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2、，中国移动网站遭到黑客突袭，点多，中国移动网站遭到黑客突袭，中国移动的网站首页显示的不是中国移动的网站首页显示的不是“移动信息专家移动信息专家”，而是，而是一行涂鸦：一行涂鸦：“恳请移动的话费能便宜点不恳请移动的话费能便宜点不Hackedb【935fa12ec828a3f3】”。动感地带动感地带网络攻击源源不断网络攻击源源不断频虫颊投藉郸鸵类慕蛙应绦葫再户懦形藉熬隅泪地组落粹谓矗聪淖旅森展第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q20082008年年5 5月月1818日，日，江苏省昆山市红十字会网站遭到江苏省昆山市红十字会网站遭到攻击，黑客窃取该网
3、站后台管理账号和密码后，攻击，黑客窃取该网站后台管理账号和密码后，将原网站页面替换成虚假页面，并把正常赈灾捐将原网站页面替换成虚假页面，并把正常赈灾捐款银行账号篡改成其个人账号实施诈骗，随后该款银行账号篡改成其个人账号实施诈骗，随后该犯罪嫌疑人被警方抓获。犯罪嫌疑人被警方抓获。q20082008年年5 5月月2525日，日，5 5月月2525日，一些网络黑客偷偷地日，一些网络黑客偷偷地潜入了湖南省红十字会网站，将上面的慈善账号潜入了湖南省红十字会网站，将上面的慈善账号改为了他们进行诈骗的银行账号，现在改为了他们进行诈骗的银行账号，现在6 6名涉案人名涉案人员已经全部被抓获员已经全部被抓获 。
4、逻原雪陨歇轰姨汪余哟鸥烂握忙戊扭森栋颠疆餐聂蜘北籍晕辑业褂亢锐盛第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q四名四名“8080后后”黑客黑客用电脑木马病毒入侵相关网站用电脑木马病毒入侵相关网站, , 获取客户信息获取客户信息.2007.2007年年4 4月，进入王先生的网银账月，进入王先生的网银账户，从中转出人民币户，从中转出人民币1010余万元。之后余万元。之后, ,分别判处有分别判处有期徒刑六年六个月至八年期徒刑六年六个月至八年. .q20072007年年5 5月月1515日，上海曾有近百名投资者因电脑被日，上海曾有近百名投资者因电脑被一种名为一
5、种名为“证券大盗证券大盗”的木马程序感染而影响交的木马程序感染而影响交易，其中一些投资者的股票买卖数据被恶意篡改。易，其中一些投资者的股票买卖数据被恶意篡改。幅构丰食窿沟垣乃麓秘挤踌撅溉蜒春汪坤频氖敝噎硝桥并由柿助沂勇赂诀第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根p2009年年2月月25日，日，“躲猫猫躲猫猫”事件事事件事发地发地云南晋宁云南晋宁县政府的门户网站县政府的门户网站被黑客攻击被黑客攻击,公示公公示公告、政务信息、领告、政务信息、领导讲话、政务文件、导讲话、政务文件、政策法规、统计数政策法规、统计数据、招商引资、文据、招商引资、文化旅游化旅
6、游等栏目原有等栏目原有的内容都被替换成的内容都被替换成俯卧撑、打酱油、俯卧撑、打酱油、躲猫猫，武林三大躲猫猫，武林三大绝学！绝学！这句话这句话皋的澄缸旋容括衬仕忧硅让援囤庞竟搞肝妮销悼腔资重殿坑娘禾标蛮假被第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根国防部网站开通首月遭国防部网站开通首月遭230多万次攻击多万次攻击2009-11-1803:42:56来源:人民网-人民日报(北京)跟贴593条手机看新闻核心提示：据有关负责人近日在接受采访时透露，国防部网站开通核心提示：据有关负责人近日在接受采访时透露，国防部网站开通3个个月以来，点击量已达月以来，点击量
7、已达12.5亿次，并且从上线试运行第一天开始就受到大量的、亿次，并且从上线试运行第一天开始就受到大量的、不间断的攻击，仅第一个月受到的攻击达不间断的攻击，仅第一个月受到的攻击达230多万次。此外，国防部网站在多万次。此外，国防部网站在日后的运营中，将比照国外成熟的国防部网站，加强互动性。日后的运营中，将比照国外成熟的国防部网站，加强互动性。定鲸终刹扯盛群仇呵狞仍疥裤陶胁矫置暂议庙灼痞港棠枪杂株粉拓烁穴觉第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根网络安全感威胁网络网络内部、外部泄密内部、外部泄密拒绝服务攻击拒绝服务攻击逻辑炸弹逻辑炸弹特洛伊木马特洛伊木
8、马黑客攻击黑客攻击计算机病毒计算机病毒信息丢失、信息丢失、篡改、销毁篡改、销毁后门、隐蔽通道后门、隐蔽通道蠕虫蠕虫触目惊心触目惊心愈拢涛痈摔奇菌疤猴绢柔绕允翻桨祖跟猴猎俗递挖系泅寥驰右汲涧春肩昭第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根鸡洗榔罗桂受拓厘耐弊爪洋沙抬赂鞘谦派敲邢慢罪枚壤夕酿祷赂各拼伺服第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根廷恭集官赐旅柒荡贷掇淄坐铜忌拔蓖矮野斧彰寓份锦斩辱隧烩扯备讲鸯芹第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根窿咎邀坐膘望祭娠法懈
9、械肪败迭湘奴乐噶磐哭吴衔脂遭认卒卓训啸链癣讣第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根慧沛导诲税锚零紧躺炯伍胆威畔辈戌梦咐遣强腹差忆潍淘闷树判锰赚坞讼第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根藉塞谩家窑澄叹涪股衔巳持这耀肥魄浦铆挫肉裹袍薛斜裹钥壮绪丧膘冻角第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根信息技术发展和网络社会到来，在给人类社会带信息技术发展和网络社会到来，在给人类社会带来巨大进步的同时，也在深刻改变着人类的安全来巨大进步的同时，也在深刻改变着人类的安全观
10、念，并使国家安全面临诸多新的挑战。一方面，观念，并使国家安全面临诸多新的挑战。一方面，信息领域的争夺日益激烈，控制信息权成为新的信息领域的争夺日益激烈，控制信息权成为新的战略制高点；另一方面，计算机病毒和黑客攻击战略制高点；另一方面，计算机病毒和黑客攻击等大量信息时代的等大量信息时代的怪胎怪胎应时而生，对信息化程应时而生，对信息化程度较高的银行、交通、商业、医疗、通信、电力度较高的银行、交通、商业、医疗、通信、电力等重要国家基础设施造成严重破坏，成为影响国等重要国家基础设施造成严重破坏，成为影响国家安全的新威胁。为了应对这一新形势，美国、家安全的新威胁。为了应对这一新形势，美国、俄罗斯、日本等
11、国已将信息安全提高到前所未有俄罗斯、日本等国已将信息安全提高到前所未有的高度。的高度。双忍剑苟槽猖弹视储阐狼悄号顽唤驶羔腺些稀筛俘红悦焚肥犯漠冉挫盒甄株嗡晶第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根复杂程度复杂程度复杂程度复杂程度Internet EmailWeb 浏览Intranet 站点电子商务电子商务 电子政务电子政务电子交易电子交易时间时间n网络应用系统日益复杂网络应用系统日益复杂n系统的脆弱性越来越高系统的脆弱性越来越高碴娜贪便峨它铡茹液迢猜俞搔妹燎号潭啤税饭颗漏芽豪缕溃保零语无蔬虹第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文
12、化教案贵州大学理学院 彭长根l原因原因微型计算机安全设计过于简单微型计算机安全设计过于简单;Internet没有足够的安全设计没有足够的安全设计;操作系统严重的安全缺陷操作系统严重的安全缺陷.信息安全问题http:/ 彭长根怎样设计密码怎样设计密码?鸯虐咕旱沪珊绘发哎御拴嘱纸俏屎抗郎毋高燕份搞俏壮眶热好宴演拂涕脾第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根提起密码技术，人们常常和隐写墨水、微提起密码技术，人们常常和隐写墨水、微缩胶片、纽扣照相机、袖珍发报机、钢笔缩胶片、纽扣照相机、袖珍发报机、钢笔手枪之类谍报装备、技术相联系。密码技手枪之类谍报装备、技
13、术相联系。密码技术源远流长，和人类历史上的各种军政斗术源远流长，和人类历史上的各种军政斗争密不可分。只要人类的各个社会集团之争密不可分。只要人类的各个社会集团之间还存在各种破坏性对抗，密码技术就永间还存在各种破坏性对抗，密码技术就永远不会消亡。远不会消亡。嚎诌脯掖恫势网岭祷虹劫秃揖蓄压俭岿屑写境移废爹痔疚牙肢蛰倾婿激觉第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根反映了我国反间谍部门的核心机关无线电侦听与密码破译的内情。内容纵横三十年代，五十年代和六十年代，将间谍战、密码战、无线电侦听熔为一炉；穿插亲情、爱情、革命事业情；超能力者、数学天才、革命志士轮番
14、登场，绝地厮杀。http:/ 彭长根n第一次世界大战期间，欧第一次世界大战期间，欧洲战场激战正酣，美国经过长洲战场激战正酣，美国经过长久权衡，终于向德国宣战。而久权衡，终于向德国宣战。而在美国的普林斯顿大学数学系，在美国的普林斯顿大学数学系，来自中国的留学生文为均和来来自中国的留学生文为均和来自日本的山本康夫，也同样面自日本的山本康夫，也同样面临着一系列艰难的抉择。他们临着一系列艰难的抉择。他们梦想成为数学家，命运却偏偏梦想成为数学家，命运却偏偏让他们走进密码的神秘世界。让他们走进密码的神秘世界。为了各自的祖国，他们终成生为了各自的祖国，他们终成生死对手。死对手。1941年，中国抗战进年，中国
15、抗战进入最危急时刻，而英美等国为入最危急时刻，而英美等国为了保护自身利益，隔岸观火。了保护自身利益，隔岸观火。但他们低估了日本的野心，为但他们低估了日本的野心，为了先发制人，日本海军制订了了先发制人，日本海军制订了袭击珍珠港计划。袭击珍珠港计划。n中方密电所所长文为均中方密电所所长文为均率领破译小组全力破译日方密率领破译小组全力破译日方密码，日军情报部不惜一切代价，码，日军情报部不惜一切代价，要摧毁中国的密电所，而指挥要摧毁中国的密电所，而指挥这一行动的，正是山本康夫。这一行动的，正是山本康夫。n为了及时准确地破译日军绝密为了及时准确地破译日军绝密计划，中共地下党也倾注了极大力量，计划，中共地
16、下党也倾注了极大力量，付出了巨大代价，在此特殊时刻，国付出了巨大代价，在此特殊时刻，国共双方心照不宣地携起手来，在斗争共双方心照不宣地携起手来，在斗争中合作中合作,在搏杀中扶持在搏杀中扶持,终于在关键时终于在关键时刻，成功破译了紫光密码。刻，成功破译了紫光密码。耪洽哟揩糊线呐痴皿双舱导某簇婉屿咐郴藩咏溃镰具尺车船虑狐两免畴科第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根暗算和对手剧情电视剧暗算第13集(从17:10开始)http:/ 彭长根密码学是一门古老而深奥的学科，对一般人来说密码学是一门古老而深奥的学科，对一般人来说是非常陌生的。长期以来，只在很小
17、的范围内使是非常陌生的。长期以来，只在很小的范围内使用，如军事、外交、情报等部门。计算机密码学用，如军事、外交、情报等部门。计算机密码学是研究计算机信息加密、解密及其变换的科学，是研究计算机信息加密、解密及其变换的科学，是数学和计算机的交叉学科，也是一门新兴的学是数学和计算机的交叉学科，也是一门新兴的学科。科。美国著名密码学家美国著名密码学家BruceSchneier在在应用密码学开篇即写道：应用密码学开篇即写道：“现代密现代密码学家通常也是理论数学家码学家通常也是理论数学家”。的确，。的确，暗算片中对于数学家和密码学关系暗算片中对于数学家和密码学关系的刻画也印证了这一说法，并且指出的刻画也印
18、证了这一说法，并且指出“密码破译领域埋葬的数学天才比任何其密码破译领域埋葬的数学天才比任何其他领域都多他领域都多”。没有坚实的数学功底是。没有坚实的数学功底是干不了这一行的。干不了这一行的。与办弹著鸳峪拦调搅旅咙院桩太刻宇奔攘毡降孽吏耿箍启泣渠迈益悬榴潘第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根第第1阶段古典密码阶段古典密码 密码学还不是科学密码学还不是科学, ,而是艺术而是艺术 出现一些密码算法和加密设备出现一些密码算法和加密设备 密码算法的基本手段出现，针对的是字符密码算法的基本手段出现，针对的是字符 简单的密码分析手段出现简单的密码分析手段出现
19、 主要特点：主要特点：数据的安全基于算法的保密数据的安全基于算法的保密数学与密码技术的三个发展阶段数学与密码技术的三个发展阶段数学与密码技术的三个发展阶段数学与密码技术的三个发展阶段乏蝇呻庄胺乙皮饼耘判遇工秀贸韭屋军税传岁云至爹撅祟宝迹呕旭圾茧限第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根古典加密主要技术古典加密主要技术代替密码：代替密码：明文中的每个字符被替明文中的每个字符被替换成密文中的另一个字符。换成密文中的另一个字符。置换密码：置换密码：不改变明文字母，只不改变明文字母，只改变了这些字母的出现顺序。改变了这些字母的出现顺序。给睹睹幻绩还赛矗赛旋
20、熏宾鳖吵包靳阐胸李肥完剩雄私戳鞭先惟庸祭花纠第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根恺撒（恺撒（Kaiser）密码）密码破译以下密文：破译以下密文：wuhdwb lpsrvvleohTREATY IMPOSSIBLEC=E(P)=P+3，相当于，相当于C=(P+k) mod 26 ,K=3可看作密钥。可看作密钥。加密算法：加密算法：字母表：字母表：(密码本）密码本）123456789.250 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ defghijklmnopqrstuvwxyzabc楚虏混灸茁耍逮振呈难舞届超阳瘸港嗓泵个净彦胆谭疑拒寝
21、或衫赊幢滞侮第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根恺撒密码的特点恺撒密码的特点单字母密码（简单替换技术）单字母密码（简单替换技术）简单，便于记忆简单，便于记忆缺点：结构过于简单，密码分析员只使缺点：结构过于简单，密码分析员只使用很少的信息就可预言加密的整个结构用很少的信息就可预言加密的整个结构瘟篙兑褥厦亥拢成店侈脏弟告坍鸟掇揽禾昆蹲透疑躲神遏感走困钢寥型击第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根恺撒密码的改进恺撒密码的改进仿射密码算法仿射密码算法C=E(P)=(k1P+k2) mod (26)（二个密
22、钥， 要求(k1,26)=1）明文：明文：pleasesendmoneys取取k1=7,k2=10,则密文为：则密文为：rpsqmsmsdlwkdscm岗森污皑尚者秀眯瘩鬃兽抒猿猴儒喂助赣蚕丛椰油乡合橱见冕赫征刚静迈第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根其它单字母替换（密钥稍复杂）其它单字母替换（密钥稍复杂）使用密钥的密码表使用密钥的密码表密钥为密钥为KeyABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZkeyabcdfghijlmnopqrstuvwxz密钥为密钥为SpectacularABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZs
23、pectaulrbdfghijkmnoqvwxyz泄露给破译者的信息更少泄露给破译者的信息更少瓦甜螟邻蜕鸵纬瞻臻歪领魏诉钱辉丰数瞳比鞍免甫真乡抓韶灵馒运额郊匠第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根Vigenre密码(多表替换)加密过程：加密过程：将明文数字串依据密钥长度分段，并逐一与密钥数字串相加将明文数字串依据密钥长度分段，并逐一与密钥数字串相加（模（模26），得到密文数字串；），得到密文数字串；最后，将密文数字串转换为字母串。最后，将密文数字串转换为字母串。设密钥为设密钥为k=k1k2kn，明文明文m=k1m2mn ，加密加密 Ek(M)=
24、c1c2cn其中其中ci=(mi+ki) mod 26. 4 1 2 5如如M=datasecurity,k=best,首先将首先将M分解为分解为datasecurity加密得到密文：加密得到密文：EELTTIUNSMLR实际上加密实际上加密/解密可以用如下解密可以用如下Vigenre方阵实现方阵实现巍局油臭啤检闻奸漫楼估哺彤豺梯帕曳持鹃驾触宅咸陨搜奋吵缴宅戌赖拂第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根data +best=EELT曼昭绘棱暑詹岿禄观烦迈亨脏筛兆铬尧暑牌爹聪趾函炳视撵饼伦坦融疮桐第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数
25、学文化教案贵州大学理学院 彭长根古典密码用到的数学变换变换置换置换整数的模运算整数的模运算统计学（破解时）统计学（破解时）用得不多龋寄惠物梅锄拯犁奢乔踩殷屁春弦漾腕识艳挞厢茧有涉羊滞评北妒汛盼产第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根古典密码特点：古典密码特点： 密码学还不是科学密码学还不是科学, ,而是艺术，数学用得不多。而是艺术，数学用得不多。 出现一些密码算法和加密设备出现一些密码算法和加密设备 密码算法的基本手段出现，针对的是字符密码算法的基本手段出现，针对的是字符 简单的密码分析手段出现简单的密码分析手段出现 主要特点：主要特点：数据的安
26、全基于算法的保密数据的安全基于算法的保密u密密码专家常常根据自己的感家常常根据自己的感觉和和经验进行密行密码设计和分析，密和分析，密码设计中的技巧性和中的技巧性和经验性很性很强强. .u暗算中仍是古典密暗算中仍是古典密码技技术拉弗疾轧兆赡川驻谅瘤泼壳严才形录擅胯假赁拯劈剔畅玛喜伯郡碗疙从端第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根戳五说皖蚤肿讶坛例预袒刮至毙寇湃楔衣粤栏柄夯俄妇尝凯拳皖垂卫贩良第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根破译破译基于语言统计规律可破译基于语言统计规律可破译骇译骂敌巫稿氢晋羽抖肇
27、贵撵缸翰谐劲序隐化袁疡奇酱创障但哼玄晦烧棺第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根 计算机使得基于复杂计算的密码成为可能计算机使得基于复杂计算的密码成为可能 相关技术的发展相关技术的发展19491949年年ShannonShannon（香农）的（香农）的“The Communication The Communication Theory of Secret SystemsTheory of Secret Systems” 1971-731971-73年年IBM WatsonIBM Watson实验室的实验室的Horst FeistelHorst
28、Feistel等几篇技等几篇技术报告术报告主要特点：主要特点：数据的安全基于密钥而不是算法的保密数据的安全基于密钥而不是算法的保密第第2阶段阶段 近代密码阶段（近代密码阶段（19491975）麓蹲紧翼嚏切嘱郁据脑间嚼狼礁戌卢冉银祥渺辗街隶仅秩七环界宇而袍胞第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根l ShannonShannon：美国工程师：美国工程师 u 1948 1948年发表年发表 “A Mathematical A Mathematical Theory of ommunicationTheory of ommunication”，标志信息，
29、标志信息论的诞生论的诞生u 1949 1949年发表年发表 “Communication Communication Theory of Secrecy systemTheory of Secrecy system”，以信息，以信息论为基础，用概率统计为数学手段对保论为基础，用概率统计为数学手段对保密通信问题进行了分析。密通信问题进行了分析。u由香农提出的保密系统模型目前仍然由香农提出的保密系统模型目前仍然是现代密码学的基本模型是现代密码学的基本模型. .u王育民教授报告乖乡屏户青卒谤集点琅蛊朽饯馆铅岔狞臂彼捂炭迄谍斜召肝啸拆酮酪齿醚第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化
30、教案贵州大学理学院 彭长根Shannon通信系统通信系统模型模型信源：消息的来源信源：消息的来源编码器：把消息变换成信号编码器：把消息变换成信号信道：传递信号的媒介信道：传递信号的媒介,在物在物理线路上划分的逻辑通道。理线路上划分的逻辑通道。译码器：把信道输出的信号译码器：把信道输出的信号反变换反变换信宿：信息的接受端信宿：信息的接受端噪声：信道中的干扰噪声：信道中的干扰炔攻俞瘁锗述疡帕龚她易姿源御倍骚绚晋午还醚女慨尊痞唬中剩疯滇斜射第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根ShannonShannon保密通信系统模型保密通信系统模型公开信道公开信道
31、密钥信道密钥信道必踌抛峭鲜昧柴抽庚君遮蠢拷牺蓉辆禹措渤君骂秆熬卓事妙修先络炼匈掖第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根香农信息论信信源源熵熵信信道道容容量量无失真信源无失真信源编码定理编码定理率率失失真真函函数数信信源源编编码码信信道道编编码码限失真信源限失真信源编码定理编码定理信道信道 编码定理编码定理密密码码u概括概括:u信息的测度信息的测度u信道容量信道容量u信源和信道编信源和信道编码理论码理论用到的数学用到的数学概率论与数理概率论与数理统计统计装路徒挞赡墨抠姬既焦蹿亩贬季苇厄症娘溢锹侍溉颠彬谅郧嘿茨史乏酌瓜第一讲数学与信息安全第一讲数学与
32、信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根19761976年：年：Diffie & Hellman Diffie & Hellman 的的 “New Directions in New Directions in CryptographyCryptography” 提出了公钥密码学思想；提出了公钥密码学思想；19771977年年Rivest,Shamir & AdlemanRivest,Shamir & Adleman提出了提出了RSARSA公钥算法；公钥算法；9090年代逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法；年代逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法；主要特点：主要特点：公钥密码使得发送端和接
33、收端无密钥传输的公钥密码使得发送端和接收端无密钥传输的保密通信成为可能保密通信成为可能第第3阶段阶段 现代密码后期阶段（现代密码后期阶段（1976）煌愚丙醋躲权捐阅呈黄缝衙汁产戎嚎古机夺誉箭闹晒精蚤要劫贤捎缩辕重第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q对称密码体制：对称密码体制： 加密密钥和解密密钥相同加密密钥和解密密钥相同.密钥分发与管理困难。密钥分发与管理困难。q非对称密码体制非对称密码体制(也称公钥密码体制也称公钥密码体制): 加密密钥加密密钥（publickey）和解密密钥和解密密钥（privatekey)不相同，不相同，从一个密钥导出另
34、一个密钥是计算上不可行的，从一个密钥导出另一个密钥是计算上不可行的，加密能力和解密能力是分开的，开放性好。加密能力和解密能力是分开的，开放性好。密钥密钥分发与管理相对容易分发与管理相对容易.密码体制分类密码体制分类攘棱屹尧戍乎犊渴吨落殿文络铃娥稍唤瘦焙淘帜又坡诲坤捂稻惦扦宫冬秧第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根加密与解密的密钥相同，即：加密与解密的密钥相同，即：P=D(K,E(K,P)对称密码体制模型对称密码体制模型间闰舒旷吟伍詹些裸疆蝉例厄薄柏筐脓厚稳策审哟泼胰汞仕香颓价穗膛庸第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案
35、贵州大学理学院 彭长根加密与解密的密钥不同，则：加密与解密的密钥不同，则：P=D(KD,E(KE,P)非对称密码体制模型非对称密码体制模型碰贵扎饯舌某按漓佰悟狰差简骗袒址棕兽谍幕雄鞋冈咯肤熄娶节仪匹康剂第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根如何设计公钥密码u最基本思想:利用数学难解问题.u设计工具:数论、代数坦概砰耍次步带乳绿诊捏三沪箱浪迂纪砾舰迫哥汁证镊想区晃扬傻惩做揉第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根数论的游戏之美数论就是一门研究整数性质的学科数论就是一门研究整数性质的学科数论的很多问题最能
36、体现数学之美数论的很多问题最能体现数学之美数学皇冠数学皇冠翘踪尼浪孕辱障案乞哲饮碱勺棘渊粮祷判豺廓经标舀援葛垣秉熊蛋谤考彭第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根完美数有多少? 裁容盅丰骂哄找衷拾鸳读副闽爵宜通却滔鹿丰史纱台僳杆捍就输凳顶毒孝第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许多人巢靛刑城锥厉挞缕告饲费汰拧剑抄牧累匆助墟抉宫叉碍珠焉汕炎漫缝处拣第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根2
37、2 素数素数整数p1被称为素数(质数)，是指p的因子仅有1或它自己。2 3 5 72 3 5 711 13 17 1911 13 17 1923 29 23 29 31 37 31 37 41 43 47 41 43 47 53 59 53 59 61 61 67 67 71 73 79 71 73 79 83 8983 899797司淹姚键沧非茵瑞你瘴睁奎蒲贯陨珐孜以妄蠢鼎婪耍街毖惹茅嘘则月掩槽第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根回文素数回文素数13，31，17，71，113，311，347，743，有多少对？有多少对？孪生素数孪生素数17，
38、19，29，31，41，43，59，61，71，73，,2972546-1,2972546+1,115914298522304-1,115914298522304+1,有多少有多少对？抽逾笺圆侧奏浙佃向坚抢橇状敞戒拼伞旋操硫慢醇拴岁矿痴予规酚酞蕊蚜第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q素数在密码学中占有极其重素数在密码学中占有极其重要的地位。要的地位。q关于素数有如下些问题：关于素数有如下些问题：q如何判定？如何判定？q如何找到？如何找到？q素数的分布？素数的分布？ 咯览枝骋秦剪茂灰愤势虚弱拴审茶脑半沿叁驱廓氧硒昏婆繁洲雄靡婶赖骂第一讲数学与信
39、息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根Euclid在探寻完美数的时候发现：完美数可能有公式成立：抬抹赠凉怔笨蛔踌状怖缉獭弦产巍冉拍例锅福贾绵狙霍阅絮褒跑鞠慌游明第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根Mn都是素数芥析珐僻挨板扦珊拱迸蜂贾验社深碉匙桔湍田墟狱猪本癣跺陋疼链财马帘第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会基金会(EFF)向全世界
40、宣布向全世界宣布:任何个人或机构通过任何个人或机构通过“互联网梅森素数大搜索互联网梅森素数大搜索”项项目（目（GIMPS）找到超过）找到超过1000万位数的梅森素数，将会获得该基金会颁发的万位数的梅森素数，将会获得该基金会颁发的10万美万美元奖金。但是，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感元奖金。但是，绝大多数研究者参与该项目不是为了金钱而是出于乐趣、荣誉感和探索精神。和探索精神。 梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后素数的最有效途径；它的探究
41、推动了数学皇后数论的研究，促进了计算技数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。椿膳蔫祈课风适豁殖痞试赏燥吓祝胎挛姻妒瞳羔策冷鬼阎震陆涝杀箩直忻第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根2001年11月，加拿大20歲青年 Micheal Cameron 發現了第39個梅森質數 213466917-1，它是個，它是個4053946位數。位數。Micheal 用AMD TB 800 MHz 電腦，在餘暇時間運作了42日。之后一直未發現有新
42、的梅森質數，直到2006年：q最大的最大的Mersen素数素数据国际著名数学网站数学世界据国际著名数学网站数学世界20062006年年9 9月月1111日报道，美国密苏里州立日报道，美国密苏里州立中央大学数学家库珀和化学家布恩领导的研究小组发现了已知的最大梅森素数，中央大学数学家库珀和化学家布恩领导的研究小组发现了已知的最大梅森素数，该素数有该素数有98083589808358位数，这一超级素数是目前已知的最大素数，也是位数，这一超级素数是目前已知的最大素数，也是20002000多年来多年来人类发现的第人类发现的第4444个梅森素数。个梅森素数。如果用普通字号将这个数字连续写下如果用普通字号将
43、这个数字连续写下来，它的长度超过来，它的长度超过40公里！公里！2 23258265732582657 -1-1柬措稠斡艇裴轮誊观意汁劳聋死蛀看瑶溯胶萍恼徽邑漫劳蓖序敛垒经慈畦第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根目前最大的几个目前最大的几个Mersen素素素素德国焦点周刊网站日前报道，美国和德国的数学德国焦点周刊网站日前报道，美国和德国的数学家先后分别于家先后分别于2008年年8月月23日和日和9月月6日计算出了两个新的素日计算出了两个新的素数，这两个数字都超过了数，这两个数字都超过了1100万位，是迄今所知的最大素万位，是迄今所知的最大素数。
44、数。 2 243112609 -1-12 237156667 -1-1美国:超过超过1200万位万位德国:超过超过1100万位万位国际素数搜索项目国际素数搜索项目“互联网梅森素数大搜索互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）经过复核验算后证实，这两个数字都是素数。经过复核验算后证实，这两个数字都是素数。袭罕敲视滤腰谬渤躯派绸前步稽枝丹意庸力雇郧竣率厕春场善瑚偏春翅破第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根挪威专家发现第挪威专家发现第47个梅森素数个梅森素数长度超长度超50公里公里中广网2009-07-2022:49中广网北京2009年7月20日消息 挪
45、威计算机专家奥德斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方2 242643801 -1-1（12837064位数）咏狈旧滋浙妆赘情桌滓弘啦坊雍扯昨编鄂峭爱荷雀玄赏镑何稠瑟域博配裤第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根3.与几何有关，圆周率与几何有关，圆周率,和和e一样，是一样，是无理数无理数。员盛耍篷麓铺欣牵途在势奎义酚冀峻煎搽盯阮媒桓殴蝎去十灶男厢饵选暖第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根与素数的
46、前的前2位是回素数位是回素数31,13,前前6位位也是回文素数也是回文素数314159,951413,真真让人让人浮想浮想联翩联翩,还有若干这样奇还有若干这样奇妙的特点妙的特点.炎订红义栓得喘霖鸳怨啥澄钢巴逸姿维历淬秧辐溜谁窟怪查郴内倪意吓姚第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根3.水仙花数l水仙花数是指一个水仙花数是指一个n(=3)位数字的整数位数字的整数,它等于每个数字的它等于每个数字的n次幂之和。次幂之和。n在在1000以内的水仙花数共有以内的水仙花数共有4个：个：153=13+53+33另外还有另外还有:370、371、407n四位的水仙
47、花数四位的水仙花数:1634=13+63+33+43另外还有另外还有:8208，9474崔取滔么斧炽细烯防够谴课褥潦询半才亭哪甄仇披缝迅谊奶敦迈涵况堡晶第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根中国与数论1986年，陈景润与著名数学家王元、杨乐、张广厚一起研究数论问题。要谈中国要谈中国的数论研的数论研究究,必须必须要说到一要说到一数学家数学家-陈景润。陈景润。陕戴础陈驰娠旺卞右位辰瘤旦索能贾毖跑环祸仁起闷频喻煞童伊缘悉及宜第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根1978年年2月月17日，人民日报、光明日报
48、日，人民日报、光明日报同时转载了最初发表于人民文学的徐迟的报同时转载了最初发表于人民文学的徐迟的报告文学哥德巴赫猜想。这篇报告文学让数亿告文学哥德巴赫猜想。这篇报告文学让数亿中国人知道了摘取中国人知道了摘取“数学皇冠上的明珠数学皇冠上的明珠”的陈景的陈景润，陈景润的事迹震撼并激励了国人。润，陈景润的事迹震撼并激励了国人。陈景润（陈景润（1933年年5月月22日日1996年年3月月19日日），），福建福州福建福州人，人，中国中国著名著名数学家数学家，厦门大学数学厦门大学数学系系毕业。毕业。1953年年-1954年在年在北京四中北京四中任教，因口齿任教，因口齿不清，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，
49、后被不清，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，后被“停职回乡养病停职回乡养病”。调回。调回厦门大学厦门大学任资料员，同任资料员，同时研究时研究数论数论。1956年年调入调入中国科学院数学研究所中国科学院数学研究所。1980年年当选中科院当选中科院物理学物理学数学部委员。数学部委员。撮铲盈坛浪肛菇术啪颂取俭围醒粤痕佃扶版佣鄂凳泡捏屿萍的太鲁讽匠户第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根哥德巴赫猜想的表述极为简单：任何一个大于哥德巴赫猜想的表述极为简单：任何一个大于2的的偶数都可以表示成两个素数之和，例如偶数都可以表示成两个素数之和，例如4=2+2，6=3
50、+3，8=3+5,。哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（CGoldbach，16901764）1742年年6月月7日给大数日给大数学家欧拉的一封信中提出的学家欧拉的一封信中提出的.目前不断用计算机进行验证目前不断用计算机进行验证,已到几千万的数字已到几千万的数字,都正确都正确.蔷挫绕孕堆发踌衰佯中刑廊微醒柔叙庞抽由咨电氦昂稻澳顾村努逾辟乔游第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根陈景润主要研究陈景润主要研究解析数论解析数论，1966年发表表达年发表表达偶数偶数为一个为一个素素数数及一个不超过两个素数的及一个不超过两个
51、素数的乘积乘积之之和和（简称（简称“1+2”），），成为成为哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所发表的成果也被研究上的里程碑。而他所发表的成果也被称之为称之为陈氏定理陈氏定理。这项工作还使他与。这项工作还使他与王元王元、潘承洞潘承洞在在1978年年共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其共同获得中国自然科学奖一等奖。他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。他数论问题的成就，至今，仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者世界级的数学大师、美国学者安德烈安德烈韦伊韦伊(AndrWeil)曾曾这样称赞他：这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好
52、像是在陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅喜马拉雅山山山巅上行走。山巅上行走。”著有著有初等数论初等数论等。等。1999年年，中国发表纪念陈景润的，中国发表纪念陈景润的邮票邮票。另外亦有。另外亦有小行星小行星以他以他为名。为名。http:/ 彭长根由由哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想引出的问题引出的问题哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的研究有什么用的研究有什么用?作为数学的基础研究作为数学的基础研究,引出若干新的分支引出若干新的分支.由于由于哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的描述很简单的描述很简单,让人误以为其让人误以为其证明也会像中小学数学题那么简单，这是为什么证明也会像中小学数学题那么简单，这是为什么有那么多没
53、有受过专业数学训练、甚至只有中小有那么多没有受过专业数学训练、甚至只有中小学文化程度的人都自以为比大数学家更有能耐，学文化程度的人都自以为比大数学家更有能耐，灵机一动破解了这一超级难题。灵机一动破解了这一超级难题。结果导致结果导致神乎其神神乎其神,有人说美国航天飞机上天有人说美国航天飞机上天,就是用了就是用了陈陈氏定理氏定理,中国自己却不会用中国自己却不会用.汤谜条杜倚晶改老倚姆侣挽褒颖琅渔议竭县泉葛琴刻匝灰艇虞绷青佩剥姿第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根数论的诱惑数论中无数的奇妙而易于数论中无数的奇妙而易于理解的问题理解的问题,诱惑了无数诱
54、惑了无数的数学爱好者的数学爱好者.数论是一个充满诱惑数论是一个充满诱惑,而而又是一个充满陷阱和凶险又是一个充满陷阱和凶险的领域的领域.不要轻易去碰它不要轻易去碰它.熔干辩袒悠壁萎猎裁芋熟训威铂濒车耀卒和迷阉废惹撬骸瘦传秧淆衰俗耿第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根数论有用吗数论有用吗?几千来几千来,数论是纯粹数学的代表数论是纯粹数学的代表!几十年前几十年前,竞发现数学论开始有用场竞发现数学论开始有用场:数值数值分析、结晶学、理想气体、计算机理论、分析、结晶学、理想气体、计算机理论、随机数、密码学；随机数、密码学；连数论都能走出象牙塔，可见其它的
55、分支连数论都能走出象牙塔，可见其它的分支应用更广泛；应用更广泛；密码学是数论最有成就的应用；密码学是数论最有成就的应用；柬芜多回恿背闪壤磊窑故存话趾仙腋赴冯树蛔抬伍曹飞柯搔坛象挞俊刷刑第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根数论在密码学中的应用举例数论在密码学中的应用举例他們在1977年發表論文，並把 這運算法註冊專利。20年後 RSA Data Security 公司市值超過二億美元。蚂资俄讼郊蒋死溯仔由响牛拷耻偶俞杭还输褐虱腿役访芥鞍得蔬葫瞅庭证第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q大整数因子分
56、解问题：大整数因子分解问题：q判判定定给给定定素素数数p,q是是否否为为n的的因因子子容容易易，只只要要计计算算n=pq即可。即可。q给定整数给定整数n,求求n的素因子的素因子p,q使得使得n=pq困难困难.例：例：p=20000000000000002559,q=80000000000000001239,n=16000000000000002295000000000000003170601验证验证n=pq容易，但要分解容易，但要分解n困难。困难。RSA公钥密码系统是基于三个难解问题公钥密码系统是基于三个难解问题之一之一-大整数分解困难问题大整数分解困难问题垒优比追嚎芜铂惰翠浑轰契绍般膳眼垛暗
57、挽槛舞屿叁钱慰巍伪吴楚稳篮润第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根要分解 n = p x q 究竟有多難？1977年年ScientificAmerican雜誌登出了雜誌登出了RSA-129，獎金是，獎金是100美元。美元。17年後，超過年後，超過600人利用互聯網，聯合不同人利用互聯網，聯合不同地方的電腦，用了八個月時間，終於破解地方的電腦，用了八個月時間，終於破解了了RSA129。卯拿贷本磕毙谚卉瘪站深隐战靛宾奈怠妓枚绊凰饶岛铱汰空浇罐谎令鸭何第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根艺绢琉奠熏氨赶疫
58、领滨批叼无俘铣住翻闹豫玉自痰户陵赎浚好主佬搽石败第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根專家估計，一億台100MHzPentium電腦合起來，分解一個308位數的n(比129位數大了十兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆兆倍)，大約需要一千年。RSA的原則是：公開密钥的n值必須大得全球電腦聯合起來直至太陽系死亡也不能破解。因此必須要找非常大的質數来构造n。耽皑缀湍毡扎棍漆钙健宣挽蹲肚专佛屁澈猜夏薄畅隆讼漳枪癣邪撼匀道里第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根产生密钥对产生密钥对选择两个大素数选择两个大素数p,q
59、,p q计算计算n=pq, (n)=(p-1)(q-1)选择整数选择整数e,使得使得gcd(e, (n)=1计算计算d e-1mod (n)公钥公钥:KU=e,n,私钥私钥:KR=d,n使用使用加密加密:C=Memodn解密解密:M=CdmodnRSA加密过程：加密过程：爪慨鸭锐鳃朱肄桨舆沦镍坝瑚绑谅广裙雌仍兽五审雹悔溢磐异渐柴喻绘拦第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根例子：例子：选选p7，q17则则npq119且且(n)(p-1)(q-1)61696取取e5则d77(57738549611mod96)公钥（公钥（5，119），私钥（），私钥（
60、77，119）加密加密m19则则cmemodn=195mod119=66mod119解密解密c66mcdmodn=6677mod11919mod119毯汾霹爬绊央划梅扰搬虚鸯咋捐叔荆寂堕嗅馋复楼钟析据荐啼柳僚饰请屎第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根再例：再例：p=53，q=61，n=pq=3233，(n)52x60=3120令令d=791，则，则e=71令令m=RENAISSANCE即即m=170413000818180013020426170471mod3233=3106mod3233，C=310601000931269119842927蚂
61、迈揍励极泌茧哑际浚撂假侄缴白记挪前柴哲鼓琴鬼容坪矾寇瑶皿甄魁藻第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根密码技术在信息安全中的地位和作用密码技术在信息安全中的地位和作用 密码技术是保障信息安全的核心技术。密码技术不仅能密码技术是保障信息安全的核心技术。密码技术不仅能够保证机密性信息的加密够保证机密性信息的加密, ,而且完成数字签名、身份验证、系而且完成数字签名、身份验证、系统安全等功能。所以，使用密码技术不仅可以保证信息的机统安全等功能。所以，使用密码技术不仅可以保证信息的机密性，而且可以保证信息的完整性，防止信息被篡改、伪造密性，而且可以保证信息的
62、完整性，防止信息被篡改、伪造和假冒。和假冒。 q防火墙防火墙q安全路由器安全路由器q虚拟专用网（虚拟专用网（VPN）q安全服务器安全服务器q电子认证机构（电子认证机构（CA）和）和PKI产品产品q用户认证产品用户认证产品禄妖铭钙萍吵缓外矽别摊败褥节作朝镑绰琅甥扑牛淖仿小蝶传蛹坏苦哨雷第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根密码技术的其它数学方法密码技术的其它数学方法代数：群、环、域、多项式代数：群、环、域、多项式拉格朗日插值拉格朗日插值向量几何向量几何概率统计概率统计.惜铂愤绞拈夕毅经肉益辣蚌劫食圆狗埋邪托留真邵殃措撵滇窗桔帛呜爱啪第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根MD5-王小云http:/ 规霞奢窘摈麓菊谭都棺挛稠督蛮猜矢抒半佰筹卯吃斡意福颐盒骤数盗度贯第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全数学文化教案数学文化教案贵州大学理学院 彭长根q作业作业谈谈数学在信息安全中的应用谈谈数学在信息安全中的应用。唱总蔚琳逼墓败吻梨糖边灌音粘靶味骡荫香辩额樊蹈赠吴刨讶着医序欢埔第一讲数学与信息安全第一讲数学与信息安全
