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1、微分中值定理：微分中值定理：函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态复习复习罗尔定理：罗尔定理：拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理：1二、其他未定式二、其他未定式 一、一、 型未定式型未定式第二节洛必达法则 第三三章 函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则2洛必达洛必达(1661 1704) 法国数学家法国数学家,出生于贵族，当过军官，因视力出生于贵族，当过军官，因视力不好退役了，他在不好退役了，他在15岁时就解决了帕斯卡提出的摆岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题线难题 ,以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出
2、的“ 最速降线最速降线 ” 问题问题 ,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲年出版了他的关于圆锥曲线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有无穷无穷小分析小分析 (1696),这是一本较系统的微积分书，并这是一本较系统的微积分书，并在该书中提出了求未定式极限的方法在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命后人将其命名为名为“ 洛必达法则洛必达法则 ”。3例如例如,定义：定义： 如果当如果当（或（或） 时，时，或或两个函数两个函数与与都都趋于零趋于零或或趋于无穷大趋于无穷大， 那么极限那么极限可能存在，可能存在，通常通常把把这种这种极限极限
3、称为称为也可能不存在，也可能不存在，型型未定式未定式.型型4存在存在 (或为或为 )定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则) 定义：定义：这种在一定条件下通过这种在一定条件下通过分子分母分别求导分子分母分别求导再再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.5( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯故故定理条件定理条件: 西定理条件西定理条件,存在存在 (或为或为 )6存在存在 (或为或为 )定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则) 推论推论1.
4、 定理定理 1 中中换为换为之一之一,推论推论 2. 若若条件条件,则则条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.7解解: 原式原式注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !例例1. 用罗比达法则时用罗比达法则时必须必须检验是否为未定式检验是否为未定式P136例例28解解: 原式原式 思考思考: 如何求如何求 ( n 为正整数为正整数) ?例例2.P136例例4 9解解:例例3.求求注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其但与其它求极限方法结合使用它求极限方法结合使用,效果更好效果更好
5、.常用的有等价无穷小常用的有等价无穷小代换代换,重要极限重要极限,变量代换变量代换,极限的运算法则等极限的运算法则等.P138例例1010例例4. 求求解解:尽量使用尽量使用无穷小的代换无穷小的代换和和重要极限，重要极限，说明：说明：可以可以简化简化计算计算.11定理定理 2.若若(洛必达法则洛必达法则)说明说明: 定理定理中中换为换为之一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改,定理仍然成定理仍然成立立.存在存在 (或为或为 )注意：注意：想用洛必达法则之前应先：想用洛必达法则之前应先：(1)检查极限的类型是否为检查极限的类型是否为(2)为使极限计算简单为使极限计算简单,应应结合以前的
6、方法结合以前的方法化简函数化简函数,如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.12解解: 原式原式例例5.例例6. 求求解解: 原式原式例例5、例、例6说明：说明：但它们趋于无穷大的但它们趋于无穷大的“快慢快慢”程度不一程度不一样样.指数函数最快指数函数最快,幂函数次之幂函数次之,对数函数最慢对数函数最慢.三者相比三者相比,P136例例5,613例例7.解解:P139 T1(8)则则 原式原式=解解:例例8. 求求非零因子要及时分离出来非零因子要及时分离出来14练习：练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是下列各式正确运用洛必达法则求极限的是( )15将其
7、它类型的未定式化为洛必达法则可解决的将其它类型的未定式化为洛必达法则可解决的关键关键:类型类型 例例9. 求求解解: 原式原式步骤步骤:或或二、其他未定式二、其他未定式:P137例例716步骤步骤:即即通分通分解解: 原式原式例例10. 求求例例11.解：解：P138例例817步骤步骤:用对数用对数恒等式恒等式例例12. 求求解解: 例例13.解：解：P138例例918解：解：例例14.P183T10(3)19注意：注意：1)条件充分但不必要条件充分但不必要.洛必达法则的使用是有条件的洛必达法则的使用是有条件的.例如例如,极限不存在也极限不存在也不是无穷大不是无穷大2)对有些极限失效对有些极限
8、失效(1)对对数列数列极限极限失效失效.对数列极限的未定式对数列极限的未定式,若想用洛必达法则若想用洛必达法则,应先用定理应先用定理:20不不存在存在时时失效失效.(3)有时有时出现循环，出现循环，这时罗比达法则这时罗比达法则失效失效.如：如：事实上：事实上：(4)有时会有时会越用越复杂越用越复杂,这时这时不必不必用罗比达法用罗比达法,则应先则应先用其它方法用其它方法.如：如：21洛必达法则洛必达法则适用于：适用于：内容小结内容小结温馨提示：温馨提示： 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,但与但与其它求极限方法结合使用其它求极限方法结合使用,效果更好效
9、果更好. 常用的有等价无常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换穷小代换、重要极限、变量代换,极限的运算法则等极限的运算法则等.22泰勒中值定理：泰勒中值定理：其中：其中：(1)第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理把把(1)式称为函数式称为函数(2)把把(2)式称为式称为23注意注意:3.余项：余项：叫叫Lagrange型余项型余项.叫皮亚诺叫皮亚诺(Peano) 余项余项.244.特例特例:(1)当当n=0时，时， 泰勒公式泰勒公式即为即为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.称为称为麦克劳林麦克劳
10、林( Maclaurin )公式公式 .则有则有(2)在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取 5.函数的函数的Taylor公式公式是函数无穷小的一种精细分析是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将也是在无穷小邻域将超越运算超越运算转化为转化为整幂运算整幂运算的手段的手段,从而可将从而可将无理或超越函数无理或超越函数的运算转化为的运算转化为有理式有理式的运算的运算,大大简化计算大大简化计算.25解解:代入公式代入公式,得得:由此可知：由此可知：P142例例126其中：其中：2.麦克劳林公式麦克劳林公式作业作业:P139 1(5) (7) (9) (12) (13) (16); P182 10(2). 预习预习:P145-153请记住以下两个公式：请记住以下两个公式：思考：思考：P139 T 2,3,4.27
