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1、第一章第一章习题二习题二重要极限与极限存在准则重要极限与极限存在准则无穷小的比较无穷小的比较一一. .选选择题择题1limsin(ene1n2n2)n1nn（A）（A）0；（B）1；（C）1；（D）2lim(1)kn e3，则k （C）n（A）；（B）；（C）；（D）xn为数列，3 设函数f (x)在(,)上单调有界，则以下选项正确的是 （ B）2n32233223（A）若xn收敛，则f (xn)收敛（B）若xn单调，则f (xn)收敛（C）若f (xn)收敛，则xn收敛（D）若f (xn)单调，则xn收敛4当x 0时，x2 2( 1 x 1)是x的（D）（A）高阶无穷小； （B）同阶但不等价
2、无穷小； （C）低阶无穷小； （D）等价无穷小1 2n23n31 2n23n35当n 时，是的（C）1 n41 n5（A）高阶无穷小； （B）同阶但不等价无穷小； （C）低阶无穷小； （D）等价无穷小6当x 0时，下列结论正确的是（D）（A）ln(1 x2) x2；（B）1 2x 1 x；（C）1e2x 2x；（D）ln(1sin x) x7当x 0时，与x等价的无穷小是（B）（A）1ex（B）ln二填空题二填空题1 x（C）1x 1（D）1cosx1xsin(x22x1)x01设x 0，则lim2 tannx2limx1_n_x23x22n3lim(xx cx11) 4，则c ln44lim
3、(xsinsin x) 1x0_x 2cxx12lncosaxa2x2.5lim6lim0x0lncosbxx0sin2x_bx2sin_7limx03x11arctan x_124138limx0x2_1cosx9若x 0时，(1ax ) 1与xsin x是等价无穷小，则a 4。_10当x 0时，sin2x 2sin x是x的 k 阶无穷小量,k= 311设当x 0时，(1cos x)ln(1 x2)是比xsin(xn)更高阶的无穷小，而xsin(xn)是比ex1更高阶的无穷小。则正整数n _2。2三计算题三计算题n( )n ( )n1求limn2332解：3n2n3323( ) ( )nn
4、( )2n1 n2，且lim n 21，n232232233limn( )n ( )nn3223 2n( )n ( )n limn( )2n1lim( )2n1另解：limnn2n3232323321nnlim322求lim(n解：且limn11n 1n 21n 21n 1nn n222L 1n 221n nL 2)1n n1n 122n nnn 1221n 112n1n n2 limn1，所以lim(nn 22L )112nnn 3求lim(2n2n 2n)nn 1n 2n nn 112nnn n n n n21n2 nnnnnn解：2 n222， 2 n2n 1n 1n 1n 2n nn
5、nn2n12nn n n 22n 1n nnn n) 1 lim1且lim，lim(nn21nn2 nnn21n22n2 ntan x sin x14已知lim，求常数ppx02xn x2x3解： tan x sin x tan x(1cosx) x，225求lim(1 x)tanx1u1x1tan x sin x13p，从而p 3 limlimxpx0x022x2x解：原式 limutan(u) limucotu lim2u02u22u02u0sin2u2cosu 21x)sin x6求lim(cosx02解：原式112 lim(cos2x)2sinx0x lim(1sin2x)2sinx0
6、2x lim(1sin2x)x01 sin2x1sin2x12sin2x e127求xlim (sin cos)x解：原式lim (sinu cosu)u00u1/ x1/u1x1x lim 1 (sinu cosu 1)u001sinucosu1sinucosu1u eu00limsinucosu1u eu00limsinu1cosu limuu00u e10 e1 2cosx1x() 18求limx0x31 2cosxe) 1 lim3x01x12cosxln()x3解：lim(x0x1ln( limx0x2cosx)cosx113 lim x0x23x269求极限limln(1 ean)
7、ln(1)，其中a、b为常数，且a 0n解：当b 0时，原式 limln(1ean)ln(10) lim0 0；nbnn当b 0时，原式 limlnean(1 ean)ln(1) liman ln(1 ean) nn ab limln(1 ean)limnbnbnb abnn10求极限limx0ln(1 2x)(tan x sin x)x22(e 1) sin(x )12x xx22xtan x(1cosx)2解：原式 lim lim 1224x0x0x xx11已知limx01 f (x) 1x2 3，求常数a、 b，使得当x 0时，函数f (x) axb1f (x)1 f (x) 1axb
8、2解： 由已知可得lim f (x) 0 于是，3 lim lim lim222x0x0x0x02xxx， 得a 6，b 212若limx0sin x(cosxb) 5，求a,bxe asin x(cosxb) 5。所以limexa 0，xx0e a解：因为limsin x(cosxb) 0(1b) 0，而limx0x0由此可知a 1，代入条件可得5 limx0sin x(cosxb) 1b，于是b 4。xe a3xax2bx1 2，求a,b。13已知xlim3t2bt a1 2。因为在此过程中，分母t为无穷小，解：设t ，则原式 limt0txt2bt a) 0，由此可知a 9。所以分子3
9、t2bt a也是无穷小，即lim(3t03t2bt 9t2btt b2 lim lim lim，由此可知b 12。2t0t0t0t6t(3t bt 9)lim14 设f (x)是三次多项式， 且有：x2af (x)f (x)f (x) lim1，lim其中求。a 0，x3ax3ax2ax4ax4a解：由无穷小的性质，可知：f (2a) f (4a) 0。又因为f (x)是三次多项式，所以f (x)的 因 式 分 解 中 包 含x2a和x4a两 个 因 子 。 因 此 ， 可设f (x) A(x2a)(x4a)(xb)，代入已知条件，可解得：A 1,b 3a。所以2a2f (x)1 x3ax3a
10、2lim四、证明题四、证明题1设数列x12，xn1xn 2试证limxn存在，并且求limxnnn证：利用数学归纳法易知，0 xn 2，xn1 xn，数列xn单调增加且有界，故limxn存在n22记limxn A由xn1xn 2可知xn1 xn 2 0令n 得A A2 0，解得nA 1或A 2又由xn 0可知A 0，limxn 2n2设数列：xn1(xn12a)，其中a 0，x1 0。试证limxn存在，并且求limxnnnxn12a) a。xn1证明：因为a 0，x1 0，由数学归纳法易证xn 0。因此xn(xn1于是，xn11a(12) 1。至此，证明了xn单调递减且有下界，所以limxn
11、存在。nxn2xn1an2AP(x) x3P(x)32P(x) x 2x x 2lim13 设P(x)是多项式函数， 且lim， 证明：2xx0xx下设limxn A，由递推公式知：A (A)，解得A a。P(x) x33P(x) x 2证：由lim可知，为二次多项式，且二次项系数为2，故可2xx设P(x) x3 2x2 ax b，即P(x) x3 2x2 ax bP(x)又 由limx0xx3 2x2 ax blimx0xblim(x2 2x a ) x0xa limb1， 得x0xa 1,b 0，所以P(x) x3 2x2 x证毕4设当x 时，有(x) o(1)，(x) o(1)，且当| x|充分大时有(x) 0试(x)1/(x)(x)，(x) (x)，则有lim1(x)1/(x)lim1证：若(x) xxln1(x)证：lim1(x)1/(x)1/(x)xlimxeln1(x) lim(x)xelimln1(x)(x)(x) ex(limln1(x)x) exlim(x) exlim(x) ex( x) lim(x)x1(x)1/证毕
