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1、数学必修数学必修4 4 第二章平面向量第二章平面向量向量的加法运算向量的加法运算: OAB三角形法则三角形法则OABC平行四边形法则平行四边形法则温故知新温故知新 数的运算数的运算a + a + a =3a类比类比OACB 类比NMQP 数的运算数的运算( a)+( a)+( a)= 3a1. 实数与向量的积实数与向量的积注注1 实数与向量的积实数与向量的积 仍是一个向量仍是一个向量.注注2 求实数与向量的积的运算叫做向量的数乘求实数与向量的积的运算叫做向量的数乘. 定义定义:实数实数 与向量与向量 的积是一个向量，的积是一个向量，记作记作 ，它的长度与方向规定如下：，它的长度与方向规定如下：
2、（1 1）（2 2）当）当 0时时, 与与 同向同向; 0时时, 与与 反向反向； 当当=0时时,当数乘运算与向量的加法、减法以及它们的数乘运算与向量的加法、减法以及它们的混合运算称为向量的线性运算。混合运算称为向量的线性运算。向量数乘运算的几何意义：向量数乘运算的几何意义：把向量把向量 沿沿 的方向或的方向或 的反方向放大或的反方向放大或缩小。缩小。=(1) (1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量2(3 )2(3 )和和和和6 6 ( ( 为非零向量为非零向量为非零向量为非零向量) )，并进行比较。并进行比较。并进行比较。并进行比较。(2) (2)
3、求作向量求作向量求作向量求作向量5 5 和和和和2 2 + +3 3 ，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。(3) (3) 已知向量已知向量已知向量已知向量 , , ，求作向量，求作向量，求作向量，求作向量2(2( + + ) )和和和和2 2 + +2 2 ，并进行，并进行，并进行，并进行比较。比较。比较。比较。2运算律：运算律：设设 为任意向量为任意向量, , 为任意实数为任意实数, 则则例例1 计算：计算：口答口答:规律方法总结：规律方法总结：向量的线性运算类似于代数中多向量的线性运算类似于代数中多项式的运算，实数运算中的去括项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同
4、类项、提取公号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算因式等变形手段在向量线性运算中同样适用。中同样适用。练习练习: :课本课本9090页练习页练习5 5问题问题1 1：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？与两直线平行有什么异同？问题问题2 2：对于：对于 ，如果有一个实数，如果有一个实数，使，使 那么由向量数乘的定义，知那么由向量数乘的定义，知 与与 具有怎样的位置关具有怎样的位置关系？系？问题问题3 3：已知向量：已知向量 与
5、与 共线，且向量共线，且向量 的长度的长度是向量是向量 的长度的的长度的 倍，即倍，即 ，那么当，那么当 与与 同方同方向时，有向时，有 =，当，当 与与 反方向时，有反方向时，有 =。 思考思考2 此定理中的此定理中的能否去掉？能否去掉？此定理对此定理对成立否？成立否？思考思考1成立成立!不能！不能！定理：定理：向量向量 与非零向量与非零向量 共线，当且仅共线，当且仅当有唯一一个实数当有唯一一个实数 ，使，使3向量的共线定理：向量的共线定理：例例2 如图，已知如图，已知试判断试判断是否共线是否共线.ACBED是否共线是否共线,分析分析:判断判断也就是要判断是否存在唯一的也就是要判断是否存在唯
6、一的实数实数 ,考虑到已知给出的是考虑到已知给出的是之间的关系之间的关系,因此要想得出因此要想得出就必须用就必须用将将表示出来表示出来.解解:思考：思考：如何用向量知识证明三点共线如何用向量知识证明三点共线?引申：引申：此结论能否说明此结论能否说明A,C,E三点共线三点共线?例例2 如图，已知如图，已知试判断试判断是否共线是否共线.ACBED总结总结:练习：课本90页练习4归纳小结归纳小结 1. 1. 实数实数 与向量与向量 的积还是一个向量的积还是一个向量, , 与与 是共线的是共线的 2.2. 运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算 多项式一样去合并同
7、类项多项式一样去合并同类项直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD 3.3.定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用：（1 1）证明）证明）证明）证明 向量共线向量共线向量共线向量共线（2 2）证明）证明）证明）证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BCBC A,B,C A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线（3 3）证明）证明）证明）证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上作业：作业：课本习题课本习题2.2A2.2A组组9 91313 练习：设练习：设 是未知向量，解方程是未知向量，解方程 分析：分析：本题中所求的未知量是一个向量，本题中所求的未知量是一个向量，所以本题属于解向量方程的问题，向量方程所以本题属于解向量方程的问题，向量方程的解法和数量方程的解法是相同的，的解法和数量方程的解法是相同的，体现了体现了数学中的方程思想。数学中的方程思想。解：解：原方程化为：原方程化为： ., 21为两个不平行向量设练习ee
