同取出的两个数字不同”. A包含的基本事件包含的基本事件数数9*8因为第一次取数有因为第一次取数有9中可能
22、取法中可能取法,为保证两个数不同为保证两个数不同,第二第二次取数应从另外的次取数应从另外的8个数中选取个数中选取,有有8中可能取法中可能取法,r=9*8, 故故 P(A)=rn= 9*892=89例例1-13 袋中有袋中有5个白球个白球3个黑球个黑球,从中任取两个从中任取两个,试求取到的试求取到的两个球颜色相同的概率。两个球颜色相同的概率。解解 从从8个球中任意取两个个球中任意取两个,共有共有 种取法种取法,即基本事件总即基本事件总 数数 . 记记A表示表示“取到的两个球颜色相同取到的两个球颜色相同”,A包含两种可包含两种可能能: 全是全是白球白球或全是或全是黑球黑球. 全是白球有全是白球有
23、种取法种取法,全是黑球有全是黑球有 种取法种取法,由加法原理由加法原理 知知, A的取法共的取法共 中中, 即即A包含的基本事件数包含的基本事件数 r = 故故说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关 把有限个样本点推广到无限个样本点的场把有限个样本点推广到无限个样本点的场合合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了确定概率由此形成了确定概率的另一方法的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计
24、算性的优点, ,但它也有明显的局但它也有明显的局限性限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样本空间中的样本点有无限个如果样本空间中的样本点有无限个, 概概率的古典定义就不适用了率的古典定义就不适用了. .1.3.2 几何概型几何概型当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点并且任意一点落在度量落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是等可相同的子区域是等可能的能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为说明说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为就归结为几何概率几何概率. 那末那
25、末 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例1-15 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预定在预定地点会面地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( t0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，计算条件概率有两个基本的方法：计算条件概率有两个基本的方法：n 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比；n 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算，即在新样本空间B中直接计算A发生的概率.例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从中任取一件为合格品,求它是一等品
26、的概率.解解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为 例例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球黄色球7个个,其中其中3个是新个是新球球;白色球白色球5个个,其中其中4个是新球个是新球.现从中任取一球是新球现从中任取一球是新球,求它求它是白球的概率是白球的概率.解解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由古典概型的等可能性可知,所求概率为解解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由条件概率公式可得解解 设A表示“第一次取球取出的
27、是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例例1-20 盒中有盒中有5个黑球个黑球3个白球个白球,连续不放回的从中取两连续不放回的从中取两次球次球,每次取一个每次取一个,若已知第一次取出的是白球若已知第一次取出的是白球,求第二次取求第二次取出的是黑球的概率出的是黑球的概率.性质2 若A与B互不相容，则 性质3 条件概率的性质条件概率的性质性质1若事件 ，两两互不相容，且P(B)0，则概率的乘法公式l当 P(A)0 时，有 P(AB)=P(A)P(B|A).l当 P(B)0
28、时，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：l设 P(AB)0 时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).l设 P(A1A2An-1)0, 则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例例1-21 1-21 在在1010个产品中个产品中, ,有有2 2件次品件次品, , 不放回的抽取不放回的抽取2 2次产品次产品, , 每次取一个每次取一个, , 求取到的两件产品都是次品的概率求取到的两件产品都是次品的概率. .解解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 例例1-22 盒中有盒
29、中有5个白球个白球2个黑球个黑球,连续不放回的在其中取连续不放回的在其中取3次球次球,求第三次才取到黑球的概率求第三次才取到黑球的概率.解解 设设Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次取到黑球次取到黑球”,于是所求概率为于是所求概率为例例1-23 设设 P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25, 求求 P(A|B).解解1.4.2 全概率公式与贝叶斯全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式全概率公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分），且P(Ai)0, i=1,2,n，B是任意一个事件,则注：全概率公式求的是注：
30、全概率公式求的是无条件概率无条件概率例1-24 盒中有5个白球3个黑球, 连续不放回地从中取两次球, 每次取一个, 求第二次取球取到白球的概率.解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品的产品, ,它们的产量各占它们的产量各占30%, 35%, 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的产并且在各自的产品中废品率分别为品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率取
31、一件是废品的概率. .解解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%,P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.由全概率公式得例1-26 设在n(n1)张彩票中有1张奖券, 甲、乙两人依次摸一张彩票, 分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.解解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B), 显然P(A)=1
32、/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得 这个例题说明这个例题说明,购买彩票时购买彩票时,不论先买后买不论先买后买,中奖机会是均等的中奖机会是均等的,这就是所这就是所谓的谓的“抽签公平性抽签公平性”. 贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式 设设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分）是样本空间的一个完备事件组（或划分）, B是任一事件是任一事件, 且且P(B)0, 则则例例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.注：注：Bayes公式求的是公式求的是条件概率条件概率.【盒中有5个白球3个黑球, 连续不放回地从中取两次球, 每次取一
33、个, 求第二次取球取到白球的概率.】解解 使用例1-24解中记号,设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则所求概率为 , 由贝叶斯公式可求注意到例1-28 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解解 由贝叶斯公式，【在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品, ,它们的产量各占它们的产量各占30%, 35%, 35%,30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品并且在各自的产品中废品率分别为率分别为5%, 4%, 3%. 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是
34、求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率废品的概率. .】例1-29 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?解解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真正患有该病.2、全概率公式及其应用、全概率公式及其应用(求无条件概率求无条件概率)小小 结结3、贝叶斯公式及其应用、贝叶斯公式及其应用(求条件概率求条件概率)1、条件概率及乘法公式；、条件概率及乘法公式；定义定
35、义1 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立独立.性质性质2 若A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B都相互独立.1.5.1 两事件独立两事件独立性质性质1 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).1.5 独立性回忆：回忆：以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质由性质2知知，事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生
36、的概率无关发生的概率无关.v 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事件独立是事件间的概率属间的概率属性性互斥是事件间互斥是事件间本身的关系本身的关系11由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥例1-29 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,
37、乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率. 解解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8，故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律对偶律亦可.注注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(AB)=1-P(A)P(B)例1-30 袋中有5个白球3个黑球, 从中有放回地连续取两次, 每次取 一个球, 求两次取出的都是白球的概率. 解解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有
38、放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例1-31 设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B). 即即解得解解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，定义定义2 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立相互独立, 简称A、B、C独立独立.1.5.2 多个
39、事件的独立 一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn), 任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1,A2,An相互独立。思考：思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AB与CD独立吗？例1-32 3 3人独立地破译一个密码人独立地破译一个密码, ,他们能单独译出的概他们能单独译出的概率分别为率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出的概率求此密码被译出的概率. .解法解法1 设A,B,C分别表示3人能单独
40、译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.于是解法 2 用解法1的记号， 比较起来比较起来, 解法解法1要简单一些要简单一些,对于对于n个相互独立事件个相互独立事件A1,A2,An,其和事件其和事件A1A2An的概率可以通过下的概率可以通过下式计算：式计算：例1-33 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中它们的命中 率分别为率分别为0.1, 0.2, 0.3,求敌机恰中一弹的概率。求敌机恰中一弹的概率。解解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3, B表示“敌机恰中一弹”
41、,则例1-34 用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是0.004，求，求（1）现用）现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；（2）若想以）若想以0.99的概率击中飞机，需多少支步枪同时射击的概率击中飞机，需多少支步枪同时射击一次？一次？小小 结结1、两个事件的独立性；、两个事件的独立性；2、多个事件的独立性、多个事件的独立性.本章小结本章小结1、基本概念：、基本概念： 概率概率 条件概率条件概率 独立性独立性2、主要公式：、主要公式： 古典概型古典概型 几何概型几何概型 条件概率公式条件概率公式 乘法公式乘法公式 全概
42、率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式3、计算：、计算： 事件运算事件运算 概率计算概率计算 第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及分布函数2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量及概率密度函数2.4 随机变量函数的分布定义定义 1 设E是随机试验，样本空间为，如果对每一个结果（样本点），有唯一确定的实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量. 随机变量常用X，Y，Z，.或X1，X2，X3，,.2 2.1 .1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数2.1.1 随机变量 关于随机变量的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与
43、所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。随机变量的特点随机变量的特点: 1 、X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2、 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量的分类：随机变量随机变量 定义定义2 2 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函
44、数分布函数，记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).2.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、规范性规范性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且，且 3、右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是判别一随机变量的分布函数。故该三个性质是判别一个函数是否是分布函数的充分必要条件个函数是否是分布函数的充分必要条件
45、。分布函数的性质例2-1 判断函数是否为某一随机变量的分布判断函数是否为某一随机变量的分布函数？函数？解解 由于由于F(x)F(x)单调不减且右连续，且有单调不减且右连续，且有从而，从而，F(x)F(x)是某一随机变量的分布函数。是某一随机变量的分布函数。定义2 若若X为离散型随机变量，可能取值为为离散型随机变量，可能取值为 x1, x2, , xn, ，称，称2 2. .2 2 离散型离散型随机变量随机变量或或为为X的概率分布列，简称分布列，记为的概率分布列，简称分布列，记为2.2.1 离散型随机变量的分布列与分布函数定义1 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量
46、。反之，若一个数列pi具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布列（律）。（1）非负性：）非负性：（2）规范性：）规范性：分布列pk的性质：X 0 1 2P 0.2 C 0.3求常数C.解：由规范性知，0.2+C+0.3=1，从而 C=0.5由离散随机变量的分布列很容易写出其分布函数由离散随机变量的分布列很容易写出其分布函数v分布函数例2-2 设离散型随机变量X的分布列为例2-3 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9， 求他两次投篮投中次数X的概率分布列与分布函数。解：X的可能取值为0,1,2. 分布列为分布函数为2.2.2 常见的离散分布1、单点分布（退化分布）、单点分布（退化分布）
47、如果随机变量如果随机变量 X X 只取一个值只取一个值 a a ，即分布列为，即分布列为则称随机变量则称随机变量 X X 服从服从单点分布单点分布 若随机变量X只取两个可能值0，1，且 PX=1=p，PX=0=1-p，则称X服从参数为p的两点分布，或0-1分布。2、两点分布、两点分布其中 0p1, q=1-p, 则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布二项分布，简记为Xb(n,p).3、二项分布、二项分布注：注：设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行 n n 次，每次试验中，事次，每次试验中，事件件 A A 发生的概率均为发生的概率均为 p p ，则称这，则称这 n n 次试验为次试验为 n
48、 n 重伯重伯努利试验努利试验. . 若以若以 X X 表示表示 n n 重贝努里试验事件重贝努里试验事件 A A 发生发生的次数，则称的次数，则称 X X 服从参数为服从参数为 n,pn,p 的的二项分布！二项分布！若随机变量 X 的可能取值为0，1，2，.,n, 而 X 的分布列为例2-5 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。解解 设设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X Xb(400, 0.02)b(400, 0.02)，故，故PXPX 22
49、1 1 PX PX00PXPX111 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=0.996981)=0.9969814、 超几何分布 其中 ，则称X服从参数为 的泊松分布泊松分布，简记为5、泊松分布、泊松分布注：把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件泊注：把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件泊松分布可以作为描述稀有事件发生次数概率分布的一个数松分布可以作为描述稀有事件发生次数概率分布的一个数学模型，学模型， 也可以作为研究某段时间内陆续到来的质点流也可以作为研究某段时间内陆续到来的质点流概率分布的数学模型概率分布的数
50、学模型设随机变量X的可能取值为0,1,2,.,n,.,而X的分布列为例2-7 美国西部每周发生地震的次数服从参数为2的泊松分布， 求两周内至少发生3次地震的概率解：解：泊松泊松定理定理 设随机变量设随机变量Xnb(n, p), (n0, 1, 2,), 且且n很大，很大，p很小，记很小，记 =np，则，则 例例2-2-8 8 已知某种疾病的发病率为已知某种疾病的发病率为0 0001001， 某单位共有某单位共有50005000人，人， 问该单位患有这种疾病的人数超过问该单位患有这种疾病的人数超过1010的概率有的概率有多大？多大？本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、随机变量与分布函数的概念
51、；、随机变量与分布函数的概念；2 2、离散型随机变量及其分布列；、离散型随机变量及其分布列；3 3、四个重要分布、四个重要分布: : 单点分布、单点分布、0-10-1分布、二项分布、泊松分布分布、二项分布、泊松分布小 结2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数2.3 连续型随机变量及概率密度函数注：注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0. 即因为离散型随机变量离散型随机变量X在某一指定点取值的概率在某一指定点取值的概率不一定不一定为为0.密度函数的性质：这两条性质是判定一个函数这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的是否为概率密度的充要条件充要条件0x
52、f(x)面积为面积为1利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率0xf(x)ab 三种重要的概率分布：均匀分布均匀分布、指数分布指数分布、正态分布正态分布.2.3.2 常见的连续型分布常见的连续型分布1、均匀分布、均匀分布1设即则例例2-11 公共汽车站每隔公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在分钟有一辆汽车通过，乘客在5分分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1至至3分钟内的概率。分钟内的概率。例例2-12 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来分钟来一
53、班车，即一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位所求概率为：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的分钟的概率是概率是1/3. 从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站
54、。为使候车时间等时刻有汽车到达汽车站。为使候车时间X少于少于 5 分钟，分钟，乘客必须在乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达之间到达车站车站.2、指数分布、指数分布指数分布的概率密度和分布函数图像如下指数分布的概率密度和分布函数图像如下1 服从指数分布的随服从指数分布的随机变量机变量X通常可解释为通常可解释为某种寿命某种寿命,如果已知寿命如果已知寿命长于长于S年年,则再活则再活t年的概年的概率与年龄率与年龄S无关无关,亦称指亦称指数分布具有数分布具有“无记忆性无记忆性” . 关于概率统计论中服从指数分布的随机变量X具有无记忆性。 具体来说
55、：如果如果X是某一元件的寿命，已知元件已经使是某一元件的寿命，已知元件已经使用了用了S小时，它总共能使用至少小时，它总共能使用至少ST小时的条件概率，与从小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用开始使用时算起它至少能使用T小时的概率相等。小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过S小时没有记忆。 人生中，很多时候我们总是对过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。 指数分布在人生中模式是：忘记过去，努
56、力向前，向着标杆勇往直前。X 的分布函数为的分布函数为解解 例例2-12-14 4 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 = 的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时). (1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以 上的概率上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以 上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. 指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.3、 正态分布正态分布定义 4 习惯上习惯上, ,称服从正态分布的随
57、机变量为正态随机变量称服从正态分布的随机变量为正态随机变量, ,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线. .正态分布正态分布曲线的性质如下：曲线的性质如下：标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分位数：结结 论论 由此看出：尽管正态分布取值范围是由此看出：尽管正态分布取值范围是 ,但它的值落在但它的值落在 的概率为的概率为0.9973几乎是几乎是肯定的肯定的,这个性质被称为正态分布的这个性质被称为正态分布的“ 规则规则”.4、 伽马伽马分布分布本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1 、连续型随机变量的分布函数与密度函数；、连续型随机变量的分布函数与
58、密度函数；2 2、三个重要分布、三个重要分布: : 均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分伽马分布布小 结2.4.1 2.4.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 设设X X 一个随机变量，分布列为一个随机变量，分布列为 X XPXPXx xk k p pk k, k, k1, 2, 1, 2, g(x)g(x)是一给定的连续函数，称是一给定的连续函数，称Y Yg(X)g(X)为随为随机变量机变量X X 的一个函数，显然的一个函数，显然Y Y 也是一个随也是一个随机变量机变量. . 2.4 随机变量函数的概率分布一般地一般地XPkY=g(x)的可能取值
59、为的可能取值为注意中可能有相等的情况.YP例例2-18 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4求求: (1)Y=X3的分布律的分布律.(2) Z=X2的分布律的分布律.解解 (1)Y的可能取值为的可能取值为-1，0，1，8.由于由于YP-1 0 1 80.2 0.1 0.3 0.3从而从而Y的分布律为的分布律为(2) Z的可能取值为的可能取值为0，1，4.从而从而Z的分布律为的分布律为ZP0 1 40.1 0.5 0.4 例例2-19 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为解解 因为因为所以所以Y只能取值只能取值-1,0,1,而取这些值
60、的概率为而取这些值的概率为故故Y的分布律为的分布律为YP例例2-202-20 2.4.2 2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布例例2-212-21例例2-23解解例例2-24此分布称为对数正态分布对数正态分布. 以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是应用定理,故称为“公公式式法法”.需要注意的是,它仅适用于“单调型”随机变量函数,即要求y=g(x)为单调函数.如果y=g(x)不是单调函数,求Y=g(X)的概率密度较复杂.解解则则 例例2-25中求随机变量函数的概率密度的方法称为中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法直接变换法”,它同样适应于它同样
61、适应于非单调型随机变量非单调型随机变量的情况的情况.当当然例然例2-25也可以直接利用定理中的公式求解也可以直接利用定理中的公式求解.本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、离散型随机变量函数的分布列；、离散型随机变量函数的分布列；2 2、连续型随机变量函数的密度函数与分布函数。、连续型随机变量函数的密度函数与分布函数。小 结第三章 多维随机变量及其概率分布3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 随机变量的独立性3.5 二维随机变量函数的分布3.1.1 3.1.1 二维随机变量及其联合分布函数二维随机变量及其联合分布函数3 3.1 .1 二维随机变量及其分布函数
62、二维随机变量及其分布函数几何意义几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图见下图.yx(x,y)0D 利用分布函数及其集合意义不难看出利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点随机点(X,Y)落在矩落在矩形域形域x1X x2, y1Y y2内内(如下图如下图)的概率为：的概率为：yxoy2y1x2x1(x1, y2)(x2, y2)(x1,y1)(x2, y1)回忆回忆: 分布函数分布函数F(x)的性质的性质.联合分布函数联合分布函数 的性质的性质例例 3-1解解定义定义3 若二维随机变量若二维随机变
63、量(X ,Y )只能取有限多对或可列无穷多只能取有限多对或可列无穷多对对( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,)则称则称(X ,Y )为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量. 设二维随机变量设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ),( i ,j=1,2,),( X, Y )在各个可能取值的概率为：在各个可能取值的概率为：PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)称PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)为为( X , Y )的的联合分布联合分布列列，简称，简称分布列分布列。3.1.2 3.1.2 二维离散型随机
64、变量的联合分布列二维离散型随机变量的联合分布列( X , Y ) 的分布列可以写成如下列表形式：的分布列可以写成如下列表形式：XYy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij (X,Y) 的分布列具有下列性质:回忆：回忆：分布列pk的性质.(1) 0 pk 1；(2) p1 +p2 + + pk+ =1.(1) 0 pij 1 ( i,j=1,2, ) ; 反之,若数集pij ( i,j=1,2, ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例例 3-2 设设(X,Y)的分布律为的分布律为XY1 2 3 12求常数求常
65、数a的值的值.解解 由分布列性质知，由分布列性质知，例例3-3 设(X,Y)的分布律为XY1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25求求: (1)PX=0; (2)PY2; (3)PX0, 则称同理，同理，对固定的i, pi. 0, 称为X xi 的条件下随机变量Y 的条件分布列条件分布列定义定义2 2 给定y，设对任意固定的0，极限3.3.3 3. .2 2 连续型随机变量的条件概率密度连续型随机变量的条件概率密度存在，则称此极限值为在 条件下X 的条件分布条件分布函数函数，记作若记 为在Y=y 条件下X 的条件概率密度条件概率密度，则知,当 时， 类似可定义，当 时
66、如果 时，可得 为在X=x 条件下Y 的条件概率密度条件概率密度例例3-13-17 7 已知(X, Y )的概率密度为求：求： 解：例：本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、二维随机变量的条件分布函数；、二维随机变量的条件分布函数；2 2、二维离散型随机变量的条件分布列；、二维离散型随机变量的条件分布列；3 3、二维连续型随机变量的条件密度。、二维连续型随机变量的条件密度。小 结3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性回忆回忆：两个事件两个事件相互独立的定义相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立相互独立, 简称A,B独立独立.3.4.1 二维随机变量的独立性二维随
67、机变量的独立性3.4.2 二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性例例 3-19 设(X,Y )的分布列为YX这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合的集合外，处处成立外，处处成立.3.4.3 二维连续型随机变量的独立性二维连续型随机变量的独立性 联合分布函数与边缘分布的关系联合分布函数与边缘分布的关系: 联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布完全确定.本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1
68、、二维随机变量的独立性；、二维随机变量的独立性；2 2、二维离散型随机变量的独立性；、二维离散型随机变量的独立性；3 3、二维连续型随机变量的独立性。、二维连续型随机变量的独立性。小 结3.3.5 5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布例例 3-24 设设(X,Y )的分布律为的分布律为求求Z=X+Y 的分布律的分布律.XYXY3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布1、和、和ZXY的分布的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 已知(X, Y)f(x
69、, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 结论结论2、 和和 的分布的分布3、商、商ZX/Y的分布的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZX/Y的密度。 4、其他情况其他情况 本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、二维随机变量函数的分布；、二维随机变量函数的分布；2 2、二维离散型随机变量函数的分布列；、二维离散型随机变量函数的分布列；3 3、二维连续型随机变量函数的分布密度；、二维连续型随机变量函数的分布密度；4 4、和、极大值和极小值的分布。、和、极大值和极小值的分布。小 结第四章 随机变量的数字特征4.1 随机变量的期望 4.2 随机变量的方差4.3
70、协方差与相关系数4.1 4.1 随机变量的期望随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列为的分布列为也就是说也就是说, 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和级数的和.如果如果 有限有限, 定义定义X 的的数学期望数学期望PX=xk=pk , k=1,2,例例4-1 设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求求E(X).解解 E(X)=(-1) 0.3+0 0.2+1 0.5=0.2例例4-2 甲乙两人进行打靶甲乙两人
71、进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X,Y,它们的分它们的分布列分别为布列分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏试比较它们成绩的好坏.解解 分别计算分别计算X和和Y的数学期望的数学期望:E(X)=00+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分). 这就意味着这就意味着,如果进行多次射击如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于甲所得分数的平均值接近于1.8分分,而乙得分的平均值接近而乙得分的平均值接近1分分.很明显乙的成绩远不如甲很明显乙的成绩远不如甲.下面介绍几种重
72、要离散型随机变量的数学期望下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望.1. 两点分布两点分布随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中其中0p1，有，有E(X)=0X X(1-p)+1X Xp=p.2. 二项分布二项分布设设Xb(n, p), 即即从而有从而有3. 泊松分布泊松分布设设XP()其分布列为其分布列为则则X的数学期望的数学期望离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望定理定理 设离散型随机变量设离散型随机变量X 的分布列为的分布列为4.1.2 连续型随机变量的期望连续型随机变量的期望几种重要连续型随机变量的期望几种重要连续型随机变量的期望连续
73、型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望4.1.3 二维随机变量函数的期望二维随机变量函数的期望XY4.1.4 数学期望的性质数学期望的性质例例4-15 4人进行射击比赛，每人射4发。在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分，四人射击的命中率都为0.6，求4人射击总得分的期望。即即本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、离散型离散型随机变量的期望，几类常用离散分布的期望；随机变量的期望，几类常用离散分布的期望；2 2、连续型随机变量的期望，几类常用连续分布的期望；、连续型随机变量的期望，几类常用连续分布的期望；3 3、随机
74、变量函数的期望；、随机变量函数的期望；4 4、期望的性质。、期望的性质。小 结4.2 4.2 随机变量的方差随机变量的方差4.2.1 方差的概念方差的概念 上一节我们介绍了随机变量的数学期望上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均它体现了随机变量取值的平均水平水平,是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离我们还要研究随机变量偏离期望的程度期望的程度.这就需要再引入方差的概念这就需要再引入方差的概念.定义定义1说明说明：(1) 随机变量随机变量X的方差
75、的方差D(X)即是即是X的函数的函数(X-E(X)2的期望的期望.(2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小方差较小;取值相取值相对分散时对分散时,方差较大方差较大,并且总有并且总有方差的计算方法方差的计算方法解解等等 价价 公公 式式1. 两点分布两点分布(0-1分布分布)随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中其中0p 0 ，有，有 定理定理（贝努利大数定律贝努利大数定律）或或5.1.2 大数定律大数定律注：注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分充分大时，事件大时，事件A
76、发生的频率发生的频率m/n与事件与事件A的概率的概率p有较有较大偏差的概率很小大偏差的概率很小.定理定理( (切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律) )说明说明定理定理( (辛钦大数定律辛钦大数定律) )5.2 中心极限定理中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和综合（或和) )影响所形成的影响所形成的. . 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的响的. .每个每个随
77、机因素的对随机因素的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用所起的作用都是很小的都是很小的. .那么那么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪 ？定理（定理（Linderberg-LevyLinderberg-Levy）5.5.2 2.1 .1 独立同分布序列的中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理结论结论5.5.2 2.2 .2 棣莫弗棣莫弗(De-Moivre)-拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)中中心极限定理心极限定理结结 论论例5-5 某系统由100个相互独立工作的部件构成，每个部分损坏的概率为0.2，如果系统正常工作至少需要75个部件运转，试求系统正常工作的概率.本节
78、课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、大数定律、大数定律；2 2、中心极限定理。、中心极限定理。小 结第六章 数理统计的基本概念6.1 样本与统计量 6.2 抽样分布 定义定义1 1 研究对象的全体称为总体总体或或母体母体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的每个基本元素称为个体。个体。从本质上讲，从本质上讲，总体总体就是所研究的随机变量或就是所研究的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。6.1 样本与统计量样本与统计量6.1.1 6.1.1 总体与样本总体与样本定义定义2 从总体X 中随机抽取n 个个体，得到n 个随机变量X1，X2，.，Xn，称X1，X2，.，Xn为总体X 的一个样本
79、样本，n 为样本容量样本容量，样本中的个体称为样品样品；抽样结束后，便得到n 个具体的试验数据，记为x1，x2，.，xn，称它为一组样本观察值样本观察值，简称样本值样本值。定义定义3 来自总体的部分个体X1， ，Xn ，如果满足：如果满足：（1）同分布性同分布性【抽样的随机性】： Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本简单随机样本简单随机样本简单随机样本，简称样本样本。对于有限总体，采用有放回的抽样可以得到简单随机样本，对于有限总体，采用有放回的抽样可以得到简单随机样本，但是实际使用时并不方便，所以当总体数量远远超出样本
80、但是实际使用时并不方便，所以当总体数量远远超出样本数量时，我们常用无放回的抽样近似代替有放回的抽样数量时，我们常用无放回的抽样近似代替有放回的抽样. .而而对于无限总体，仍然采用无放回抽样来得到简单随机样本对于无限总体，仍然采用无放回抽样来得到简单随机样本. .总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本总体分布决定了
81、样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体推断总体6.1.2 频数表与直方图频数表与直方图 在实际统计统计工作中，需要对样本数据加以整理，常用的方法有列频数表和画图法,利用它们可以粗略地显示出数据的分布情况.针对一组观察数据，我们首先要对它进行分组，各组区间长度称为组距，然后计算出各组的频数，从而可以列出频数表.有时候利用作图方法能更直观地显示数据特征，一般可以利用直方图或折线图来表示.列频数表的一般步骤如下：1.确定最大值和最小值，并计算极差=最大值-最小值；2.根据极差确定组段数及组距，要求包含最小值和最大
82、值，一般可使组距相等，每个组段包括左端点或右端点，且组段数取整；3.计算频数或频率并列表.作直方图时，通常用直角坐标系的横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频数，这样就得到了频数直方图.如果将频数改为频率，将得到频率表以及频率直方图.如果再将频数或频率直方图中矩形上方的中点连接起来，并使端点与横轴相交，得到的图形称为折线图.例6-2 某班50名同学数学考试成绩数据如下：75 69 87 88 82 84 89 89 98 95 98 78 76 88 77 65 69 75 55 7076 77 89 83 75 69 76 72 71 75 63 78 52 69 66 100 64 51 9
83、6 79 67 68 65 73 78 71 66 78 72 76 频数频率表频数频率表组序 组段 频数 频率 累计频率1 50,60) 3 0.06 0.062 60,70) 12 0.24 0.33 70,80) 21 0.42 0.724 80,90) 9 0.18 0.95 90,100 5 0.1 1合计 50 1频数直方图折线图 定义定义 4统计量的分布称为抽样分布抽样分布.6.1.3 统计量统计量几个常用统计量几个常用统计量本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、总体、样本、总体、样本；2 2、常用统计量。、常用统计量。小 结6.2 抽样分布抽样分布6.2.1 三大抽样分布三大
84、抽样分布其中其图形如下，从图中可以看出，卡方分布一般为右偏分卡方分布一般为右偏分布，随着布，随着n 的增大，密度函数曲线逐渐趋于对称，并与的增大，密度函数曲线逐渐趋于对称，并与正态分布相似。正态分布相似。 设X 2(n)，若对于 ：0 1，存在实数 ，满足分位数：分位数： 分布的分布的上侧上侧 分位数分位数（分位点分位点）。）。为为则称则称分布的性质：分布的性质：分布可加性分布可加性： 若若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X，Y相互相互独立，则独立，则 X + Y 2(n1+n2 )期望与方差期望与方差： 若若X 2(n)，则，则E(X)= n， D(X)=2n例6-32 . t分布分布其
85、概率密度函数概率密度函数为概率密度函数的图形概率密度函数的图形为从图中可以看出，t分布关于纵轴对称，当分布关于纵轴对称，当n 充分大时，充分大时，t分布近似于标准正态分布。分布近似于标准正态分布。基本性质基本性质: f(x)关于 x=0 (纵轴)对称。 f(x)的极限为 N(0，1)的密度函数，即 分位数：分位数：设T t(n)，若对 :0:0 1,0 ， 满足则称t (n) 为t(n) 的上侧 分位数（分位点）.设T t(n)，若对 :0:0 1,0 ， 满足则称t (n) 为t(n) 的上侧上侧 分位数（分位点）分位数（分位点）. 注注:3. F分布分布其概率密度函数概率密度函数为概率密度
86、函数的图形概率密度函数的图形为F分布的性质：分布的性质：分位数：分位数：对于对于 ：0 0，满足满足PF F (m, n)= ， 则称则称F (m, n)为为F(m, n)的的上侧上侧 分位数分位数；注：注：证明证明:设设FF(m,n),则则注：注：得证得证!和和则有则有6.2.2 正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布例例 6-6 已知某单位职工的月奖金服从正态分布已知某单位职工的月奖金服从正态分布, 总体均值为总体均值为 200, 总体标准差为总体标准差为 40 , 从该总体抽从该总体抽取一个容量为取一个容量为 20 的样本的样本, 求样本均值介于求样本均值介于 190210 的概率的概
87、率 . 解解 推论推论6-1则有则有其中其中则则本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、三大抽样分布、三大抽样分布；2 2、正态总体下的抽样分布。、正态总体下的抽样分布。小 结第七章 参数估计7.1 点估计 7.2 无偏性、有效性、相合性7.3 区间估计 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量
88、在参数估计问题在参数估计问题中，假定总体分中，假定总体分布形式已知，未布形式已知，未知的仅仅是一个知的仅仅是一个或几个参数或几个参数.这类问题称为这类问题称为参数估计参数估计. 有两种形式：有两种形式：点估计和区点估计和区间估计间估计。参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数作出估计作出估计, 或估计或估计的某个已知函数的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体设有一个统计总体 , 总体的分布函数总体的分布函数为为F( x, ) ，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是向量可以是向量) . （假
89、定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ） 设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计估计 为为1.68，这是这是点估计点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计在区间在区间 1.57, 1.84 内，内，例如我们要估计某队男生的平均身高例如我们要估计某队男生的平均身高. 现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务的样本，我们的任务是要根据选出的样本（是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值个数）求出总体均值 的的估计估计. 而全部信息就由这而全部信息就由这5个数组成个数组成 .7.1 点估计点估计点估计的经典方法是矩估计法矩估计法与极大
90、似然估计法极大似然估计法。7.1.1 矩估计法矩估计法主要思想主要思想用样本矩去替换总体矩，用样本矩的函数去替换总体用样本矩去替换总体矩，用样本矩的函数去替换总体矩的函数矩的函数理论基础理论基础具体过程具体过程 关键点：关键点：1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即用样本矩作为总体同阶矩的估计，即2.约定：若约定：若 是未知参数是未知参数 的矩估计，则的矩估计，则g( )的的矩估计为矩估计为g( ), 例例7- 3 解解 例例 7-4 解解 例例 7-5 解解 7.1.2 极大似然估计法极大似然估计法 它它是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种种参参数数估估计方法计方法
91、. 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 . GaussFisher 然而然而,这个方法常归这个方法常归功于英国统计学家功于英国统计学家费希尔费希尔 . 费希尔费希尔在在1922年重新发现了年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质法的一些性质 .极大似然估计法的基本思想极大似然估计法的基本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外某位同学与一位猎人一起外出打猎出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?
92、只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 . 你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计这个例子所作的推断已经体现了极大似然估计法的基本思想：法的基本思想： 极大似然估计原理：极大似然估计原理：f (x1, x2 , xn; )定义定义2 样本的似然函数：样本的似然函数： 看作参数看作参数 的函数，它可作为的函数，它可作为 将以多大可将以多大可能产生样本值能产生样本值 x1, x2, ,xn 的一种
93、度量的一种度量 . f (x1,x2, xn; ) 极大似然估计法极大似然估计法就是用使就是用使 达到最大值的达到最大值的 去估计去估计 . 称称 为为 的的极大似然估计值极大似然估计值 .而相应的而相应的统计量统计量称为称为 的的极大似然估计量（极大似然估计量（MLE） .两点说明：两点说明： 1、求似然函数、求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于微积分中的技巧。由于ln(x)是是 x 的增函数的增函数, lnL( )与与L( )在在 的同一值处达到它的最大值，假定的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且是一实数，且lnL( )是是 的一个可微函
94、数。通过的一个可微函数。通过求解方程：求解方程：可以得到可以得到 的的MLE . 若若 是向量，上述方程必须用方程组代替是向量，上述方程必须用方程组代替 . 2、用上述求导方法求参数的、用上述求导方法求参数的MLE有时行不有时行不通，这时要用极大似然原则来求通，这时要用极大似然原则来求 .L(p)= f (x1, x2, xn; p )例例7-6 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体 Xb(1, p) 的一个样的一个样本，求参数本，求参数p的最大似然估计量的最大似然估计量.解：解：似然函数似然函数为为: 对数似然函数对数似然函数为：为：对对p求导并令其为求导并令其为0，=0得得即为即为 p
95、 的的最大似然估计值最大似然估计值 .从而从而 p 的的最大似然估计量最大似然估计量为为 (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得用样本值代入就得参数的参数的极大似然估计值极大似然估计值 .求极大似然估计求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布率由总体分布导出样本的联合分布率(或联或联合密度合密度); (2) 把样本联合分布率把样本联合分布率 ( 或联合密度或联合密度 ) 中自变中自变 量看成已知常数量看成已知常数,而把参数而把参数 看作自变量看作自变量,得到得到似然似然 函数函数L( ); (3) 求似然函数求似然
96、函数L( ) 的最大值点的最大值点(常常转化为常常转化为求求ln L( )的最大值点的最大值点) ，即，即 的的MLE;例例 7-8 解解 本节课主要讲授：本节课主要讲授：1 1、矩估计、矩估计；2 2、极大似然估计。、极大似然估计。小 结7.2 无偏性、有效性、相合性无偏性、有效性、相合性例例 7-11 证证 (1) 频率是概率的最小方差无偏估计频率是概率的最小方差无偏估计. (2) 正态总体的样本均值和样本方差正态总体的样本均值和样本方差 分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计. 两个结论两个结论判断估计一致性的两个定理本节课主要讲授：本节课主要讲授：
97、1 1、无偏性、无偏性；2 2、有效性；、有效性；3 3、相合性（一致性）。、相合性（一致性）。小 结7.3 区间估计区间估计问题的提出：问题的提出： 这种形式的参数估计方法称为这种形式的参数估计方法称为区间估计区间估计 . 反映可信程度越大越好，反映精确程度的区间长度越小越好 但在实际问题中，二者常常不能兼顾 为此，这里引入置信区间置信区间的概念，并给出在一定可信程度的前提下求置信区间的方法，使区间的平均长度最短7.3.1 置信区间置信区间置信度和置信区间的意义置信度和置信区间的意义:两点说明两点说明: 7.3.2 7.3.2 单个正态总体参数的置信区间单个正态总体参数的置信区间并设并设 为
98、来自总体的为来自总体的 样本样本 ,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .分三步完成分三步完成:解解 例例 7-16 解解 例例 7-17 可得到可得到 的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为解解 例例 7-18 小 结第八章第八章 假设检验假设检验 例例 1 某种大量生产的袋装食品某种大量生产的袋装食品, 按规定每按规定每袋重量不得少于袋重量不得少于 500 克克. 现从一批该种食品中任现从一批该种食品中任意抽取意抽取 50 袋袋, 发现有发现有 6 袋低于袋低于 500 克克. 若规定不若规定不符合标准的比例超过符合标准的比例超过 5% 就不得出厂就不得出厂, 该
99、批食品该批食品能否出厂能否出厂? 根据样本估计出总体根据样本估计出总体 (该批食品该批食品) 的次品率的次品率, 再与规定的标准比较再与规定的标准比较, 作出该批食品能否出厂的作出该批食品能否出厂的决策决策. 即先即先假设假设该批食品的不合格率不超过该批食品的不合格率不超过 5%, 再用样本不合格率来再用样本不合格率来检验检验假设是否正确假设是否正确. 8.1 假设检验的概念 例例 2 假设假设检验检验 假设检验假设检验 对总体的分布形式或某些未对总体的分布形式或某些未知参数作某种假设，再利用样本构造统计量对假知参数作某种假设，再利用样本构造统计量对假设的正确性进行判断设的正确性进行判断. 参
100、数假设检验参数假设检验 总体的分布形式已知总体的分布形式已知, 仅涉及总体的未知参数的假设检验仅涉及总体的未知参数的假设检验. 显著性假设检验显著性假设检验 仅检验一个假设，并仅检验一个假设，并不同时研究其它假设的一类假设检验不同时研究其它假设的一类假设检验. 本章介绍的是本章介绍的是参数显著性检验参数显著性检验. 1. 提出提出原假设（零假设）原假设（零假设）和和备择假设备择假设. 2. 确定适当的确定适当的检验统计量检验统计量. 3. 确定确定显著性水平显著性水平 , 求临界值求临界值. 4. 计算检验计算检验统计量的值统计量的值, 作出判断作出判断. 8.2 假设检验的步骤 1. 提出提
101、出原假设原假设和和备择假设备择假设. 对每一个假设检验问题对每一个假设检验问题, , 一般同时提出两个一般同时提出两个相反的假设相反的假设. 如对例如对例 2 , 提出的两个假设是提出的两个假设是: 又如对例又如对例 1 , 提出的假设是提出的假设是: 单边检验单边检验 双边检验双边检验 2. 确定适当的确定适当的检验统计量检验统计量. 用于假设检验的统计量称为用于假设检验的统计量称为检验检验统计量统计量. 检验检验统计量应满足以下条件统计量应满足以下条件: (1) 在零假设成立的条件下在零假设成立的条件下, 其分布函数已知其分布函数已知. (2) 必须包含要检验的总体参数必须包含要检验的总体
102、参数. (3) 计算该统计量的值时计算该统计量的值时, 各项均为已知或可各项均为已知或可以依据样本得出以依据样本得出. 3. 确定确定显著性水平显著性水平 , 求临界值求临界值. 在假设检验中在假设检验中, 认为认为零假设代表的事件概率零假设代表的事件概率很大很大, , 备择假设代表的对立事件概率很小备择假设代表的对立事件概率很小. . 根据根据实际推断原理实际推断原理 (小概率原理小概率原理) , 规定一个规定一个界限界限 , 当某事件的概率当某事件的概率 , 就认就认为该事件是实际不可能事件为该事件是实际不可能事件. 显著性水平显著性水平. 如果如果在一次检验中在一次检验中, 备择假设代表
103、的小概率事件居然备择假设代表的小概率事件居然发生了发生了, , 就有理由怀疑零假设的正确性就有理由怀疑零假设的正确性. . 这就是假设检验的基本原理这就是假设检验的基本原理 . 接受域接受域 拒绝域拒绝域. 4. 计算检验计算检验统计量的值统计量的值, 作出判断作出判断. 假设检验存在着接受错误的假设和拒绝正确假设检验存在着接受错误的假设和拒绝正确假设的可能性假设的可能性. 正 确拒绝 H0正 确接受 H0决策行动 H0 为非真H0 为真假设的真实状态检验结果假设检验的各种可能结果假设检验的各种可能结果8.3 两类错误 1. 提出零假设和备择假设提出零假设和备择假设. 2. 确定适当的检验统计量确定适当的检验统计量. 3. 确定显著性水平确定显著性水平 , 求临界值求临界值. 4. 计算检验统计量的值计算检验统计量的值, 作出判断作出判断. 假设检验的基本原理和两类错误假设检验的基本原理和两类错误. 小 结温馨提示：本PPT课件下载后，即可编辑修改，也可直接使用。（希望本课件对您有所帮助）
