《2.2.2反证法 (4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.2.2反证法 (4)（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 2.2.2 反证法反证法常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：等于等于大于大于是是 都是都是任意的任意的不等于不等于不大于不大于不是不是不都是不都是某个某个常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有一个至少有三个至少有三个至少有至少有n个个最多有一个最多有一个一个也没有一个也没有至多有两个至多有两个至多有至多有(n-1)个个至少有两个至少有两个1133nn11思考？思考？ A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定是在撒谎，为必定是在撒谎
2、，为什么？什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 这与这与B B假矛盾假矛盾. .那么假设那么假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立; ;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. . 先假设先假设结论的反面是正确的结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，然后通过逻辑推理，推出推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾矛盾，说明说明假设不成立假设不成立，从而得到，从而得到原结论正确原结论正确。 这种证明方法就是这种证明方法就是- 把这种不是直接从原
3、命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法。 一般地，假设一般地，假设原命题不成立原命题不成立（即在原命题（即在原命题的条件下，结论不成立），的条件下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后最后得出矛盾得出矛盾。因此说明。因此说明假设错误假设错误，从而证明，从而证明了了原命题成立原命题成立，这样的证明方法叫做，这样的证明方法叫做反证法反证法。一、探究定义一、探究定义否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论肯定结论即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬
4、存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。 归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾矛盾；二二、探究、探究反证法的证明过程反证法的证明过程归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与假设矛盾或自相矛盾）与假设矛盾或自相矛盾; ;（3 3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾）与已有公理、定理、定义、事实矛盾. .反证法的思维方法：正难则反证明：在一个三角形中至少证明：在一个三角形中至少 有一个角不小
5、于有一个角不小于60.引例引例已知：已知： A， B， C是是 ABC的内角的内角.求证：求证： A， B， C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60已知：已知： A， B， C是是 ABC的内角的内角.求证求证： A， B， C中至少有一个不小于中至少有一个不小于60证明：证明：证明：证明： 假设假设假设假设 的三个内角的三个内角的三个内角的三个内角 A A， B B， C C都小于都小于都小于都小于6060 ，所以所以所以所以 A A 6060 ，B B 60 60 ， C C 6060 A+A+ B+B+ C180C180 这与这与这与这与 相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾. .三角形内角和
6、等于三角形内角和等于180180 不能成立，所求证的结论成立不能成立，所求证的结论成立.假设假设证明证明: 假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以否定要全面否定要全面所以假设错误，故所以假设错误，故成立成立注：注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。典例剖析典例剖析（1）直接证明有困难）直接证明有困难正难则反正难则反!归纳总结：归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武
7、器之一反证法是数学家最精当的武器之一” （3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题）至多，至少型命题准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )是非常重要的是非常重要的五、全课总结五、全课总结1 1、知识小结：、知识小结： 反证法证明的思路：反证法证明的思路：假设命题的结假设命题的结论不成立论不成立正确的推理正确的推理, ,得出矛盾得出矛盾否定否定假设，肯定待证明的命题假设，肯定待证明的命题2 2、难点提示、难点提示: : 利用反证法证明命题时利用反证法证明命题时, ,一定要准一定要准确而全面的找出命题结论的反面。确而全面的找出命题结论的反面。“至至少少”的反面是的反面是“没有没有”，“最多最多”的反的反面是面是“不止不止”。
