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1、L/O/G/O无无忧忧PPTPPT整理整理发发布布波利亚的数学教育思想波利亚的数学教育思想波利亚的数学教育思想波利亚的数学教育思想 与小学数学教学与小学数学教学与小学数学教学与小学数学教学康世刚康世刚康世刚康世刚 博士博士博士博士重庆市教育科学研究院重庆市教育科学研究院重庆市教育科学研究院重庆市教育科学研究院问题与讨论问题与讨论问题与讨论问题与讨论您读过哪些人的教育思想或数学教育思想您读过哪些人的教育思想或数学教育思想？请简单说一说核心内容。？请简单说一说核心内容。您认为教育思想应该包含哪些内容？您认为教育思想应该包含哪些内容？您有数学教育思想吗？说一说您有数学教育思想吗？说一说您对问题解决如
2、何看待？您比较注重问题您对问题解决如何看待？您比较注重问题解决的什么？解决的什么？您对合情推理是如何理解的？举一个例子您对合情推理是如何理解的？举一个例子一个笑话一个笑话一个笑话一个笑话一群住着别墅的人研究房价；一群住着别墅的人研究房价；一群坐公务用车的人在分析中国的油价；一群坐公务用车的人在分析中国的油价；一群住着高干病房的人在解决群众看病贵的问题；一群住着高干病房的人在解决群众看病贵的问题；一群从不坐公交车的人在研讨公交调价；一群从不坐公交车的人在研讨公交调价；一群不用考虑每月用电的人在决策电价；一群不用考虑每月用电的人在决策电价；一群吃特供食品的人在制定食品安全标准；一群吃特供食品的人在
3、制定食品安全标准；一群美国人的爹妈在主席台上做热爱祖国的报告。一群美国人的爹妈在主席台上做热爱祖国的报告。启示：我们需要听听数学家说说如何学启示：我们需要听听数学家说说如何学数学，如何教数学数学，如何教数学 波利亚简介波利亚简介波利亚(GeorgePolya，18871985)，著名美国美国数学家数学家和数学教育家。和数学教育家。19761976年当选年当选美国国家科学院美国国家科学院院士院士。还是匈牙利科学院、。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的科学院和美国艺术和科学学院的院士院士。怎样解题怎样解题、数学的发
4、现数学的发现、数学数学与猜想与猜想等，它们被译成多种文字，广为等，它们被译成多种文字，广为流传。流传。 为什么要学习波利亚的数学教育思想为什么要学习波利亚的数学教育思想对数学教育具有独到见解而又有研究的对数学教育具有独到见解而又有研究的数学家。数学家。真正提出问题解决的数学家。真正提出问题解决的数学家。首次提出并倡导教学首次提出并倡导教学“合情推理合情推理”教材中对教材中对“问题解决问题解决”的应用。的应用。课程标准对课程标准对“合情推理合情推理”的重视。的重视。数学教育思想构成数学教育思想构成数学教育思想构成数学教育思想构成数学观教育观数学教育的目的学习数学的特点数学教学方法数学观的重要性数
5、学观的重要性数学观的重要性数学观的重要性“所有的数学教学法，不管是否未必自洽，所有的数学教学法，不管是否未必自洽，都建立在一定的数学哲学之上都建立在一定的数学哲学之上” 数学家托姆数学家托姆 (K.Thom) (K.Thom) “问题就不在于什么是最好的教学方法，问题就不在于什么是最好的教学方法，而是而是数学究竟是什么数学究竟是什么？” 数学教育家赫尔胥数学教育家赫尔胥(K.Hersh)(K.Hersh)数学观数学观数学观数学观波利亚的数学观波利亚的数学观“数学具有两个面，它既是数学具有两个面，它既是欧几里得（欧几里得（EuclidEuclid）的严的严谨科学，但同时也是别的什么。以欧几里得方
6、式表现谨科学，但同时也是别的什么。以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的出来的数学看上去是一种系统的演绎科学演绎科学；但在形成；但在形成过程中的数学看上去却是一种过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学实验性的归纳科学。这。这两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个两个方面都如同数学科学本身一样古老，但是第二个方面从某种意义上来说又是新的，因为我们方面从某种意义上来说又是新的，因为我们正处于创正处于创造过程中的数学从未完全以这种形式呈现给学生或教造过程中的数学从未完全以这种形式呈现给学生或教师自己，乃至一般的公众。师自己，乃至一般的公众。” 怎样解题“数学被人看成是一门论证科学
7、，然而这仅仅是它数学被人看成是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的。是与任何其他知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得在证明一个数学定理之前，你先得猜测猜测这个定理的这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得内容，在你完全做出详细证明之前，你先得猜测证猜测证明的思路明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加。你先得把观察到的结果加以综合然后加以以类比类比。
8、你得一次又一次地进行尝试。你得一次又一次地进行尝试。 数学与猜想思考：我们有数学观吗？思考：我们有数学观吗？思考：我们有数学观吗？思考：我们有数学观吗？课程标准课程标准课程标准课程标准与数学观与数学观与数学观与数学观原课标：原课标：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的应用的过程过程。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为
9、人们交流信息提供了一种选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有有效、简捷的手段。效、简捷的手段。 数学作为一种普遍适用的数学作为一种普遍适用的技术技术，有助于人们收，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。决问题，直接为社会创造价值。 数学是人们生活、劳动和学习必不可少的数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了现象；数学为其
10、他科学提供了语言、思想和方语言、思想和方法法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的人的推理推理能力、抽象能力、想像力和创造力等能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化文化，它的内容、思想、方法和语言是它的内容、思想、方法和语言是现代文明现代文明的重的重要组成部分。要组成部分。 修改稿修改稿修改稿修改稿数学是研究数量关系和空间形式的科学数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与数学与人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代信息技术的飞速发展，数学
11、更加广泛应用于社会信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具科学语言与工具，不不仅是自然科学和技术科学的仅是自然科学和技术科学的基础基础，而且在人文科，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。学与社会科学中发挥着越来越大的作用。数学是数学是人类文化人类文化的重要组成部分，的重要组成部分，数学素养是现数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数作为促进学生全面发展
12、教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理理性思维和创新能力性思维和创新能力方面的不可替代的作用。方面的不可替代的作用。数学观与小学数学教学设计数学观与小学数学教学设计数学观与小学数学教学设计数学观与小学数学教学设计有什么样的数学观就决定什么样的课堂教有什么样的数学观就决定什么样的课堂教学设计？学设计？这么多的数学观念，我该怎么做这么多的数学观念，我该怎么做? ?数学观与小学数学教材分析数学观与小学数学教材分析数学观与小学数学教材分析数学观与小学数学
13、教材分析过程观过程观工具观工具观思维观思维观文化观文化观。数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长吴正宪：为学生提供吴正宪：为学生提供优质的优质的数学教育数学教育作为多年来从事小学数学教育的我一直在思考：作为多年来从事小学数学教育的我一直在思考：什么是数学？什么是数学？为什么要让孩子们学习数学？为什么要让孩子们学习数学？孩子们应该学什么样的数学？孩子应该这样学习孩子们应该学什么样的数学？孩子应该这样学习数学？数学？我们为孩子们提供什么样的数学教育？我们为孩子们提供什么样的数学教育？我们应该怎样创设孩子们喜欢的课堂？
14、我们应该怎样创设孩子们喜欢的课堂？吴正宪与小学数学数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长数学观与小学数学教师的专业成长华应龙语：华应龙语：“从数学教学来看，要做一位从数学教学来看，要做一位优秀的数学教师，一定要有优秀的数学教师，一定要有很高的视野很高的视野，一是要一是要跳出小学数学看数学跳出小学数学看数学，二是要，二是要跳出跳出数学看数学数学看数学，三是要，三是要用哲学的眼光看数学用哲学的眼光看数学。数学教师要跳出数学看数学，要想上出具数学教师要跳出数学看数学，要想上出具有有文化味道文化味道的课，数学教师本身对数学专的课，数学教师本身对数学专
15、业是要有一定基础的，并且要有一定的文业是要有一定基础的，并且要有一定的文化素养。化素养。” 数学教育的目的数学教育的目的数学教育的目的数学教育的目的教会学生思考：教会学生思考：不仅仅应该不仅仅应该传授知识传授知识，而且应当去发，而且应当去发展学生展学生运用运用所传授的知识的能力；所传授的知识的能力；应当强调由应当强调由实践得来的能力实践得来的能力，有益的，有益的思考方式思考方式及应有的及应有的思想习惯思想习惯。培养学生的好奇心、兴趣、情绪、意培养学生的好奇心、兴趣、情绪、意志、毅力等非智力品质志、毅力等非智力品质 。数学教育的目的数学教育的目的数学教育的目的数学教育的目的波利亚说：波利亚说：“
16、一个真正希望帮助学生一个真正希望帮助学生的数学教师首先应激起学生的的数学教师首先应激起学生的好奇心好奇心，使他产生解题的使他产生解题的意愿意愿。其次，还应该。其次，还应该留给学生一定的时间来留给学生一定的时间来下定决心下定决心，安安下心下心来完成任务。来完成任务。”思考：思考：思考：思考： 我们的数学教育目的是什么？我们的数学教育目的是什么？我们的数学教育目的是什么？我们的数学教育目的是什么？数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学
17、知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的力方面的不可替代不可替代的作用。的作用。义务教育阶段的数学课程是培养义务教育阶段的数学课程是培养公民素质公民素质的基础课程，具的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能基础知识和基本技能，培养，培养学生的学生的抽象思维和推理能力抽象思维和推理能力；培养学生的；培养学生的创新意识和实践创新意识和实践能力能力；促进学生在；促进学生在情感、态度与价值观情感、态度与价值观等方面的发展。等方面的发展。数学
18、课程标准（数学课程标准（20112011） 数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学数学教育目的与小学数学教学通过义务教育阶段的数学学习，学生能：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1. 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经基本活动经验验。2. 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行运用数学的思维方式进行思考思考，增强发现和提
19、出问题的能力、分析和解决，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。问题的能力。3. 3. 了解数学的价值，提高学习了解数学的价值，提高学习数学的兴趣数学的兴趣，增强，增强学好数学的学好数学的信心信心，养成良好的学习，养成良好的学习习惯习惯，具有初，具有初步的步的创新意识和科学态度创新意识和科学态度。 数学课程标准（数学课程标准（20112011） 教育就是一种帮助教育就是一种帮助教师最重要的任务之一是帮助他的学生。教师最重要的任务之一是帮助他的学生。这个任务很不容易，需要这个任务很不容易，需要时间、实践、时间、实践、奉献和正确奉献和正确的原则。的原则。教师应当教师应当谨慎地、不露痕迹地
20、谨慎地、不露痕迹地帮助学生。帮助学生。最好是最好是顺乎其然顺乎其然地帮助学生。地帮助学生。教师为学生能做的最好的事情是通过不教师为学生能做的最好的事情是通过不显眼的显眼的帮助，引导学生自己获得一个好帮助，引导学生自己获得一个好的思路。的思路。把握帮助的把握帮助的“度度”学生应当尽可能多的独立工作经验。学生应当尽可能多的独立工作经验。不帮助或者帮助不够，他就很可能没有不帮助或者帮助不够，他就很可能没有进步。（不多不少，合理）进步。（不多不少，合理）如果学生不太能独立工作，教师应该能如果学生不太能独立工作，教师应该能使学生感觉到自己在独立的工作。使学生感觉到自己在独立的工作。思考：教育到底是什么？
21、思考：教育到底是什么？思考：教育到底是什么？思考：教育到底是什么？教育观的确立与小学数学教学教育观的确立与小学数学教学刘可钦：教育刘可钦：教育不是不是一味的批评、教化，一味的批评、教化，而是而是一种激励、引导和召唤，是教育者一种激励、引导和召唤，是教育者与被教育者心灵的沟通与被教育者心灵的沟通. .因此，作为教因此，作为教师，师，应该应该学会笑着做老师、蹲着看学生、学会笑着做老师、蹲着看学生、乐着做同事，以乐着做同事，以从容、平和、真诚的心从容、平和、真诚的心态态带给学生爱的感召，帮助他们排解学带给学生爱的感召，帮助他们排解学习、生活中暂时的障碍和困难。习、生活中暂时的障碍和困难。教学不是科学
22、而是艺术教学不是科学而是艺术教学不是科学而是艺术教学不是科学而是艺术教学与唱戏，显然有不少共同之处。教学与唱戏，显然有不少共同之处。对一个你讲过多少遍的证明，你对此实际对一个你讲过多少遍的证明，你对此实际上已无多大的兴趣上已无多大的兴趣但请千万不要在课但请千万不要在课堂上显露出来：假如你表现出来厌烦，那堂上显露出来：假如你表现出来厌烦，那么整个课堂也会如此。当你开始证明的时么整个课堂也会如此。当你开始证明的时候，要摆出一副候，要摆出一副兴奋兴奋的模样，当证明进行的模样，当证明进行的时候，要的时候，要装出有很多点子装出有很多点子；当证明完结；当证明完结的时候，还要表示出的时候，还要表示出惊奇和得
23、意惊奇和得意。你多少。你多少应当做一些表演，因为有时候你的学生从应当做一些表演，因为有时候你的学生从你的举止你的举止中比你所讲的主题中学到的更多。中比你所讲的主题中学到的更多。教学不是科学而是艺术教学不是科学而是艺术教学不是科学而是艺术教学不是科学而是艺术教学，不很明教学，不很明显地，与音乐也有共同之处；显地，与音乐也有共同之处；变换旋律；变换旋律；教学有时候像一首诗。教学有时候像一首诗。思考：教学是什么？思考：教学是什么？思考：教学是什么？思考：教学是什么？教学观的确立与小学数学教学教学观的确立与小学数学教学教学观的确立与小学数学教学教学观的确立与小学数学教学教学活动是师生积极参与、交往互动
24、、共教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。同发展的过程。 数学课程标准数学课程标准（20112011）教学过程是一种特殊的认识过程；教学过程是一种特殊的认识过程；教学是一种特殊的实践活动；教学是一种特殊的实践活动；教学是一种特殊的交往活动；教学是一种特殊的交往活动；关于儿童的数学学习关于儿童的数学学习（1 1）主动学习（）主动学习（为了有效的学习，学生应当为了有效的学习，学生应当在给定的条件下，尽量多的发现学习的材料。）在给定的条件下，尽量多的发现学习的材料。）（2 2）最佳动机）最佳动机（3 3）循序前进）循序前进康德说过：康德说过：“一切人类知识以一切人类知识以直观直观开始，由
25、直开始，由直观进至观进至概念概念，而终于，而终于理念理念。” 波利亚对此话颇为欣赏，他进一步提出，波利亚对此话颇为欣赏，他进一步提出，“学学习过程从习过程从行动和感知行动和感知开始的，进而发展到开始的，进而发展到词语词语和概念和概念，以养成合理的，以养成合理的思维习惯思维习惯而结束。而结束。”学习任何东西的最好途径是学习任何东西的最好途径是“自己动脑筋自己动脑筋”、“自己去自己去发现要学习的材料发现要学习的材料”。学习的最佳动机是学习的最佳动机是“学生对所学生对所学习的材料感到有兴趣并且在学习的材料感到有兴趣并且在学习活动中找到乐趣学习活动中找到乐趣”。数学学习观与小学数学教学数学学习观与小学
26、数学教学数学学习应当是一个生动活泼的、富有个数学学习应当是一个生动活泼的、富有个性的过程。性的过程。学生应当有足够的时间和空间经历观察、学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程。程。 数学课程标准（数学课程标准（20112011年）年） 数学学习观与小学数学教学数学学习观与小学数学教学数学学习观与小学数学教学数学学习观与小学数学教学主动学习主动学习最佳动机最佳动机循序前进循序前进生动活泼生动活泼富有个性富有个性足够的时间和足够的时间和空间空间活动过程活动过程问题解决：怎样解题表问题解决：怎样解题表理解问题拟定计划实现计划检验
27、回顾波利亚的问波利亚的问题解决的思题解决的思想在美国加想在美国加州小学数学州小学数学教材中应用教材中应用西师版小学数学教材中的问题解决西师版小学数学教材中的问题解决人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计理解问题理解问题未知数是什么？已知数是什么？条件是未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？什么？可能满足什么条件？可能满足什么条件？画一个图，引入适当的符号。画一个图，引入适当的符号。人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计拟订计划拟订计划找出已知数和未知数之间的关系。假使你不能找出关系，就得考虑辅
28、助问题，最后应想出一个计划。你以前见过它吗？你知道什么有关的问题吗？注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题拟订计划拟订计划这里有一个与你有关而且以前解过的问这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？题，你能应用它吗？你可以改述这个问题吗？回到定义！你可以改述这个问题吗？回到定义！你若不能解决这问题，试先解一个有关你若不能解决这问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解特殊的问题？一个类似的问题？你能解决问题的一部分吗？决问
29、题的一部分吗？你用了全部条件吗？你用了全部条件吗？人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计计划与解决计划与解决实行计划实行计划实行你的解决计划，校核每一步骤。实行你的解决计划，校核每一步骤。检验回顾检验回顾你能校核结果吗？你能校核论证吗？你能校核结果吗？你能校核论证吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能应用这结果或方法到别的问题上去你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？吗？检验回顾检验回顾人教版对问题解决的设计人教版对问题解决的设计波利亚问题解决的特点波利亚问题解决的特点为问题解决教学提供了依据为问题解决教学提供了依据重视对学生元认知（元认知知识、元认重视对学生元
30、认知（元认知知识、元认知体验和元认知监控）的培养知体验和元认知监控）的培养具有普遍性（教学帮助语言是通用的）具有普遍性（教学帮助语言是通用的）具有常识性（对所有的问题解决具有启具有常识性（对所有的问题解决具有启发性）发性）问题解决与小学数学教学问题解决与小学数学教学问题解决与小学数学教学问题解决与小学数学教学注重引导学生经历和体验问题解决的过程；注重引导学生经历和体验问题解决的过程；引导学生学会问题解决；引导学生学会问题解决；培养学生的自我监控能力；培养学生的自我监控能力；培养学生良好的问题解决的习惯。培养学生良好的问题解决的习惯。超越超越 波利亚波利亚纽维尔和西蒙的问题解决过程模型（了纽维尔
31、和西蒙的问题解决过程模型（了解问题、寻找解决办法）解问题、寻找解决办法）匈菲尔德的数学解题模式（分析、计划、匈菲尔德的数学解题模式（分析、计划、探究、实施）探究、实施）合情推理合情推理没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。（牛顿）（牛顿）要想成为一个好的数学家，要想成为一个好的数学家，你必须首先你必须首先是一个好的猜想家。（波利亚）是一个好的猜想家。（波利亚）合情推理合情推理数学家的创造性工作是论证推理，即证数学家的创造性工作是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。过猜想而发现的。只要数学的学习过程只
32、要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位就应当让猜测、合情推理占有适当的位置置。”数学与猜想数学课程标准数学课程标准数学课程标准数学课程标准与合情推理与合情推理与合情推理与合情推理演绎（或论证）推理演绎（或论证）推理从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算得出结果。证明结论，合情推理合情推理从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过类比和归纳等推断出结果。探索结论，发现思路。演绎推理演绎推理演绎推理演绎推理三段论：所有的有理数是实数，分数是有理数，则分数是实数。假言推理：如A真，A蕴含B，则B为真A：三
33、角形的内角和等于180度B：锐角三角形的内角和等于180度否定推理：A蕴含B，B假，则A假。A：n是自然数，都是素数B：n=5,A蕴含B，B真，则A？。A:三角形的内角和等于180度B:锐角三角形的内角和等于180度合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式A蕴含BB真A更可靠合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广A蕴含与前面已经证实的A的结论B1，B2，B3.。Bn相比是十分不同的为真A可靠得多合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式A蕴含BB本身不像是可靠的B真A极为可靠
34、合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式合情推理的归纳模式A蕴含BB本身像是十分可靠的B真A只多一点可靠合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广合情推理的归纳模式的推广A蕴含是十分相似于前面已经证实的A的结论B1，B2，B3.。Bn为真A只是多了一些可靠性合情推理的类比模式合情推理的类比模式合情推理的类比模式合情推理的类比模式A类似于BB真A更可靠合情推理的类比模式合情推理的类比模式合情推理的类比模式合情推理的类比模式A类似于BB更靠A稍更可靠合情推理与演绎推理与小学数学教学合情推理与演绎推理与小学数学教学合情推理与演绎推理与小学数学教学合情推理与
35、演绎推理与小学数学教学波利亚的建议：教波利亚的建议：教“合情推理合情推理”只要我们能承认数学创造过程中需要合只要我们能承认数学创造过程中需要合情推理、需要猜想的话，数学教学中就情推理、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试。备，或至少给一点发明的尝试。对于一个想以数学作为终身职业的学生对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；就得掌握合情推理；对于一般学生来说，他也必须学习和体对于一般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活
36、的需要验合情推理，这是他未来生活的需要 数学教师十诫数学教师十诫数学教师十诫数学教师十诫1.1.要对你讲的课题有兴趣；要对你讲的课题有兴趣；2.2.要懂得你讲的课题；要懂得你讲的课题；3.3.要懂得学习的途径：学习任何东西的最要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径是靠自己去发展；佳途径是靠自己去发展；4.4.要观察你的学生脸色，弄清楚他们的期要观察你的学生脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中；望和困难，把自己置身于他们之中；5.5.不仅要交给他们知识，并且要交给他们不仅要交给他们知识，并且要交给他们“才智才智”，思维方式，有条不紊的工作习，思维方式，有条不紊的工作习惯。惯。6.
37、6.要让他们学习猜测；要让他们学习猜测；7.7.要让他们学习证明；要让他们学习证明；8.8.要找出手边题目中那些对解后来题目有要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征用的特征即设法去揭示出隐藏在眼前即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模型；具体情形中的一般模型；9.9.不要立即吐露你的全部秘密不要立即吐露你的全部秘密让学生让学生在说出来之前先去猜在说出来之前先去猜尽量让他们自己尽量让他们自己去找出来；去找出来；10.10.要建议，不要强迫别人去接受。要建议，不要强迫别人去接受。数学教师十戒数学教师十戒数学教师十戒数学教师十戒（1 1）如果）如果教师厌烦数学教师厌烦数学，那学生也肯定会厌烦
38、数学，那学生也肯定会厌烦数学，因此，如果因此，如果你对数学不感兴趣你对数学不感兴趣，你就不要去教它，因为，你就不要去教它，因为你的课不可能受学生欢迎。你的课不可能受学生欢迎。（2 2）兴趣是一种必要条件，但它本身不是一个充分条）兴趣是一种必要条件，但它本身不是一个充分条件。因为你不可能向学生讲懂而你自己并没有弄清楚的件。因为你不可能向学生讲懂而你自己并没有弄清楚的事情。之所以把兴趣放在第一位，是因为有了真正的兴事情。之所以把兴趣放在第一位，是因为有了真正的兴趣，就能使你更好地学到必要的知识。反过来，趣，就能使你更好地学到必要的知识。反过来，若仅有若仅有某些知识但缺乏兴趣，你必然当不了一个好教师
39、。某些知识但缺乏兴趣，你必然当不了一个好教师。（3 3）你应当从自己的经验中）你应当从自己的经验中从自己从从自己从事研究的经验及从你对学生的观察中事研究的经验及从你对学生的观察中去懂得学习的途径并详细地熟悉学习的过去懂得学习的途径并详细地熟悉学习的过程程。（4 4）甚至具备了某些真正的知识和兴趣，）甚至具备了某些真正的知识和兴趣，并且对学习过程也有所了解，你也可能是并且对学习过程也有所了解，你也可能是一个不高明的教师。教师应当能够了解学一个不高明的教师。教师应当能够了解学生的情况，他应该能够生的情况，他应该能够注意到学生的反映注意到学生的反映。学生对你的教学的反映，取决于他们以往学生对你的教学
40、的反映，取决于他们以往的经历、他们的见解和兴趣。因此，把他的经历、他们的见解和兴趣。因此，把他们知道什么、他们不知道什么，他们想知们知道什么、他们不知道什么，他们想知道什么以及他们不想知道什么，他们应该道什么以及他们不想知道什么，他们应该知道什么以及什么对他们学习来讲是无关知道什么以及什么对他们学习来讲是无关紧要的等等这些问题，经常放在心中加以紧要的等等这些问题，经常放在心中加以考虑。考虑。上面的上面的4 4条规则包括了条规则包括了优秀教师的一切要义优秀教师的一切要义，形成了一类充分和必要的条件形成了一类充分和必要的条件。假如你能。假如你能做到，那么你已经是一个好教师了，或者做到，那么你已经是
41、一个好教师了，或者即将成为一名好教师，需要的仅仅只是一即将成为一名好教师，需要的仅仅只是一生的经验了。生的经验了。（5 5）在数学里，才智就是解决问题、构造）在数学里，才智就是解决问题、构造证明和批判地去检验解答和证明的能力，证明和批判地去检验解答和证明的能力，比起仅仅具备知识要重要的多。因而，对比起仅仅具备知识要重要的多。因而，对数学教师而言，这项原则具有特别的重要数学教师而言，这项原则具有特别的重要性。性。 （6 6）无知的、不经心的学习常常是）无知的、不经心的学习常常是 “瞎瞎猜猜”一通。我们必须教给他们一通。我们必须教给他们 “合理合理”的的猜测。合理的猜测是建立在对归纳论证和猜测。合
42、理的猜测是建立在对归纳论证和类比的适度运用上，并且最终包含着推理类比的适度运用上，并且最终包含着推理的全部步骤。的全部步骤。（7 7）“教学是一所证明推理的好学校教学是一所证明推理的好学校”。数。数学教师应当使得除低年级以外的学生熟悉证明学教师应当使得除低年级以外的学生熟悉证明的推理：的推理：“要让他们学习证明要让他们学习证明。”（8 8）在数学这门学科中，）在数学这门学科中，才能比仅具备知识才能比仅具备知识的价值更大的价值更大。 （9 9）令人讨厌的艺术令人讨厌的艺术就是把什么都说了出来。就是把什么都说了出来。 （1010）一个学生问教师问题，假如经常这么）一个学生问教师问题，假如经常这么说
43、：说：“这是错误的这是错误的”，这个学生将会，这个学生将会恨我及数恨我及数学学。这样就他个人来讲，教师的一切努力都将。这样就他个人来讲，教师的一切努力都将付诸东流。付诸东流。波利亚数学教育思想的影响：波利亚数学教育思想的影响：波利亚数学教育思想的影响：波利亚数学教育思想的影响：MMMM教育方式教育方式教育方式教育方式充分发挥数学教育的两个功能（技术教育功能和文化教育充分发挥数学教育的两个功能（技术教育功能和文化教育功能功能) )；自觉地遵循两条基本原则（既教证明又教猜想的原则和教自觉地遵循两条基本原则（既教证明又教猜想的原则和教学、学习、研究（发现学、学习、研究（发现 ）同步协调原则）；）同步
44、协调原则）；瞄准三项具体目标（引导学生自我增进一般科学素养，自瞄准三项具体目标（引导学生自我增进一般科学素养，自我提高社会文化修养，自我形成和发展数学品质）；我提高社会文化修养，自我形成和发展数学品质）；恰当地运用八项教学措施（数学返璞归真教育，数学审美恰当地运用八项教学措施（数学返璞归真教育，数学审美教育，数学发现法教育，数学家人品教育，数学史志教育，教育，数学发现法教育，数学家人品教育，数学史志教育，演绎推理教学，合情推理教学，一般解题方法的教学），演绎推理教学，合情推理教学，一般解题方法的教学），从而达到全面提高学生素质的目的。从而达到全面提高学生素质的目的。波利亚数学教育思想体系波利亚
45、数学教育思想体系波利亚数学教育思想体系波利亚数学教育思想体系数学观数学观：动态的易缪主义的数学观（：动态的易缪主义的数学观（合情合情推理推理）教育目的教育目的：教会学生思考和学生的情感态：教会学生思考和学生的情感态度（度（问题解决问题解决）教育观教育观：帮助学生（不显眼、顺乎自然）：帮助学生（不显眼、顺乎自然）（问题解决问题解决）教学观教学观：教学是一门艺术：教学是一门艺术学习观学习观：主动学习、最佳动机和循序前进：主动学习、最佳动机和循序前进教师观教师观：教师十诫：教师十诫启示：如何建构自己的数学教育理论（思启示：如何建构自己的数学教育理论（思启示：如何建构自己的数学教育理论（思启示：如何建
46、构自己的数学教育理论（思想）想）想）想）中国特色的数学教育理论构建（以双基中国特色的数学教育理论构建（以双基为例）为例）数学观是什么？数学观是什么？教育观是什么教育观是什么数学教育目的是什么？数学教育目的是什么？数学学习是什么？数学学习是什么？数学教学是什么？数学教学是什么？教育思想形成的基本思路教育思想形成的基本思路教育思想形成的基本思路教育思想形成的基本思路教育的目的（教育观）教育的目的（教育观）儿童本性的假设（儿童观）儿童本性的假设（儿童观）知识的假设（知识观）知识的假设（知识观）教学方法的假设（教学观）教学方法的假设（教学观）教育目的就是指通过教育培养具教育目的就是指通过教育培养具有什
47、么样素养的人，这种人应该有什么样素养的人，这种人应该具有什么样的知识、技能和社会具有什么样的知识、技能和社会态度态度（1 1）相信儿童具有可塑性，教学对儿童的发展有影）相信儿童具有可塑性，教学对儿童的发展有影响，这种影响又受到所教内容的限制；响，这种影响又受到所教内容的限制；（2 2）相信儿童能够学习，学习能够引起行为的变化；）相信儿童能够学习，学习能够引起行为的变化；（3 3）相信儿童能够参与教育活动；）相信儿童能够参与教育活动；（4 4）相信儿童的发展遵循一定的顺序；）相信儿童的发展遵循一定的顺序；（5 5）相信儿童语言的发展影响其认知和问题解决能）相信儿童语言的发展影响其认知和问题解决能
48、力，知识和技能的交流是可能的。力，知识和技能的交流是可能的。1.1.知识是可能的。知识是可能的。2.2.知识是有价值的。知识是有价值的。3.3.知识是可以传授和学习的知识是可以传授和学习的。1.1.在道德上是可以接受的。在道德上是可以接受的。2.2.能使儿童积极参与学习。能使儿童积极参与学习。3.3.适应儿童的年龄和智力。适应儿童的年龄和智力。建构自己的数学教育思想建构自己的数学教育思想建构自己的数学教育思想建构自己的数学教育思想数学学科观念数学学科观念感悟和提炼儿童数学学习观念感悟和提炼儿童数学学习观念把握各种教育与教学观念把握各种教育与教学观念符合自身的数学教学风格符合自身的数学教学风格L/O/G/O无无忧忧PPTPPT整理整理发发布布欢迎大家提出问题！欢迎大家提出问题！欢迎大家提出问题！欢迎大家提出问题！谢谢大家！谢谢大家！谢谢大家！谢谢大家！
