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1、第第2 2讲讲 三角函数的图象及性质三角函数的图象及性质1.将函数f(x)=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=.第2讲三角函数的图像及性质答案答案cos解析解析将函数f(x)=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=cos=cos的图象.2.(2018江苏南京期中)已知函数f(x)=sin,xR,若f(x)在区间上的最大值和最小值分别为a,b,则a+b的值为.答案答案-1解析解析x,2x-,sin,则a=,b=-1,a+b=-1
2、.3.(2018江苏苏州期中)已知函数f(x)=sin,若对任意的实数,都存在唯一的实数0,m,使f()+f()=0,则实数m的最小值是.答案答案解析解析对任意的实数,总有f(),f(),2k-+2k,kZ,+2k+2k,kZ,存在唯一的实数0,m,则实数m的最小值是.核心题型突破题型一利用题型一利用y=Asin(x+)+B研究三角函数的性质研究三角函数的性质例1(2018苏州调研)已知函数f(x)=(cosx+sinx)2-2sin2x.(1)求函数f(x)的最小值,并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合;(2)若x,求函数f(x)的单调增区间.解析解析(1)f(x)=(cosx+si
3、nx)2-2sin2x=3cos2x+2sinxcosx+sin2x-2sin2x=+-sin2x=cos2x-sin2x+2=2cos+2,当2x+=2k+(kZ),即x=k+(kZ)时,f(x)取得最小值0.此时,自变量x的取值集合为.(2)因为f(x)=2cos+2,令+2k2x+2+2k(kZ),解得+kx+k(kZ),又x,令k=-1,x,令k=0,x,所以函数f(x)的单调增区间为和.【方法归纳】(1)函数y=Asin(x+)+B称为三角函数的标准形式,若所给三角函数解析式能利用三角公式化为标准型,首先要化为标准形式,再结合正弦函数图象研究函数性质;(2)求三角函数在给定区间上的单
4、调区间,首先求三角函数在R上的单调区间,再与所给区间取交集,最后注意单调区间的写法,必须写区间,且中间用“逗号”或“和”隔开,不能用“”.1-1(2018常州教育学会学业水平检测)设函数f(x)=sin+cos(-x),其中03,f=0.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(2)将函数f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析解析(1)f(x)=sin+cos(-x)=sinx-cosx-cosx=sinx-cosx=sin,f=0,-=k,kZ,即=6k+2,kZ.又00,0)的部分
5、图象如图所示.(1)求A和的值;(2)求函数y=f(x)在0,的单调增区间;(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.解析解析(1)由图象可得A=2,=-=,则=2,所以f(x)=2sin.(2)令-+2k2x+2k,kZ,得-+kx+k,kZ,又x0,所以函数y=f(x)在0,的单调增区间为和.(3)令g(x)=0,则f(x)=2sin=-1,得x=k+或x=k+(kZ),函数f(x)在每个周期上有两个零点,所以共有5个周期,所以b-a的最大值为5T+=.【方法归纳】(1)由正弦函数或余弦函数的局部图象求解析式时,依据各个量的几何意义求解,如A是振
6、幅,若函数的最大值是M,最小值是m,则A=;的求解一般利用周期公式,即对正弦函数或余弦函数都有|=;为初相,一般由最高点或最低点代入求解;(2)简单的三角方程或三角不等式求解,要结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.2-1(2018江苏南京期末)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0)的图象如图所示.(1)求A,的值;(2)若x,求f(x)的值域.解析解析(1)设函数f(x)的最小正周期为T,由图象知,A=2,T=-=,所以周期T=,从而=2.因为函数图象过点,所以sin=1.因为0,所以-+0,0,-的部分图象如图所示,若f()=,则f的值为.答案答案解析解析由函数f(x)的图象知,A=2,由T=2=2,得=1,f(x)=2sin(x+).又f(x)=2sin=2,且-,=-,f(x)=2sin.f()=2sin=,sin=.又0,-,cos=,f=2sin=2sin=2sincos+2cossin=2+2=.
