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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 阶段方法技巧训练（一）阶段方法技巧训练（一）专训专训2 2 求二次函数表达式求二次函数表达式 的常见类型的常见类型习题课习题课求二次函数的表达式是解决二次函数求二次函数的表达式是解决二次函数问题的的重要保重要保证，在求解二次函数的表达式，在求解二次函数的表达式时一般一般选用用待定系数法，但在具体待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解出恰当的表达式，往往可以使解题过程程简便便1类型由函数的基本形式求表达式由函数的基本形式求表达式1.【2016黔南州黔南州】已知二次函数已知二次函数yx2bx
2、c的的图象与象与y轴交于点交于点C(0，6)，与，与x轴的一个交点坐的一个交点坐标是是A(2，0)(1)求二次函数的表达式，并写出求二次函数的表达式，并写出顶点点D的坐的坐标；(2)将二次函数的将二次函数的图象沿象沿x轴向向左平移左平移个个单位位长度，度，当当y0时，求，求x的取的取值范范围方法方法1利用一般式求二次函数表达式利用一般式求二次函数表达式(1)把把C点坐点坐标(0，6)代入二次函数的代入二次函数的表达式表达式得得c6，把，把A点坐点坐标(2，0)代入代入 yx2bx6得得b1，二次函数的二次函数的表达式表达式为yx2x6.即即y顶点点D的坐的坐标为解解：(2)将二次函数的将二次函
3、数的图象沿象沿x轴向左向左平移个平移个单位位长度所得度所得图象象对应的函数的函数表达式表达式为y(x2)2令令y0，得，得(x2)20，解得解得x1，x2a0，当当y0时，x的取的取值范范围是是x2已知二次函数已知二次函数yax2bxc，当，当x1时，有最，有最大大值8，其，其图象的形状、开口方向与抛物象的形状、开口方向与抛物线y2x2相同，相同，则这个二次函数的个二次函数的表达式表达式是是()Ay2x2x3By2x24Cy2x24x8Dy2x24x6方法方法2利用利用顶点式求二次函数表达式点式求二次函数表达式D同类变式同类变式3已知某个二次函数的最大已知某个二次函数的最大值是是2，图象象顶点
4、在点在直直线yx1上，并且上，并且图象象经过点点(3，6)求求这个二次函数的表达式个二次函数的表达式4已知抛物已知抛物线与与x轴交于交于A(1，0)，B(4，0)两点，两点，与与y轴交于点交于点C，且，且ABBC，求此抛物，求此抛物线对应的的函数表达式函数表达式方法方法3利用交点式求二次函数表达式利用交点式求二次函数表达式由由A(1，0)，B(4，0)可知可知AB5，OB4.又又BCAB，BC5.在在RtBCO中，中，OCC点的坐点的坐标为(0，3)或或(0，3)设抛物抛物线对应的函数的函数表达式表达式为ya(x1)(x4)，将点，将点(0，3)的坐的坐标代入得代入得3a(01)(04)，解得
5、解得a解解：将点将点(0，3)的坐的坐标代入得代入得3a(01)(04)，解得解得a该抛物抛物线对应的函数的函数表达式表达式为y(x1)(x4)或或y(x1)(x4)，即即y x2x3或或yx2x3.若若给出抛物出抛物线与与x轴的交点坐的交点坐标或或对称称轴及抛物及抛物线与与x轴的两交点的两交点间的距离，通常可的距离，通常可设交点式求解交点式求解5【2015绥化化】把二次函数把二次函数y2x2的的图象向左平移象向左平移1个个单位位长度，再向下平移度，再向下平移2个个单位位长度，平移后度，平移后抛物抛物线的表达式是的表达式是_方法方法4利用平移式求二次函数表达式利用平移式求二次函数表达式y2x2
6、4x同类变式同类变式6已知已知yx2bxc的的图象向右平移象向右平移2个个单位位长度，再向下平移度，再向下平移3个个单位位长度，得到的度，得到的图象的象的表达式表达式为yx22x3.(1)b_，c_；(2)求原函数求原函数图象的象的顶点坐点坐标；(3)求两个求两个图象象顶点之点之间的距离的距离7如如图，已知抛物，已知抛物线yx2bxc的的对称称轴为直直线x1，且与，且与x轴的一个交点的一个交点为(3，0)，那么它，那么它对应的函数表达式是的函数表达式是_方法方法5利用利用对称称轴法求二次函数表达式法求二次函数表达式yx22x3同类变式同类变式8如如图所示，抛物所示，抛物线与与x轴交于交于A，B
7、两点，与两点，与y轴交于交于C点，点点，点A的坐的坐标为(2，0)，点，点C的坐的坐标为(0，3)，抛物，抛物线的的对称称轴是直是直线x(1)求抛物求抛物线的表达式；的表达式；(2)M是是线段段AB上的任意一点，上的任意一点，当当MBC为等腰三角形等腰三角形时，求点求点M的坐的坐标9已知抛物已知抛物线的的顶点坐点坐标为(2，4)，且与，且与x轴的的一个交点坐一个交点坐标为(1，0)，求抛物，求抛物线对应的函数的函数解解析式析式方法方法6灵活运用方法求二次函数的表达式灵活运用方法求二次函数的表达式方法一：方法一：设抛物抛物线对应的函数表达式的函数表达式为yax2bxc，由，由题意意抛物抛物线对应
8、的函数表达式的函数表达式为yx2x解解：方法二：方法二：设抛物抛物线对应的函数表达式的函数表达式为ya(x2)24，将点，将点(1，0)的坐的坐标代入得代入得0a(12)24，解得解得a抛物抛物线对应的函数表达式的函数表达式为y(x2)24.即即yx2x方法三：方法三：抛物抛物线的的顶点坐点坐标为(2，4)，与，与x轴的的一个交点坐一个交点坐标为(1，0)，抛物抛物线的的对称称轴为直直线x2，与，与x轴的另一个的另一个交点坐交点坐标为(5，0)设抛物抛物线对应的函数表达式的函数表达式为ya(x1)(x5)，将，将点点(2，4)的坐的坐标代入得代入得4a(21)(25)，解得解得a抛物抛物线对应
9、的函数表达式的函数表达式为y(x1)(x5)，即即yx2x本本题分分别运用了一般式、运用了一般式、顶点式、交点点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据要根据题目条件灵活目条件灵活选择方法，如本方法，如本题中，中，第一种方法列式第一种方法列式较复复杂，且，且计算量大，第二、算量大，第二、三种方法三种方法较简便，便，计算量小算量小2由函数图象中的信息求表达式由函数图象中的信息求表达式类型10如如图是某个二次函数的是某个二次函数的图象，根据象，根据图象可知，象可知，该二次函数的二次函数的表达式表达式是是()Ayx2x2Byx2x2Cyx2x1Dy
10、x2x2D同类变式同类变式11.【中考中考南京南京】某企某企业生生产并并销售某售某种种产品，假品，假设销售量与售量与产量相等量相等下下图中的折中的折线ABD、线段段CD分分别表表示示该产品每千克生品每千克生产成本成本y1(单位：位：元元)、销售价售价y2(单位：元位：元)与与产量量x(单位：位：kg)之之间的函数关系的函数关系.(1)请解解释图中点中点D的横坐的横坐标、纵坐坐标的的实际意意义；(2)求求线段段AB所表示的所表示的y1与与x之之间的函数的函数表达式表达式；(3)当当该产品品产量量为多少多少时，获得的利得的利润最大？最大利最大？最大利润是是多少？多少？3由表格信息求表达式由表格信息
11、求表达式类型12若若yax2bxc，则由表格中信息可知由表格中信息可知y与与x之之间的函数关系式是的函数关系式是()A.yx24x3Byx23x4Cyx23x3Dyx24x8Ax101ax21ax2bxc83同类变式同类变式13已知二次函数已知二次函数yax2bxc(a0)自自变量量x和函和函数数值y的部分的部分对应值如下表：如下表：则该二次函数的二次函数的表达式表达式为_x 101y 22 04几何应用中求二次函数的表达式几何应用中求二次函数的表达式类型【2016安安顺】某校校园内有一个大正方形花某校校园内有一个大正方形花坛，如，如图甲所示，甲所示，它由四个它由四个边长为3米的小正方形米的小
12、正方形组成，且每个小正方形的种植方成，且每个小正方形的种植方案相同案相同.其中的一个小正方形其中的一个小正方形ABCD如如图乙所示，乙所示，DG1米，米，AEAFx米，在五米，在五边形形EFBCG区域上种植花卉，区域上种植花卉，则大正方形花大正方形花坛种种植花卉的面植花卉的面积y与与x的函数的函数图象大致是象大致是() A14先求出先求出AEF和和DEG的面的面积，然后可得到五，然后可得到五边形形EFBCG的面的面积，继而可得而可得y与与x的函数的函数表达式表达式SAEFAEAFx2，SDEGDGDE1(3x)S五五边形形EFBCGS正方形正方形ABCDSAEFSDEG 9x2x2x则y42x
13、22x30.0AEAD，0x3，y2x22x30(0x3)故故选A.5 实际问题中求二次函数表达式实际问题中求二次函数表达式类型15.在美化校园的活在美化校园的活动中，某中，某兴趣小趣小组想借助如想借助如图所示的直角所示的直角墙角角(两两墙足足够长)，用，用28m长的的篱笆笆围成一个矩形花园成一个矩形花园ABCD(篱笆只笆只围AB，BC两两边)，设ABxm，花园的面，花园的面积为Sm2.(1)求求S与与x之之间的函数的函数表达式表达式；(2)若在若在P处有一棵有一棵树与与墙CD，AD的的距离分距离分别是是15m和和6m，要将，要将这棵棵树围在花园内在花园内(含含边界，不考界，不考虑树的粗的粗细)，求花园面，求花园面积的最大的最大值(1)ABxm，BC(28x)m.于是易得于是易得SABBCx(28x)x228x.即即Sx228x(0x28)(2)由由题意可知，意可知，解得解得6x13.由由(1)知，知，Sx228x(x14)2196.易知当易知当6x13时，S随随x的增大而增大，的增大而增大，当当x13时，S最大最大值195，即花园面即花园面积的最大的最大值为195m2.解：解：
