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1、第三节 函数极限的定义函数极限定义剖析函数极限定义剖析一、函数在有限点一、函数在有限点一、函数在有限点一、函数在有限点处处的极限的极限的极限的极限 在上在上节中，我中，我们讨论了数列的极限了数列的极限. 而我而我们又知道数又知道数列是一种特殊的函数列是一种特殊的函数定定义在正整数集上的函数在正整数集上的函数. 那那么一般函数的极限又么一般函数的极限又应该如何定如何定义呢？呢？这一一节我我们将全将全面引入函数极限的定面引入函数极限的定义.函数极限定义剖析函数极限定义剖析引例引例 设函数函数尽管函数在点尽管函数在点 处没有定没有定义，但当但当 无限无限趋近于近于1而不等于而不等于1时，相相应 无限
2、无限趋近于近于2.函数极限定义剖析函数极限定义剖析或或定定义 设函数函数 在点在点 的某个空心的某个空心邻域中有定域中有定义，如果存在常数如果存在常数 ，使得，使得对于任意于任意给定的正数定的正数 ，总存在存在正数正数 ， 对于于满足足 的一切的一切 ，都有，都有那么常数那么常数 就称作函数就称作函数 当当 时的的极限极限极限极限，记为函数极限定义剖析函数极限定义剖析函数极限函数极限 的几何意的几何意义 对于任意于任意 ，对满足足 的一切的一切 ，都有都有总存在正数存在正数 ， 函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例 函数函数 注注1：函数：函数 在点在点 处的极限与函数在的极限与函数在这一点是
3、否一点是否有有定定义、或、或 为多少毫无关系，它所反映的是多少毫无关系，它所反映的是 在在则有有该点附近的点附近的变化化趋势.函数极限定义剖析函数极限定义剖析经过不等式的不等式的变形，得到关系形，得到关系 注注2: 函数函数 在点在点 的极限的定的极限的定义说明了如何去明了如何去证明明其中其中 是一个与是一个与 无关的常量无关的常量. 再取再取 ，则当当函数函数 在点在点 的极限的极限为 的方法：的方法：对于于 考考虑 时，有：，有：函数极限定义剖析函数极限定义剖析此即此即说明明函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例1 证明下列极限明下列极限 证 因因所以所以, , 取取 ，当，当 时，可，可使
4、使 故故函数极限定义剖析函数极限定义剖析因因欲使欲使 即即所以所以 不妨取不妨取 此此时令令则当当 时，有，有因而因而函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例2 证明明 证 因因所以所以, , 取取 ，当，当 ，可，可使使 所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例3 证明明 证 因因为能解出不等式能解出不等式 ，要，要对 进行适当的控制，行适当的控制，为此限定此限定 的的变化范化范围为 ，此，此时有有所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，可使可使所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析证 因因例例4 证明明 取取 即即 所以所以所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，函数极限定义剖析函数极限定义
5、剖析所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析证 因因例例5 设 ，证明明 所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，可使可使所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析左右极限左右极限考考虑函数函数:是当是当 在在该点两点两侧趋近于近于 时，函数有一个确定的，函数有一个确定的变化化趋势. 但某种情况下，函数在两但某种情况下，函数在两侧的的趋势是不同的，是不同的，这就需要分就需要分别加以加以讨论. 前面前面讨论的是函数的是函数 在某一点在某一点 的极限，它反映的的极限，它反映的函数极限定义剖析函数极限定义剖析该函数在点函数在点 两两侧的的变化化趋势是不同的是不同的:当当 在在 0 的右的右侧趋近于近于
6、0 时，当当 在在 0 的左的左侧趋近于近于 0 时，这就就导出左右极限的概念出左右极限的概念.函数极限定义剖析函数极限定义剖析那么那么 称作称作 在在 处的左极限，的左极限，记为左极限定左极限定义：若：若 当当 时，使得使得那么那么 称作称作 在在 处的右极限，的右极限，记为右极限定右极限定义：若：若 当当 时，使得使得或或或或函数极限定义剖析函数极限定义剖析容易容易证明：明：例如：例如：定理定理 极限极限 存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是 在点在点 处的左右极限存在并且相等的左右极限存在并且相等. 即即 存在存在 均存在，且均存在，且函数极限定义剖析函数极限定义剖析解解 因因例例6
7、 说明极限明极限 不存在不存在. 所以极限所以极限 不存在不存在.函数极限定义剖析函数极限定义剖析二、函数在无二、函数在无穷远处的极限的极限定定义 设函数函数 在在 时有定有定义， 为常数常数.若若 ， ，当，当 时，使得，使得则 称称为函数函数 在在 时的极限，的极限，记为或或若若 ， ，当，当 时，使得，使得则 称称为函数函数 在在 时的极限，的极限，记为或或函数极限定义剖析函数极限定义剖析若若 ， ，当，当 时，使得，使得则 称称为函数函数 在在 时的极限，的极限，记为或或函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例7 证明明 证 因因所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，使得，使得所以所以函数
8、极限定义剖析函数极限定义剖析例例8 证明明 证 因因只要只要 ，即，即所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，使，使得得所以所以类似可似可证 函数极限定义剖析函数极限定义剖析证 因因例例9 证明明 所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，使得，使得所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析例例10 证明明 所以所以, , 取取 ，当，当 时 ，使，使得得证 因因当当 时，则有不等式有不等式函数极限定义剖析函数极限定义剖析所以所以函数极限定义剖析函数极限定义剖析三、极限的性三、极限的性质函数极限定义剖析函数极限定义剖析即：即： 在在 的某个空心的某个空心邻域内有界域内有界.定理定理1 (局部有界性局部
9、有界性)如果极限如果极限 存在存在 ，证 设 ，由定，由定义，对 存在存在当当 ，即，即 有有那么在那么在 的某个空心的某个空心邻域内，函数域内，函数 有界有界.函数极限定义剖析函数极限定义剖析证 设 ，由定，由定义，对 存在存在当当 时，有，有 从而从而定理定理 (有界性有界性)如果极限如果极限 存在存在 ，那么存在，那么存在取取 ，则对所有的所有的 ，有，有使得使得对所有的所有的 ，有，有函数极限定义剖析函数极限定义剖析定理定理定理定理2 (2 (极限的保号性极限的保号性极限的保号性极限的保号性)如果如果 ，则存在存在点点的某个空心的某个空心邻域内，使得在域内，使得在该邻域中有：域中有：证
10、 设 ，由定，由定义，对 存在存在当当 时，有，有函数极限定义剖析函数极限定义剖析定理定理定理定理2 (2 (保号性保号性保号性保号性)如果如果 ，则存在正整数存在正整数当当 时，有：，有：推推论 在在 的某个空心的某个空心领域中，有域中，有 且且则注意：如果推注意：如果推论的条件改成的条件改成 （严格大于），格大于），则不能推出不能推出 例如例如 时 但但函数极限定义剖析函数极限定义剖析证 设 ，则 当当 时，定理定理3(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)则此数列相此数列相应的函数的函数值数列数列 收收敛，且，且设 存在，又存在
11、，又设 是函数是函数 定定义域中域中的的一个任意数列，一个任意数列， 且且函数极限定义剖析函数极限定义剖析由条件由条件 故故对 ，当，当 时，有有 即即因而因而即即函数极限定义剖析函数极限定义剖析函数极限定义剖析函数极限定义剖析此定理的一个此定理的一个实际意意义是：是：使其函数使其函数值数列收数列收敛到两个不同的到两个不同的值，即，即如果能如果能够找到自找到自变量的两个不同子列量的两个不同子列则说明函数在明函数在这一点无极限一点无极限.函数极限定义剖析函数极限定义剖析所以所以 不存在不存在.例例 证明函数明函数 在在 时极限不存在极限不存在.证 令令则但但函数极限定义剖析函数极限定义剖析函数极限定义剖析函数极限定义剖析
