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1、 第6章 控制系统的综合6.1 6.1 引言引言 系统综合是在已知系统结构和参数的情况下，确定需要系统综合是在已知系统结构和参数的情况下，确定需要施加于系统的外部输入或控制律，以使系统具有期望的运动施加于系统的外部输入或控制律，以使系统具有期望的运动特性或某些特征。特性或某些特征。 反馈是控制理论中一个经典而重要的概念，是改善系统反馈是控制理论中一个经典而重要的概念，是改善系统性能的一种重要方式。本章将在状态空间分析的基础上，讨性能的一种重要方式。本章将在状态空间分析的基础上，讨论如何运用反馈对线性定常系统进行综合。论如何运用反馈对线性定常系统进行综合。 设受控系统的状态空间表达式为设受控系统
2、的状态空间表达式为 （1 1） 式中，式中，x x 为为 n n 维状态向量；维状态向量；u u 为为 r r 维输入向量；维输入向量； y y 为为 mm 维输出向量；维输出向量； A A 为为 nnnn 维系统矩阵；维系统矩阵； B B 为为 nrnr 维输入矩阵；维输入矩阵； C C 为为 mnmn 维输出矩阵。维输出矩阵。 通常简记式（通常简记式（1 1）为）为 ( (A A, ,B B, ,C C) )。6 6.2 .2 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈经典控制只能输出反馈经典控制只能输出反馈6 6.2.1 .2.1 状态反馈状态反馈 状态反馈是将受控系统的每一个状态变量乘以相应
3、的系状态反馈是将受控系统的每一个状态变量乘以相应的系数，反馈到受控系统的输入端，与参考输入一起形成控制律数，反馈到受控系统的输入端，与参考输入一起形成控制律 采用状态反馈对受控系统采用状态反馈对受控系统(A A, ,B B, ,C C) )进行控制，进行控制，如如下下图图所示。所示。 设状态反馈控制律为设状态反馈控制律为 式中，式中，v v 为为r r 维参考输入向量；维参考输入向量； K K 为为r r n n维状态反馈阵。维状态反馈阵。 对于单输入系统，对于单输入系统，K K为为n n 维行向量。维行向量。 所得到的状态反馈闭环系统（或称状态反馈系统）的状所得到的状态反馈闭环系统（或称状态
4、反馈系统）的状态空间表达式为：态空间表达式为：简记为简记为( (A-BKA-BK, ,B B, ,C C) )。说明说明说明说明：1.1.状态反馈系统状态反馈系统(A-BKA-BK, ,B B, ,C C) )的维数与受控系统的维数与受控系统(A A, ,B B, ,C C) ) 的维数相同，即采用状态反馈不增加状态变量的个数。的维数相同，即采用状态反馈不增加状态变量的个数。2. 2. 状态反馈系统状态反馈系统(A-BKA-BK, ,B B, ,C C) )的系统矩阵为的系统矩阵为A-BKA-BK，通过，通过选择状态反馈阵选择状态反馈阵K K 可以改变闭环系统的特征值（极点）。可以改变闭环系统
5、的特征值（极点）。6 6 6 6.2.2 .2.2 .2.2 .2.2 输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈 输出反馈输出反馈输出反馈输出反馈是将受控系统的输出变量乘以相应的系数，反是将受控系统的输出变量乘以相应的系数，反馈到受控系统的输入端，与参考输入一起形成控制律。馈到受控系统的输入端，与参考输入一起形成控制律。 采用输出反馈对受控系统采用输出反馈对受控系统(A A, ,B B, ,C C) )进行控制，进行控制，如如下下图图。 设输出反馈控制律为设输出反馈控制律为 式中，式中，v v 为为r r 维参考输入向量；维参考输入向量； H H 为为r r mm 维输出反馈阵。维输出反馈阵。 对于单
6、输出系统，对于单输出系统，H H为为r r 维列向量。维列向量。 所得到的输出反馈闭环系统（或称输出反馈系所得到的输出反馈闭环系统（或称输出反馈系统）的状态空间表达式为：统）的状态空间表达式为： 简记为简记为( (A-BHCA-BHC, , , ,B B, , , ,C C) )。说明说明说明说明：1. 1. 输出反馈系统输出反馈系统 ( (A-BHCA-BHC, , , ,B B, , , ,C C) ) 的维数与受控系统的维数与受控系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ) 的维数相同，即采用输出反馈不增加状态变的维数相同，即采用输出反馈不增加状态变量的个数。量的个数。2. 2. 输
7、出反馈系统输出反馈系统 ( (A-BHCA-BHC, , , ,B B, , , ,C C) )的系统矩阵为的系统矩阵为A-BHCA-BHC，通过选择输出反馈阵通过选择输出反馈阵H H 可以改变闭环系统的特征值（极可以改变闭环系统的特征值（极点）。点）。 受控系统受控系统( (A A, , , ,B B, , , ,C C) )的传递函数阵为的传递函数阵为 输出反馈系统输出反馈系统( (A-BHCA-BHC, , , ,B B, , , ,C C) )的传递函数阵为的传递函数阵为 二者之间有如下关系二者之间有如下关系 或或对于单输入单输出系统，对于单输入单输出系统， 都是标量，有都是标量，有助
8、记不是证明助记不是证明: :sI-A+BHCsI-A+BHC除以除以sI-A,sI-A,再乘以再乘以sI-AsI-A；除的结果是除的结果是I+BHC/(sI-A)=I+GI+BHC/(sI-A)=I+G0 0H H6 6 6 6.2.2.2.2.3 3 3 3 状态反馈与输出反馈比较状态反馈与输出反馈比较状态反馈与输出反馈比较状态反馈与输出反馈比较 1. 1.状态反馈系统保持受控系统的能控性，但不一定保持受状态反馈系统保持受控系统的能控性，但不一定保持受控系统的能观性。输出反馈系统保持受控系统的能控性和控系统的能观性。输出反馈系统保持受控系统的能控性和能观性。能观性。 2.2.状态是系统运动状
9、况的完全描述，因此状态反馈是系状态是系统运动状况的完全描述，因此状态反馈是系统动态信息的完全反馈。而对于任意的统动态信息的完全反馈。而对于任意的H H, ,都可以找到满足都可以找到满足K=HCK=HC的的K K，即采用输出反馈可以实现的控制都可以采用，即采用输出反馈可以实现的控制都可以采用状态反馈来实现。状态反馈来实现。 3. 3. 实际中，反馈系统的直接反馈变量必须是能够有实际中，反馈系统的直接反馈变量必须是能够有 效测量的。状态变量选择的多样性和复杂性，可能使效测量的。状态变量选择的多样性和复杂性，可能使系统的有些状态变量不能够有效测量。在这种情况下，系统的有些状态变量不能够有效测量。在这
10、种情况下，如果采用状态反馈，就需要引入状态观测器来对真实如果采用状态反馈，就需要引入状态观测器来对真实状态进行估计或重构，状态观测器的引入会增大闭环状态进行估计或重构，状态观测器的引入会增大闭环系统的维数。而系统的输出通常都是可以测量的，可系统的维数。而系统的输出通常都是可以测量的，可以直接反馈。以直接反馈。 可见，输出反馈在技术实现上比状态反馈更方便。可见，输出反馈在技术实现上比状态反馈更方便。6.3 6.3 极点配置极点配置 线性定常系统的稳定性取决于闭环极点，动态特线性定常系统的稳定性取决于闭环极点，动态特性也在很大程度上依赖于闭环极点。性也在很大程度上依赖于闭环极点。 由由6.16.1
11、节已知，状态反馈和输出反馈可以改变闭环节已知，状态反馈和输出反馈可以改变闭环系统的特征值（极点）。通过选择适当的反馈形式和系统的特征值（极点）。通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使闭环系统具有期望极点的问题称为反馈矩阵，使闭环系统具有期望极点的问题称为极点极点配置配置。 如果能够采用反馈任意地配置闭环系统的极点，如果能够采用反馈任意地配置闭环系统的极点，就可以任意地改变系统的一些重要性质，使系统获得就可以任意地改变系统的一些重要性质，使系统获得期望的性能。期望的性能。6.3.1 6.3.1 6.3.1 6.3.1 状态反馈极点配置状态反馈极点配置状态反馈极点配置状态反馈极点配置 极点配置定理极
12、点配置定理: : 状态反馈只能改变系统中能控部分的极点，而不能状态反馈只能改变系统中能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。改变不能控部分的极点。 对于受控系统对于受控系统( (A,B,CA,B,C) )，采用状态反馈，采用状态反馈任意配置任意配置闭闭环极点的充要条件是，受控系统环极点的充要条件是，受控系统( (A,B,CA,B,C) )是完全能控是完全能控的。的。 说明说明说明说明： 状态反馈只能改变系统的极点，对系统的零点没有影响。状态反馈只能改变系统的极点，对系统的零点没有影响。但在状态反馈系统但在状态反馈系统( ( A-BK, B, CA-BK, B, C ) )的传递函数阵的传递
13、函数阵GGK K(s)(s)中有中有可能出现新的极点与原有零点相消。可能出现新的极点与原有零点相消。 所以，状态反馈不一定保持受控系统的能观测性。所以，状态反馈不一定保持受控系统的能观测性。说明：零极点对消，而可控不变，说明：零极点对消，而可控不变，一定不可观了一定不可观了单输入系统直接代入法确定单输入系统直接代入法确定单输入系统直接代入法确定单输入系统直接代入法确定K K（1 1）设受控系统）设受控系统( ( A A, ,B B, ,C C) )的状态反馈阵的状态反馈阵K K为为 代入求出状态反馈系统代入求出状态反馈系统( (A-BKA-BK, ,B B, ,C C) )的特征多项式的特征多
14、项式（2 2）由期望极点）由期望极点 ，求出状态反馈系统，求出状态反馈系统 ( (A-BKA-BK, ,B B, ,C C) )的期望特征多项式：的期望特征多项式：（3 3）令）令 ，根据等式两端同次幂的系数相，根据等式两端同次幂的系数相 等，确定状态反馈阵等，确定状态反馈阵K K。多输入，多输入，k k不是单不是单列矩阵，复杂列矩阵，复杂例例例例6-1 6-1 6-1 6-1 已知受控系统的状态空间表达式为已知受控系统的状态空间表达式为试设计状态反馈阵试设计状态反馈阵K K，使闭环系统的极点为，使闭环系统的极点为-1-1，-2-2。解解解解：（：（1 1）判断受控系统）判断受控系统( (A
15、A, ,B B, ,C C) )的能控性。的能控性。 能控性矩阵为能控性矩阵为 由于由于r rankankU U=2=2，所以受控系统完全能控，可采用状，所以受控系统完全能控，可采用状 态反馈任意配置闭环系统的极点。态反馈任意配置闭环系统的极点。（2 2）设状态反馈阵为）设状态反馈阵为 代入状态反馈系统的特征多项式，可得代入状态反馈系统的特征多项式，可得（3 3）由期望极点）由期望极点-1-1，-2-2，得状态反馈系统的期望特征多项，得状态反馈系统的期望特征多项式为式为令令 ，比较等式两端同次幂的系数，可得，比较等式两端同次幂的系数，可得状态反馈阵为：状态反馈阵为：例例例例6-2 6-2 6-
16、2 6-2 已知受控系统的状态方程为已知受控系统的状态方程为 试分析能否采用状态反馈将闭环极点配置为以下试分析能否采用状态反馈将闭环极点配置为以下 两组极点：两组极点： （1 1）-1-1，-2-2，-2-2； （2 2）-2 -2 ，-2 -2 ，-3-3。解解：（1）判断受控系统的能控性 能控性矩阵为 由于rankU=2，所以受控系统不完全能控，不能采用状 态反馈任意配置所有闭环极点。 （2）构造非奇异变换矩阵Tc，即经过线性变换经过线性变换 ，可将受控系统按能控性分解为，可将受控系统按能控性分解为: :可得能控部分的极点为可得能控部分的极点为 ，不能控部分的极点为，不能控部分的极点为-1
17、-1。 第一组期望极点为第一组期望极点为-1-1，-2-2，-2-2，其中，其中-1-1恰为不能控部分极点，恰为不能控部分极点，只要将能控部分两个极点配置到只要将能控部分两个极点配置到-2-2，-2-2即可配置这组极点。即可配置这组极点。 第二组期望极点为第二组期望极点为-3-3，-2-2，-2-2，其中每个极点都与不能控，其中每个极点都与不能控部分极点部分极点 -1-1 不同，故无法配置这组极点。不同，故无法配置这组极点。6.3.2 6.3.2 6.3.2 6.3.2 输出反馈极点配置输出反馈极点配置输出反馈极点配置输出反馈极点配置 对于受控系统对于受控系统 ( (A A, ,B B, ,C
18、 C) ) ，采用输出反馈可以改变系，采用输出反馈可以改变系统的极点，但不能任意配置闭环系统的极点。统的极点，但不能任意配置闭环系统的极点。 这一点，经典控制系统输出信息通过闭环负反馈，极这一点，经典控制系统输出信息通过闭环负反馈，极点也不是任意选择的。至多将系统极点配置到某一个参数点也不是任意选择的。至多将系统极点配置到某一个参数变化时所对应的轨迹线上（根轨迹）。只有附加校正网络，变化时所对应的轨迹线上（根轨迹）。只有附加校正网络，改变根轨迹走向，再可以实现灵活的极点配置。改变根轨迹走向，再可以实现灵活的极点配置。 现代控制理论的方法，同样可以引入动态补偿器来现代控制理论的方法，同样可以引入
19、动态补偿器来校正系统。校正系统。 对于完全能控的单变量系统对于完全能控的单变量系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ) ，通过带动，通过带动态补偿器的输出反馈实现任意配置极点的充要条件是：态补偿器的输出反馈实现任意配置极点的充要条件是：1.1.系统系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ) 可观；可观；2.2.动态补偿器阶数为动态补偿器阶数为n-1n-1。6.4 6.4 状态观测器状态观测器 引入状态反馈可以得到较好的系统性能。而实现状态反引入状态反馈可以得到较好的系统性能。而实现状态反馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到。但是由于馈的前提是状态变量必须能用传感器测量得到。但
20、是由于种种原因，状态变量并不是都可测量得到。例如，系统中种种原因，状态变量并不是都可测量得到。例如，系统中的某些状态基于系统的结构特性或者是状态变量本身无物的某些状态基于系统的结构特性或者是状态变量本身无物理意义，而无法测得；有些状态变量虽然可以测量得到，理意义，而无法测得；有些状态变量虽然可以测量得到，但应用的传感器价格很贵；有些状态信号很脆弱，在测量但应用的传感器价格很贵；有些状态信号很脆弱，在测量点易混进噪声，使得这些状态实际上难以应用。点易混进噪声，使得这些状态实际上难以应用。 上述情况表明，我们得不到实际能应用的系统状态上述情况表明，我们得不到实际能应用的系统状态变量。运用状态反馈又
21、必须有可应用的状态变量，怎么办变量。运用状态反馈又必须有可应用的状态变量，怎么办呢呢? ?能否通过系统的输入量和输出量来构造系统的状态呢能否通过系统的输入量和输出量来构造系统的状态呢? ?回答是肯定的。可以根据系统的输入量、输出量和系统结回答是肯定的。可以根据系统的输入量、输出量和系统结构、参数来实现系统的状态重构。实现状态重构的系统称构、参数来实现系统的状态重构。实现状态重构的系统称为状态观测器。为状态观测器。 解决系统状态重构的一个直观想法是构造一个系统（模拟装置或者数字部件），各状态均可以量测；令其结构、参数与原系统相同，输入为原系统的输入u(t)。于是得到如下的系统方程：这样的装置叫做
22、开环状态估计器。这样的装置叫做开环状态估计器。但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！实际中，需要应用反馈校正思想来实现状态重构。实际中，需要应用反馈校正思想来实现状态重构。通过误差来校正系统。通过误差来校正系统。这样就得到这样就得到受控系统受控系统 ( (A A, ,B B, ,C C) )的全维观测器：的全维观测器：式中，式中，L L是是nmnm维矩阵，称为观测器的反馈矩阵。维矩阵，称为观测器的反馈矩阵。 对于单输出系统，对于单输出系统，L L为为n n维列向量。维列向量。其估计误差其估计误差 的方程为：的方程为： 问题转化为通过选择问题转化为通
23、过选择L L，任意配置误差状态方程的任意配置误差状态方程的极点。理论上希望配置极点使得误差衰减足够快，但极点。理论上希望配置极点使得误差衰减足够快，但实际中实际中y y总会有噪声，如果误差衰减太快，要求总会有噪声，如果误差衰减太快，要求L L元素元素数值数值较大，容易导致噪声放大。较大，容易导致噪声放大。 兼顾观测器误差的衰减和系统抗扰动能力。实际中设计观测器极点比系统极点快25倍。全维观测器存在和极点配置的条件：1. 1. 对于受控系统对于受控系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ) ，其全维观测器，其全维观测器的的极点可以任意配置极点可以任意配置的充分条件是，该系统是完全能观的。的
24、充分条件是，该系统是完全能观的。2. 2. 对于受控系统对于受控系统 ( (A A, ,B B, ,C C) ) ，其全维观测器，其全维观测器存在存在的充要条件是，不能观测部分的极点都具有负实部。的充要条件是，不能观测部分的极点都具有负实部。说明：不可任意配置说明：不可任意配置例例例例6-3 6-3 6-3 6-3 已知受控系统为已知受控系统为试设计全维观测器，使其极点为试设计全维观测器，使其极点为-10-10，-10-10。误差状态方程的极点误差状态方程的极点也是观测器的极点也是观测器的极点解解解解：（1 1）能观测性矩阵为：）能观测性矩阵为：由于由于rankrankV V=2=2，所以受控
25、系统完全能观测，可以任意配置其，所以受控系统完全能观测，可以任意配置其全维观测器的极点。全维观测器的极点。（2 2）设全维观测器的反馈矩阵）设全维观测器的反馈矩阵L L为：为： 则其特征多项式为：则其特征多项式为：（3 3）由期望极点）由期望极点-10-10，-10-10，求出全维观测器的期望特征多项式为：，求出全维观测器的期望特征多项式为：（4 4）令）令f f ( (s s)=)=f f*( *(s s) )，比较等式两端同次幂的系数，可得全维观测，比较等式两端同次幂的系数，可得全维观测器器 的反馈矩阵为：的反馈矩阵为：可得全维观测器的状态方程为：可得全维观测器的状态方程为：受控系统及其全
26、维观测器的模拟结构图如图所示。受控系统及其全维观测器的模拟结构图如图所示。说明：模型不确定和初值不一致，说明：模型不确定和初值不一致，否则开环即可。否则开环即可。 按照上述方法设计得到的是与状态变量维数相同的按照上述方法设计得到的是与状态变量维数相同的全维观测器。在应用中，还可以利用全维观测器。在应用中，还可以利用y y本身已观测到的本身已观测到的状态维数，只需要估计未观测部分的维数即可。这就是状态维数，只需要估计未观测部分的维数即可。这就是所谓降维观测器。所谓降维观测器。 状态观测器使得对系统全部状态观测或估计成为可状态观测器使得对系统全部状态观测或估计成为可能，进一步可以设计带状态观测器的
27、反馈系统。使状态能，进一步可以设计带状态观测器的反馈系统。使状态反馈（输出反馈）得到工程化实现。反馈（输出反馈）得到工程化实现。6 6. .5 5 带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统 设受控系统设受控系统(A A, ,B B, ,C C) )是完全能控且完全是完全能控且完全能观测的，于是可以设计状态观测器实现状能观测的，于是可以设计状态观测器实现状态反馈。态反馈。 设全维观测器的状态方程为：设全维观测器的状态方程为： 式中，式中，L L为状态观测器的反馈矩阵。为状态观测器的反馈矩阵。6 6. .5 5.1 .1 带状态观测器的状态反馈系统的结构带状态观测器的状态反馈系统的结构
28、并设状态反馈控制律为：并设状态反馈控制律为： 式中，式中，K K为状态反馈阵。为状态反馈阵。这样就构成一个带状态观测器的状态反馈系统这样就构成一个带状态观测器的状态反馈系统. .带状态观测器的状态反馈系统的状态空间表达式为：带状态观测器的状态反馈系统的状态空间表达式为：图图图图 带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统 可见，带状态观测器的状态反馈系统的维数为可见，带状态观测器的状态反馈系统的维数为2 2n n ，是受控系统和全维观测器的维数之和。，是受控系统和全维观测器的维数之和。 如果观测器是降维的，那么带状态观测器的状如果观
29、测器是降维的，那么带状态观测器的状态反馈系统的维数等于受控系统和降维观测器的维态反馈系统的维数等于受控系统和降维观测器的维数之和。数之和。1 1分离特性分离特性 带状态观测器的状态反馈系统的设计包括两带状态观测器的状态反馈系统的设计包括两部分：部分：（1 1） 状态反馈设计状态反馈设计确定状态反馈阵确定状态反馈阵K K；（2 2） 状态观测器设计状态观测器设计确定状态观测器的反确定状态观测器的反 馈矩阵馈矩阵L L。 6 6 6 6. . . .5 5 5 5.2 .2 .2 .2 带状态观测器的状态反馈系统的特性带状态观测器的状态反馈系统的特性带状态观测器的状态反馈系统的特性带状态观测器的状
30、态反馈系统的特性2 2 2 2传递函数阵的不变性传递函数阵的不变性传递函数阵的不变性传递函数阵的不变性 带状态观测器的状态反馈系统的传递函数阵与直接状带状态观测器的状态反馈系统的传递函数阵与直接状态反馈系统的态反馈系统的传递函数阵相等传递函数阵相等，两种状态反馈系统的输，两种状态反馈系统的输入输出关系或入输出关系或外部特性一致外部特性一致，状态观测器的引入对状态，状态观测器的引入对状态反馈系统的外部特性没有影响。反馈系统的外部特性没有影响。3 3 3 3带状态观测器的状态反馈和直接状态反馈的等价性带状态观测器的状态反馈和直接状态反馈的等价性带状态观测器的状态反馈和直接状态反馈的等价性带状态观测
31、器的状态反馈和直接状态反馈的等价性 带状态观测器的状态反馈系统与直接状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统与直接状态反馈系统的外部特性一致，但是内部特性只有在系统达到稳态时的外部特性一致，但是内部特性只有在系统达到稳态时才等价。才等价。 现有一个车载单倒立摆控制系统，如图所示。为简化问题，现有一个车载单倒立摆控制系统，如图所示。为简化问题，现有一个车载单倒立摆控制系统，如图所示。为简化问题，现有一个车载单倒立摆控制系统，如图所示。为简化问题，忽略摆杆质量、电机的转动惯量及摩擦等因素。已知摆杆长为忽略摆杆质量、电机的转动惯量及摩擦等因素。已知摆杆长为忽略摆杆质量、电机的转动惯量及摩擦等因素。已知
32、摆杆长为忽略摆杆质量、电机的转动惯量及摩擦等因素。已知摆杆长为L L，mm、MM分别是摆球和小车的质量，分别是摆球和小车的质量，分别是摆球和小车的质量，分别是摆球和小车的质量，u(t)u(t)、(t)(t)分别是小车运动的分别是小车运动的分别是小车运动的分别是小车运动的控制力和摆杆转角。已知：控制力和摆杆转角。已知：控制力和摆杆转角。已知：控制力和摆杆转角。已知：mm=0.1 kg, =0.1 kg, MM=1.0 kg, =1.0 kg, L L=1.0 m=1.0 m。 试确定该系统的状态空间表达式、可控性和可观性、观测试确定该系统的状态空间表达式、可控性和可观性、观测试确定该系统的状态空
33、间表达式、可控性和可观性、观测试确定该系统的状态空间表达式、可控性和可观性、观测器设计。器设计。器设计。器设计。3.6 3.6 3.6 3.6 综合练习综合练习综合练习综合练习 （1 1）运动模型的建立与线性化）运动模型的建立与线性化）运动模型的建立与线性化）运动模型的建立与线性化 依据力学原理，有依据力学原理，有依据力学原理，有依据力学原理，有控制目标是控制目标是控制目标是控制目标是 (t)(t)0 0。因此，在。因此，在。因此，在。因此，在| |(t)(t)|1|1的情况下，可认为：的情况下，可认为：的情况下，可认为：的情况下，可认为： sinsin(t)(t) (t), cos(t)(t
34、), cos(t)1, (d1, (d(t)/dt)(t)/dt)2 2(t)(t) 00线性化线性化线性化线性化mgmgu(t)u(t)u(t)u(t)意义是意义是 力力显然，这个单倒立摆是显然，这个单倒立摆是显然，这个单倒立摆是显然，这个单倒立摆是4 4阶系统。选取系统的状态量阶系统。选取系统的状态量阶系统。选取系统的状态量阶系统。选取系统的状态量X(t)X(t)和输出量分别为和输出量分别为和输出量分别为和输出量分别为所以有所以有所以有所以有（2 2）可控性、可观性）可控性、可观性）可控性、可观性）可控性、可观性 可控性可控性可控性可控性 可控性矩阵可控性矩阵可控性矩阵可控性矩阵倒立摆系统
35、是可控的倒立摆系统是可控的倒立摆系统是可控的倒立摆系统是可控的可观性可观性可观性可观性 可观性矩阵可观性矩阵可观性矩阵可观性矩阵倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的（3 3）系统的稳定性）系统的稳定性）系统的稳定性）系统的稳定性 令令令令u(t)=0u(t)=0、dX(t)/dt=0dX(t)/dt=0，则有，则有，则有，则有AX(t)=0AX(t)=0。那么，倒立摆系统的平衡。那么，倒立摆系统的平衡。那么，倒立摆系统的平衡。那么，倒立摆系统的平衡状态是状态是状态是状态是倒立摆系统的特征方成为倒立摆系统的特征方成为倒立摆系统的特征方成为倒立摆系统的特征方成为
36、所以，倒立摆系统不稳定，或者倒立摆系统的平衡状态为非稳定状态。所以，倒立摆系统不稳定，或者倒立摆系统的平衡状态为非稳定状态。所以，倒立摆系统不稳定，或者倒立摆系统的平衡状态为非稳定状态。所以，倒立摆系统不稳定，或者倒立摆系统的平衡状态为非稳定状态。（4 4）系统的状态反馈）系统的状态反馈）系统的状态反馈）系统的状态反馈 由于倒立摆系统可控，则可用极点配置方法设计状态反馈控制器，由于倒立摆系统可控，则可用极点配置方法设计状态反馈控制器，由于倒立摆系统可控，则可用极点配置方法设计状态反馈控制器，由于倒立摆系统可控，则可用极点配置方法设计状态反馈控制器，使倒立摆系统的平衡状态为稳定状态。设状态反馈矩
37、阵使倒立摆系统的平衡状态为稳定状态。设状态反馈矩阵使倒立摆系统的平衡状态为稳定状态。设状态反馈矩阵使倒立摆系统的平衡状态为稳定状态。设状态反馈矩阵K K为为为为设倒立摆控制系统的期望极点设倒立摆控制系统的期望极点设倒立摆控制系统的期望极点设倒立摆控制系统的期望极点( (特征值特征值特征值特征值) )为：为：为：为：-1, -2, -1-1, -2, -1jj。则控制系统的。则控制系统的。则控制系统的。则控制系统的期望特征多项式为期望特征多项式为期望特征多项式为期望特征多项式为F F1 1(s)(s)为为为为引入状态反馈矩阵引入状态反馈矩阵引入状态反馈矩阵引入状态反馈矩阵K K后，系统的特征多项
38、式后，系统的特征多项式后，系统的特征多项式后，系统的特征多项式 F F2 2(s)(s)为为为为令令令令F F1 1(s)=F(s)=F2 2(s)(s)，由待定系数法计算得，由待定系数法计算得，由待定系数法计算得，由待定系数法计算得状态反馈控制下的倒立摆系统的运动模型就是状态反馈控制下的倒立摆系统的运动模型就是状态反馈控制下的倒立摆系统的运动模型就是状态反馈控制下的倒立摆系统的运动模型就是（5 5）单位阶跃输入下，小车与摆杆的输出响应）单位阶跃输入下，小车与摆杆的输出响应）单位阶跃输入下，小车与摆杆的输出响应）单位阶跃输入下，小车与摆杆的输出响应没有没有状态反馈控制时的响应状态反馈控制时的响
39、应有有状态反馈控制时的响应状态反馈控制时的响应（6 6）状态观测器设计）状态观测器设计）状态观测器设计）状态观测器设计 实际上，倒立摆系统的实际上，倒立摆系统的实际上，倒立摆系统的实际上，倒立摆系统的4 4个状态变量个状态变量个状态变量个状态变量x(t)x(t)、dx(t)/dtdx(t)/dt、(t)(t)、d(t)/dtd(t)/dt是可以直接测量的。因此，可用是可以直接测量的。因此，可用是可以直接测量的。因此，可用是可以直接测量的。因此，可用4 4个相应的传感器进行量测和反个相应的传感器进行量测和反个相应的传感器进行量测和反个相应的传感器进行量测和反馈。由于倒立摆系统是可观测的。因此也可
40、应用状态观测器的方法实现馈。由于倒立摆系统是可观测的。因此也可应用状态观测器的方法实现馈。由于倒立摆系统是可观测的。因此也可应用状态观测器的方法实现馈。由于倒立摆系统是可观测的。因此也可应用状态观测器的方法实现状态反馈控制。这里，应用一个输出量的测量来生成状态观测器。状态反馈控制。这里，应用一个输出量的测量来生成状态观测器。状态反馈控制。这里，应用一个输出量的测量来生成状态观测器。状态反馈控制。这里，应用一个输出量的测量来生成状态观测器。 设倒立摆系统的输出只是小车位移设倒立摆系统的输出只是小车位移设倒立摆系统的输出只是小车位移设倒立摆系统的输出只是小车位移x(t)x(t)，且可以直接用传感器
41、进行，且可以直接用传感器进行，且可以直接用传感器进行，且可以直接用传感器进行测量。此时，倒立摆系统的状态矩阵测量。此时，倒立摆系统的状态矩阵测量。此时，倒立摆系统的状态矩阵测量。此时，倒立摆系统的状态矩阵A A和输入矩阵和输入矩阵和输入矩阵和输入矩阵B B不变，输出矩阵不变，输出矩阵不变，输出矩阵不变，输出矩阵C C就是就是就是就是这时，倒立摆系统的仍然具有可观性。因为这时，倒立摆系统的仍然具有可观性。因为这时，倒立摆系统的仍然具有可观性。因为这时，倒立摆系统的仍然具有可观性。因为倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的倒立摆系统是可观的全维状态观测器全维状态观测器 引入全维状态
42、观测器后，倒立摆系统的状态空间表达式为引入全维状态观测器后，倒立摆系统的状态空间表达式为引入全维状态观测器后，倒立摆系统的状态空间表达式为引入全维状态观测器后，倒立摆系统的状态空间表达式为H=H=h h1 1 h h2 2 h h3 3 h h4 4 T T是全维状态观测器的输出反馈矩阵。为了使全维是全维状态观测器的输出反馈矩阵。为了使全维是全维状态观测器的输出反馈矩阵。为了使全维是全维状态观测器的输出反馈矩阵。为了使全维状态观测器给出的状态估计误差状态观测器给出的状态估计误差状态观测器给出的状态估计误差状态观测器给出的状态估计误差( )( )尽可能快尽可能快尽可能快尽可能快地衰减，取其特征值
43、为地衰减，取其特征值为地衰减，取其特征值为地衰减，取其特征值为-2-2、-3-3、-2-2jj。这样全维状态观测器的期望特。这样全维状态观测器的期望特。这样全维状态观测器的期望特。这样全维状态观测器的期望特征多项式就为征多项式就为征多项式就为征多项式就为全维状态观测器的实际特征多项式为全维状态观测器的实际特征多项式为全维状态观测器的实际特征多项式为全维状态观测器的实际特征多项式为令令令令F F1 1(s)=F(s)=F2 2(s)(s)，计算有，计算有，计算有，计算有降维状态观测器降维状态观测器 既然倒立摆系统的输出量既然倒立摆系统的输出量既然倒立摆系统的输出量既然倒立摆系统的输出量x(t)x
44、(t)可由传感器直接测量获得，状态可由传感器直接测量获得，状态可由传感器直接测量获得，状态可由传感器直接测量获得，状态观测器就没有必要对变量观测器就没有必要对变量观测器就没有必要对变量观测器就没有必要对变量x(t)x(t)进行估计，这就是说采用三维状态观测进行估计，这就是说采用三维状态观测进行估计，这就是说采用三维状态观测进行估计，这就是说采用三维状态观测器就可以了。器就可以了。器就可以了。器就可以了。 设计降维状态观测器，首先要将需要估计的状态变量分离出来。设计降维状态观测器，首先要将需要估计的状态变量分离出来。设计降维状态观测器，首先要将需要估计的状态变量分离出来。设计降维状态观测器，首先
45、要将需要估计的状态变量分离出来。对于倒立摆系统的状态空间表达式对于倒立摆系统的状态空间表达式对于倒立摆系统的状态空间表达式对于倒立摆系统的状态空间表达式变量分离变量分离那么，由状态观测器估计的状态变量所构成的三维子系统，就是那么，由状态观测器估计的状态变量所构成的三维子系统，就是那么，由状态观测器估计的状态变量所构成的三维子系统，就是那么，由状态观测器估计的状态变量所构成的三维子系统，就是式中：式中：式中：式中：v=Av=A1212X X2 2+B+B1 1u u，x(t)x(t)是三维子系统的输出是三维子系统的输出是三维子系统的输出是三维子系统的输出。三维子系统的可观测性的检验三维子系统的可
46、观测性的检验三维子系统的可观测性的检验三维子系统的可观测性的检验 降维状态观测器的状态方程降维状态观测器的状态方程降维状态观测器的状态方程降维状态观测器的状态方程(H(H是状态观测器的输出反馈矩阵是状态观测器的输出反馈矩阵是状态观测器的输出反馈矩阵是状态观测器的输出反馈矩阵) ) 为消去状态方程中的导数项为消去状态方程中的导数项为消去状态方程中的导数项为消去状态方程中的导数项(dX(dX2 2/dt)/dt)，引入新的状态变量，引入新的状态变量，引入新的状态变量，引入新的状态变量此时，降维状态观测器的状态方程就是此时，降维状态观测器的状态方程就是此时，降维状态观测器的状态方程就是此时，降维状态
47、观测器的状态方程就是 ( (满秩满秩满秩满秩) )，子系统可观测，子系统可观测，子系统可观测，子系统可观测极点配置法设计降维状态观测器极点配置法设计降维状态观测器极点配置法设计降维状态观测器极点配置法设计降维状态观测器设状态观测器的输出反馈矩阵为设状态观测器的输出反馈矩阵为设状态观测器的输出反馈矩阵为设状态观测器的输出反馈矩阵为H=hH=h1 1 h h2 2 h h3 3 T T，计算有，计算有，计算有，计算有则，三维状态观测器的特征多项式则，三维状态观测器的特征多项式则，三维状态观测器的特征多项式则，三维状态观测器的特征多项式F F2 2(s)(s)就为就为就为就为令其期望的特征值为令其期
48、望的特征值为令其期望的特征值为令其期望的特征值为-3,-2-3,-2jj，则期望的特征多项式，则期望的特征多项式，则期望的特征多项式，则期望的特征多项式F F1 1(s)(s)为为为为由由由由F F1 1(s)=F(s)=F2 2(s)(s)，计算有，计算有，计算有，计算有H=7 -28 -92H=7 -28 -92T T。此时，以。此时，以。此时，以。此时，以W(t)W(t)为状态变量的降为状态变量的降为状态变量的降为状态变量的降维状态观测器的状态方程就是维状态观测器的状态方程就是维状态观测器的状态方程就是维状态观测器的状态方程就是实际系统的状态估计是实际系统的状态估计是实际系统的状态估计是
49、实际系统的状态估计是作业：作业：5.1 5.3 5.4 5.65.1 5.3 5.4 5.6谢书：谢书：5-15-15-25-25-35-35-45-45-85-8（1 1）（）（3 3）1.1.谈一谈你在学了包括经典和现代控制理论课程后，对谈一谈你在学了包括经典和现代控制理论课程后，对谈一谈你在学了包括经典和现代控制理论课程后，对谈一谈你在学了包括经典和现代控制理论课程后，对 控制系统稳定性的理解，请结合实例。控制系统稳定性的理解，请结合实例。控制系统稳定性的理解，请结合实例。控制系统稳定性的理解，请结合实例。2. 2. 谈一谈你对现代控制理论与经典控制理论在系统分析谈一谈你对现代控制理论与经典控制理论在系统分析谈一谈你对现代控制理论与经典控制理论在系统分析谈一谈你对现代控制理论与经典控制理论在系统分析的内容与方法方面的区别与联系。的内容与方法方面的区别与联系。的内容与方法方面的区别与联系。的内容与方法方面的区别与联系。
