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1、微积分微积分1-1理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程几个数集几个数集 所有自然数构成的集合记为所有自然数构成的集合记为N，称为称为自然数集自然数集. 所有实数构成的集合记为所有实数构成的集合记为R, 称为称为实数集实数集. 所有整数构成的集合记为所有整数构成的集合记为Z, 称为称为整
2、数集整数集. 所有有理数构成的集合记为所有有理数构成的集合记为Q, 称为称为有理集有理集.子集子集 如果集合如果集合A的元素都是集合的元素都是集合B的元素的元素, 则称则称A是是B的的子集子集, 记为记为A B(读作读作A包含于包含于B). A B 若若 x A, 则则 x B. 显然显然, N Z, Z Q, Q R.集合的表示集合的表示 A=a, b, c, d, e, f, g是用列举法表示的是用列举法表示的. M=(x, y)|x, y为实数为实数,是用描述法表示的是用描述法表示的.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程数集的确界：数集的确界：1.有界集有界集
3、设设S为为R中的一个数集，如果存在数中的一个数集，如果存在数M(L)使对使对任一任一x S, x M(x L), 则称则称S为有为有上界上界（下界下界）的数集，数的数集，数M（L）称）称S的的上界上界（下界下界）。）。若数集既有上界，又有下界，则称为若数集既有上界，又有下界，则称为有界集。有界集。若数集不是有界集，则称为若数集不是有界集，则称为无界集。无界集。 S有界的充要条件为存在有界的充要条件为存在M0, 使得对一切使得对一切x S，都有，都有|x|M理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程2 确界与确界原理确界与确界原理上确界上确界:设设S是是R中的一个数集，若数中
4、的一个数集，若数 满足：满足：(1) 对一切有对一切有x S, 有有 x （即（即 是是S的上界）的上界）; (2) 使使 ，即，即 是是S的最的最 小上界小上界.则称则称 是是S的上确界，记作的上确界，记作supS. (2) 对对 使得使得MM2M1上确界上确界上界上界理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程下确界下确界:设设S是是R中的一个数集，若数中的一个数集，若数 满足：满足：(1) 对一切有对一切有x S, 有有 x （即（即 是是S的下界）的下界）; (2) 使使 ，即，即 是是S的最的最 大下界大下界.则称则称 是是S的下确界，记作的下确界，记作infS.
5、(2) 对对 使得使得上确界与下确界统称为确界。上确界与下确界统称为确界。 m2mm1下确界下确界下界下界理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程注注1:确界若存在，则必是唯一的，且确界若存在，则必是唯一的，且 infS supS (仅当仅当S是单点集时，等号成立）。是单点集时，等号成立）。注注3: 数集数集S的确界可能属于的确界可能属于S,也可能也可能 不属于不属于S.注注2: 确界不是最大、最小值。确界不是最大、最小值。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程例例1证明证明设设 为为(0,1)之间的有理数之间的有理数,试按上下确界定义证明试按上下
6、确界定义证明对对 则则若若a0,则由有理数在实数集中的稠密性则由有理数在实数集中的稠密性理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程确界存在性定理确界存在性定理例例2：证证理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程例例3证证理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 数集数集 x| a x b称为称为开区间开区间,记为记为(a, b), 即即 (a, b)= x| a x b. a, b= x |a x b 称为称为闭区间闭区间. a, b ) = x| a x b 及及 (a, b= x | a x b 称为称为半开区间半开区间.区间
7、区间 上述区间都是上述区间都是有限区间有限区间, 其中其中a 和和 b 称为区间的称为区间的端点端点, b-a称为区间的称为区间的长度长度.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 整个实数轴整个实数轴 R ( , , b x | x b , ,( , +, + ) x | |x| 0, 则称区间则称区间(a- , a+ )为为点点a 的的 邻域邻域, 记作记作U(a, ), 其中点其中点a 称为邻域的称为邻域的中心中心, 称为邻域的称为邻域的半径半径.去心邻域去心邻域U(a, , ) x | 0 | x a | . .。 U(a, , ) x | a x a+ + x
8、| | x a | . .理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 常量与变量用什么符号不是绝对的常量与变量用什么符号不是绝对的, , 但应尊重数学的习惯但应尊重数学的习惯. .变量变量 在我们所研究的问题中在我们所研究的问题中, 可以取不同数值的量叫做可以取不同数值的量叫做变量变量. 通常用字母通常用字母x, y, z等表示变量等表示变量. 变量变量x所取数值的全体组成的数集所取数值的全体组成的数集 M 称为变量称为变量 x 的的变域变域, 此时此时 x 表示数集表示数集M 中任何一个元素中任何一个元素.2. 常量与变量常量与变量常量常量 在我们所研究的问题中在我们所研
9、究的问题中, 始终只取同一数值的量叫做始终只取同一数值的量叫做常量常量. 通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座按一定规则入座1，引例，引例 二、映射二、映射例例4理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程例例5.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程2.定义定义设设 X , Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存
10、在一个对应规若存在一个对应规则则 f , 使得使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应与之对应,则称则称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的像像, 记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的原像原像 . 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ; Y 的子集称为称为 f 的的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素映射的三要素 定义域定义域 , 对应规则对应规则, 值域值域. 2)元素元素 x 的像的像 y 是唯
11、一的是唯一的, 但但 y 的原像的原像3) 不一定唯一不一定唯一. 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程对映射对映射若若, 则称则称 f 为为满射满射; 若若有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程海伦公式海伦公式例例7. 如图所示如图所示,对应阴影部分的面积对应阴影部分的面积则在数集则在数集自身之间定义了一种映射自身之间定义了一种映射(满射满射) 则有(满射满射) 例例6理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微
12、积分】电子教程例例8. 如图所示如图所示, 则有则有(满射满射) 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程X (数集数集 或点集或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同在不同数学分支中有不同X ( ) Y (数集数集) f 称为称为X 上的上的泛函泛函X ( ) X f 称为称为X 上的上的变换变换 R f 称为定义在称为定义在 X 上的上的函数函数映射又称为映射又称为算子算子. 名称名称. 例如例如, 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 三、函数的概念三、函数的概念1. 引例引例 我们熟悉如下公式或方程我们熟悉如下公式或方程: 圆周长公式
13、圆周长公式: L= 2r ( r 0); 自由落体的速度公式自由落体的速度公式: V=gt (t 0); 直线方程直线方程: y = ax+b (- x + ); 双曲线方程双曲线方程: xy=1(x 0). 它们的共同点是至少有两个变量，当一个变量在给定它们的共同点是至少有两个变量，当一个变量在给定的范围内取得一个定值后，可以通过公式或方程确定出另的范围内取得一个定值后，可以通过公式或方程确定出另一个变量的值一个变量的值.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程例例9 9 自由落体运动方程自由落体运动方程 在自由落体运动中，物体下落的距离随下落时间的在自由落体运动中，物
14、体下落的距离随下落时间的变化而变化，下落距离变化而变化，下落距离 s 与时间与时间 t 之间的函数关系为之间的函数关系为:g 为重力加速度为重力加速度例例10 圆面积公式圆面积公式 圆的面积圆的面积 A 与半径与半径 r 的函数关系为的函数关系为:理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 设设 x 和和 y 是两个变量。是两个变量。D 是一个给定的数集。如果对于每是一个给定的数集。如果对于每个数个数 x D ，变量变量 y 按照一定法则总有（唯一）确定的数值按照一定法则总有（唯一）确定的数值和它对应，则称和它对应，则称 变量变量y 是是 变量变量x 的函数，记作的函数，记
15、作 y = f (x), 数集数集 D 叫这个函数的叫这个函数的定义域定义域，x 叫做叫做自变量自变量， y 叫做叫做因变量。因变量。2. 函数的定义函数的定义从映射的角度可以给出函数的另一定义从映射的角度可以给出函数的另一定义设设 D 为非空数集。称一个映射为非空数集。称一个映射为函数关系或函数，称为函数关系或函数，称 D 为函数的为函数的定义域定义域，f 为对应法则。为对应法则。定义域定义域 D 和对应法则和对应法则 f 是函数关系的两要素是函数关系的两要素集合集合 y| y = f (x), x D 称为函数的称为函数的值域值域理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教
16、程例如例如：函数函数 f (x) = 3x中中 对应法则对应法则 f 是什么？是什么？ f (1)=？关于定义的几点说明关于定义的几点说明f (a) 表示函数表示函数 f (x) 在在 x= a 时的函数值时的函数值函数函数y=f (x)中的中的“f ”表示的是一个对应规则表示的是一个对应规则, 即对每一个即对每一个x D 按规则按规则 f 有一个确定的有一个确定的y 值与之对应值与之对应.对应规则也常用对应规则也常用y, j, h, g, F等表示等表示, 此时函数就记作此时函数就记作y(x), j(x), h(x), g(x), F(x)等等.f f理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学
17、中心【微积分】电子教程函数的表示方法函数的表示方法(1) 公式法公式法( 解析法解析法 )y = f (x)因变量法则自变量如函数如函数 ，值域为值域为定义域为定义域为公式法公式法公式法的优点是便于数学上的分析和计算公式法的优点是便于数学上的分析和计算理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程(2) 表格法表格法(列表法列表法) 设某一物理现象的数学关系为设某一物理现象的数学关系为 ，用实验测得，用实验测得 t0ttt12m列表法的优点是直观列表法的优点是直观 时刻时刻 的值为的值为: : 设某一物理现象的数学关系为设某一物理现象的数学关系为 ，用实验测得，用实验测得理学院
18、公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程(3) 图象法图象法(图形法图形法)通过心电图的比较，医生可以诊断出该人是否患有心脏病通过心电图的比较，医生可以诊断出该人是否患有心脏病例如：心电图例如：心电图患有严重心脏病患有严重心脏病 病人的心电图病人的心电图健康人的心电图健康人的心电图图形法的优点是直观、通俗、容易比较图形法的优点是直观、通俗、容易比较 在坐标系在坐标系 xOy 内内, 集合集合 C = (x, y) | y=f(x), x D 所对应的图形称为函数所对应的图形称为函数 y = f (x)的图形的图形.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程
19、如果自变量在定义域内任取一个数值时如果自变量在定义域内任取一个数值时, 对应的函数值对应的函数值问题只有一个问题只有一个, 这种函数叫做这种函数叫做单值函数单值函数, 否则叫做否则叫做多值函数多值函数.3. 函数举例函数举例 例例11. 在直角坐标系中在直角坐标系中, 由方程由方程x2+y2=r2确定了一个函数确定了一个函数. 对对 于任意于任意x (-r, r),对应的函数值有两个对应的函数值有两个:以后凡是没有特别说明时以后凡是没有特别说明时, 函数都是指单值函数函数都是指单值函数.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 此函数称为此函数称为绝对值函数绝对值函数,
20、其定义域为其定义域为D=(- , + ), 其值域为其值域为W=0, + ). 例例13. 例例12. 函数函数 y=2. 这是一个常值函数这是一个常值函数,其定义域为其定义域为 D=(- , + ), 其值域为其值域为W= 2.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程yxo1-1yxo123-1-212-1-2 例例14. 符号函数符号函数例例15. 取整函数取整函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程定义域为正整数集定义域为正整数集N数列数列 例例16. 整标函数整标函数数列是一类特殊函数。数列是一类特殊函数。理学院公共数学教学中心理学院公共
21、数学教学中心【微积分】电子教程 在自变量的不同变化范围中，对应法则用在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同解析式不同解析式来表示的函数，称为来表示的函数，称为分段函数分段函数.例如例如:yxO1 例例17. 分段函数分段函数求函数求函数 的定义域及以下函数的定义域及以下函数值值理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程注意：注意： 求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值范围，求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值范围，确定相应的函数表达式；分段函数的定义域为各定义区间之确定相应的函数表达式；分段函数的定义域为各定义区间之并集。并集。解答解答:求函数求函数 的定义域的定
22、义域练习练习1 1定义域为定义域为理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程yx-MMo 设设 函数函数 f (x) 的定义域为的定义域为 D ，若，若存在正数存在正数 M 使对任意使对任意 x D, 都都有有 则则 称称 f (x) 在在 D 上上有有 界界, 或或 称称 f (x)是是有有 界函数界函数 有界性有界性 三、函数的几种特性三、函数的几种特性例如例如：f(x)=sin x在在(- , + )上是有界的上是有界的: |sin x| 1.理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程在定义域的子区间在定义域的子区间 I 上任意两点上任意两点 x
23、1 和和x 2，如果，如果则则 f (x) 是是 区间区间 I 上的上的 增函数增函数xyoxyo 单调性单调性则则 f (x) 是是 区间区间 I 上的上的 减函数减函数如果如果理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 设函数设函数 f (x) 的定义域的定义域 D 关于原点对称关于原点对称如果对任意的如果对任意的f (x) 为为偶函数偶函数 f (x)为为奇函数奇函数 yxoxyo偶函数的图像关于偶函数的图像关于 y 轴对称轴对称 奇函数的图像关于奇函数的图像关于 原点对称原点对称 奇偶性（对称性）奇偶性（对称性）理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】
24、电子教程 设函数设函数 f (x) 的定义域为的定义域为 D。如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数 l 使得使得 对于任一对于任一 且且恒成立，则称恒成立，则称 f (x) 为为周期函数周期函数l 称为称为 f (x) 的的周期。周期。xoy 周期性周期性在所有周期中的最小正数在所有周期中的最小正数称为函数的称为函数的最小正周期。最小正周期。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 四、反函数四、反函数设有函数设有函数是定义在区间是定义在区间 上的上的单调函数单调函数，由其由其称为函数称为函数的的反函数反函数逆映射逆映射确定的函数确定的函数习惯上用习惯上用 x 表
25、示自变量，表示自变量，y 表示因变量。于是表示因变量。于是的反函数记成的反函数记成解出解出x交换交换x,y理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程直接函数的直接函数的定义域定义域是其反函数的是其反函数的值域；值域；而直接函而直接函数的数的值域值域是其反函数的是其反函数的定义域。定义域。互为反函数的两个互为反函数的两个函数在图象上关于直函数在图象上关于直线线 y=x 对称。对称。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程e=2.7182818 幂函数：幂函数：指数函数：指数函数：对数函数：对数函数：自然对数自然对数三角函数：三角函数：反三角函数：反三角函
26、数： 五、基本初等函数五、基本初等函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程1.幂函数幂函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程2.指数函数指数函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程3.3.对数函数对数函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数-11 p p2 2p pp py=sin x理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程余弦函数余弦函数 11 p p2 2p pp py=cos x理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微
27、积分】电子教程正切函数正切函数余切函数余切函数-p-pp pp p-p-p理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程5. 反三角函数反三角函数-11理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程1-1理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程引例引例:已知两个函数已知两个函数 y = sin u 和和 u = 2 x ，把把u 代入得代入得 ：y = sin2x ，y = sin2x 称为这两个函数的复合函数。再如：称为这两个函数的复合函数。再如：xuy 中间变量中间变量 六、
28、复合函数和初等函数六、复合函数和初等函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程D1D2 设函数设函数y=f(u)的定义域为的定义域为D1, 函数函数u=(x)在数集在数集D2上有上有定义定义, , 如果如果: : u|u j j(x), , x D2 D1, , 则对于任一则对于任一 x D2, , 通过变量通过变量 u 能确定一个变量能确定一个变量 y 的值的值, 这样就得到了一个以这样就得到了一个以 x 为自变量、为自变量、y 为因变量的函数为因变量的函数, 这个函这个函数称为由函数数称为由函数 y=f(u)和和u=(x),复合而成的复合而成的复合函数复合函数, 记
29、为记为y=f (x), 其中定义域为其中定义域为D2, , u称为称为中间变量中间变量. .j jux f yy =f j j(x)复合函数的定义复合函数的定义理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程复合函数分解为简单函数举例复合函数分解为简单函数举例由外及里由外及里逐层分解逐层分解幂指函数幂指函数练习：练习：理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数. .偶函数偶函数. .理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程奇函数奇函数, ,有界函数有界函数, ,理学院公共数学教学中心理学
30、院公共数学教学中心【微积分】电子教程奇函数奇函数, ,理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 由常数和基本初等函数出发经过有限次四则运算和有限由常数和基本初等函数出发经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。初等函数。初等函数的定义初等函数的定义都是初等函数都是初等函数. .例如例如, , 函数函数理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 1 1、函数的概念及确定函数的两要素；、函数的概念及确定函数的两要素；2 2、函数的定义域的确定；、函数的定义域的确定；
31、3 3、分段函数的定义域及其函数值的确定；、分段函数的定义域及其函数值的确定；4 4、函数的复合条件及复合函数的定义域的确定。、函数的复合条件及复合函数的定义域的确定。5 5、基本初等函数和初等函数的定义及其性质、基本初等函数和初等函数的定义及其性质6 6、双曲与反双曲函数、双曲与反双曲函数小结小结 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程课程编号：课程编号：课程编号：课程编号：1101001111010011学时数学时数学时数学时数： 88+100=18888+100=188学时学时学时学时；课程名称：课程名
32、称：课程名称：课程名称：微积分微积分微积分微积分 ( (CalculusCalculus) ) 开课学期：开课学期：开课学期：开课学期：第一第一第一第一、二学期二学期二学期二学期课程基本信息课程基本信息课程基本信息课程基本信息考核方式：考核方式：考核方式：考核方式：闭卷考试闭卷考试闭卷考试闭卷考试第一学期第一学期微积分（一）微积分（一）理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程使用教材使用教材使用教材使用教材微积分教程微积分教程哈尔滨工程大学主编哈尔滨工程大学主编教学参考书教学参考书教学参考书教学参考书高等数学高等数学同济大学主编同济大学主编高等教育出版社高等教育出版社其他
33、辅导类参考书（自选）其他辅导类参考书（自选）网上资源网上资源网上资源网上资源哈尔滨工程大学网站哈尔滨工程大学网站中的中的精品课程中精品课程中省级省级精精品课品课高等数学高等数学理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与本质以及它们之间的联系，正确领会一些重要数学涵与本质以及它们之间的联系，正确领会一些重要数学思想方法。思想方法。 注重抽象思维和逻辑推理能力的培养，明确做习题的目注重抽象思维和逻辑推理能力的培养，明确做习题的目的，不能仅满足做习题。逐步培养综合应用数学知识解决的，
34、不能仅满足做习题。逐步培养综合应用数学知识解决实际问题的能力。实际问题的能力。课程基本要求课程基本要求课程基本要求课程基本要求领会数学思想方法领会数学思想方法领会数学思想方法领会数学思想方法培养数学能力培养数学能力培养数学能力培养数学能力理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程课前预习、课中提高效率、课后复习课前预习、课中提高效率、课后复习学习本课程时应注意的问题学习本课程时应注意的问题学习本课程时应注意的问题学习本课程时应注意的问题一周交一次，按质按量完成一周交一次，按质按量完成。按时上课按时上课,不迟到不迟到,不早退不早退学习中要搞清概念，侧重思路学习中要搞清概念，侧
35、重思路，适当做题，适当做题，掌握基本。广泛联想，多方应用掌握基本。广泛联想，多方应用 作业要求：作业要求：作业要求：作业要求：答疑时间、地点：答疑时间、地点：答疑时间、地点：答疑时间、地点：每周六每周六14：0017：00点在点在11号楼号楼4054室室理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程课程基本内容课程基本内容课程基本内容课程基本内容 微积分课程是高等工科各专业学生的一门必修的课程，微积分课程是高等工科各专业学生的一门必修的课程，通过本门课程的学习，要使同学们获得微积分中的基通过本门课程的学习，要使同学们获得微积分中的基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获
36、得数本理论和基本运算技能，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。学知识奠定基础。 微积分是学习各门理工专业的重要基础微积分是学习各门理工专业的重要基础微积分是学习各门理工专业的重要基础微积分是学习各门理工专业的重要基础微积分是解决各种专业问题的重要工具微积分是解决各种专业问题的重要工具微积分是解决各种专业问题的重要工具微积分是解决各种专业问题的重要工具微积分能培养分析能力，锻炼理性思维微积分能培养分析能力，锻炼理性思维微积分能培养分析能力，锻炼理性思维微积分能培养分析能力，锻炼理性思维理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程微积分究竟研究微积分究竟研究什么样的问题？
37、什么样的问题？微积分与初等数微积分与初等数学的联系与区别学的联系与区别是什么？是什么？让我们先看看如下提让我们先看看如下提让我们先看看如下提让我们先看看如下提 出的几个问题出的几个问题出的几个问题出的几个问题理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程相隔距离的数学式为：相隔距离的数学式为： 阿基里斯阿基里斯是史诗中的英雄，以善跑著称是史诗中的英雄，以善跑著称，希腊的芝希腊的芝诺说阿基里斯追乌龟，永远追不上比方说，阿基里斯的诺说阿基里斯追乌龟，永远追不上比方说，阿基里斯的速度是龟的速度是龟的10倍，龟在前面倍，龟在前面100米，当阿基里斯跑了米，当阿基里斯跑了100米米到龟的
38、出发点时，龟向前走了到龟的出发点时，龟向前走了10米，阿基里斯再多米，阿基里斯再多10米，米，龟已前进了龟已前进了1米，阿斯里斯再追米，阿斯里斯再追1米，龟又前进了米，龟又前进了1/10米，这米，这样永远相隔一小段距离，所以总也追不上样永远相隔一小段距离，所以总也追不上问题问题问题问题1 1：阿基里斯追龟说阿基里斯追龟说阿基里斯追龟说阿基里斯追龟说100m起点起点理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 春秋战国时期的哲学家庄子在庄子春秋战国时期的哲学家庄子在庄子.天下篇一书中天下篇一书中有一段名言：有一段名言：问题问题问题问题2 2：截丈问题截丈问题截丈问题截丈问题一尺
39、之棰，日取其半，万世不竭其中隐含了深刻的极限思想其中隐含了深刻的极限思想理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程问题问题问题问题3 3：平面曲线的切线问题平面曲线的切线问题平面曲线的切线问题平面曲线的切线问题CMyxo如何求由函数如何求由函数 所表示的平面曲线所表示的平面曲线C在在某一点切线的斜率？某一点切线的斜率？理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直直线线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处的的切线切线.如图如图：割线的割线的极限位置极限位置切线位置切线位置理学院公
40、共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程AOxyabA1A2sn问题问题问题问题4 4：曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题 对于平面封闭图形的面积，我们采用对于平面封闭图形的面积，我们采用分割分割、分别计算分别计算、累加的方法累加的方法来计算其面积，来计算其面积，求任意图形的面积转化为求任意图形的面积转化为求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积问题问题曲边梯形曲边梯形1曲边梯形曲边梯形2曲边梯形曲边梯形 的定义的定义规则图形规则图形规则图形规则图形理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程分割、近似计算、累加得近似值分割、近似计
41、算、累加得近似值在曲边梯形内摆满小的矩形在曲边梯形内摆满小的矩形, , 当小矩形的宽度减少时当小矩形的宽度减少时, , 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? ?显然，小矩形越多，小矩形的宽度减少时，矩形总面显然，小矩形越多，小矩形的宽度减少时，矩形总面积越接近曲边梯形面积积越接近曲边梯形面积怎样求曲边梯形怎样求曲边梯形的面积？的面积？曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积A A问题问题问题问题4 4：曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题曲边图形的面积问题理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分
42、】电子教程任意分割任意分割: : a x0 x1 x2 xn 1 xn b, D, Dxi xi xi 1; ; 小曲边梯形的面积近似为小曲边梯形的面积近似为f(x xi)D Dxi ( (xi 1x xixi); ); 近似代替近似代替: : 取极限取极限: : 设设 maxD Dx1, , D Dx2, , , , D Dxn求和求和: :求曲边梯形面积的一般步骤：求曲边梯形面积的一般步骤：求曲边梯形面积的一般步骤：求曲边梯形面积的一般步骤：曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 微积分主要
43、包括：一元及多元微积分学、无穷级数论、微积分主要包括：一元及多元微积分学、无穷级数论、常微分方程。这里，常微分方程。这里，一元及多元微积分学作为主体。一元及多元微积分学作为主体。常微分方程常微分方程作为理论基础的极限论作为理论基础的极限论一元及多元微、积分学及其应用一元及多元微、积分学及其应用主主体体无穷级数论无穷级数论是利用迭代和是利用迭代和逼近的思想逼近的思想问题问题问题问题问题问题问题问题理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间的相互关现实
44、生活中数与数、形与形，以及数与形之间的相互关系的一门科学。系的一门科学。就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前30003000年左右的埃及象形文字就已开始，迄今已有年左右的埃及象形文字就已开始，迄今已有50005000年年的历史的历史简明数学发展史简明数学发展史简明数学发展史简明数学发展史理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前3000300030003000年年年年公元前公元前公元前公元前60060
45、0600600年）年）年）年）这一阶段，我们称之为这一阶段，我们称之为数学的萌芽阶段，数学的萌芽阶段，或者说准学科或者说准学科阶段。在这一阶段里，数学还没有发展成为一门有明确结阶段。在这一阶段里，数学还没有发展成为一门有明确结构的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，构的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，还没有论证和推理。还没有论证和推理。数学文化在这一阶段的杰出代表是古巴比伦数学、中数学文化在这一阶段的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。国数学、埃及数学、印度数学等。这一阶段的世界数学文化呈一种多元发展态势。这一阶段的世界数学文化呈一种多元发展态势。理
46、学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程第二阶段：数学的形成阶段（公元前第二阶段：数学的形成阶段（公元前第二阶段：数学的形成阶段（公元前第二阶段：数学的形成阶段（公元前5 5 5 5世纪世纪世纪世纪公元公元公元公元16161616世纪）世纪）世纪）世纪）这一阶段，通常称之为这一阶段，通常称之为数学科学的形成时期，数学科学的形成时期，它的开始是它的开始是以希腊人的出场为典型标志，结束于公元以希腊人的出场为典型标志，结束于公元1616世纪，也就是在变世纪，也就是在变量数学产生之前，人们常称此阶段为常数学阶段，也就是数学量数学产生之前，人们常称此阶段为常数学阶段，也就是数学学科完
47、成了以常量为主要内容的框架体系。学科完成了以常量为主要内容的框架体系。这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数，但不敢面对。提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数，但不敢面对。最大的光荣是欧几里得写的原本和阿波罗尼奥斯的圆最大的光荣是欧几里得写的原本和阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论。这一阶段锥曲线论。这一阶段, ,中国的数学文化也是最辉煌的时代，中国的数学文化也是最辉煌的时代，九章算术可以说是东方的原本，圆周率的定值比世九章算术可以说是东方的原本，圆周率的定值比世界上其他国家最先进的成就早了界上其他国家
48、最先进的成就早了10001000年。年。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 第一第一、二阶段的数学、二阶段的数学 十七世纪以前的数学称为十七世纪以前的数学称为初等数学阶段。初等数学阶段。特点：特点：数是常数，形是孤立的、规则的几何体，而且数数是常数，形是孤立的、规则的几何体，而且数 和形往往是相互独立的。分为和形往往是相互独立的。分为初等代数初等代数和和初等几初等几 何。何。统称为统称为初等数学。初等数学。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程第三阶段：变量数学阶段（公元第三阶段：变量数学阶段（公元第三阶段：变量数学阶段（公元第三阶段：变量数
49、学阶段（公元17171717世纪世纪世纪世纪公元公元公元公元19191919世纪）世纪）世纪）世纪）这一时期是世界数学文化史上的第三个辉煌时期，人这一时期是世界数学文化史上的第三个辉煌时期，人们通常称之为牛顿时代。这一时期是欧洲人的天下，最们通常称之为牛顿时代。这一时期是欧洲人的天下，最典型的学科标志就是由典型的学科标志就是由常数数学转向变量数学。常数数学转向变量数学。 这一时期的数学，这一时期的数学，称为称为高等数学阶段高等数学阶段或或初等微积分初等微积分阶段。阶段。其核心内容为微积分。其核心内容为微积分。(1). 解析几何学建立解析几何学建立;(2). 微积分的创立微积分的创立.主要的工具
50、：极限。主要的工具：极限。在这一阶段的标志为在这一阶段的标志为:理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程1637年年,法国数学家法国数学家Descartes建立解析几何学；研究的建立解析几何学；研究的数是变数，形是不规则的几何形体，而且数和形紧密联系数是变数，形是不规则的几何形体，而且数和形紧密联系起来了。起来了。 Descartes（笛卡儿）（笛卡儿）1596年年3月月31日日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，家，1650年年2月月11日卒于斯德哥尔摩。日卒于斯德哥尔摩。 在笛卡儿所处的时代，代数还是在笛卡儿所处的时代，代数还是一门比较
51、新的科学，几何学的思维还一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在数学家的头脑中占有统治地位。 1637年，笛卡儿发表了年，笛卡儿发表了几何学几何学，它确定了笛卡儿在数学史上的地位。它确定了笛卡儿在数学史上的地位。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程由于由于 17 世纪工业革命的直接推动世纪工业革命的直接推动,英国科学家英国科学家Newton和和德国科学家德国科学家Leibniz各自独立地创立了微积分。各自独立地创立了微积分。 1643年年1月月4日，日，牛顿牛顿诞生在英格诞生在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦，兰林肯郡小镇沃尔索浦，1727年年3月月2
52、0日逝世，日逝世， 微积分微积分的创立是牛顿最卓越的数的创立是牛顿最卓越的数学成就。他将自古希腊以来求解无限学成就。他将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的小问题的各种技巧统一为两类普通的算法算法微分和积分，并确立了这两微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。工具，开辟了数学上的一个新纪元。 理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 莱布尼茨莱布尼茨(Gottfriend Wil
53、helm Leibniz) 莱布尼茨莱布尼茨是是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 莱布尼茨在数学方面的成莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理
54、论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。论奠定了基础。理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程在在第三阶段形成的内容丰富的高等代数、高等几何、第三阶段形成的内容丰富的高等代数、高等几何、与数学分析三大分支与数学分析三大分支, ,它们统称为它们统称为高等数学，高等数学，也称为也称为初等初等微积分。微积分。研究对象是研究对象是函数，函数，主要的工具是主要的工具是极限。极限。此阶段的数学又被称为此阶段的数学又被称为现代数学阶段。现代数学阶段。(1). 集合论的创立：集合论的创立：1874年，德国数学家年，德国数学家Cantor创立集合论创立集合论,为微为微 积分奠定了坚实的基础。
55、积分奠定了坚实的基础。(2). 形成了内容丰富的抽象代数、拓扑学、与泛函形成了内容丰富的抽象代数、拓扑学、与泛函 分析为三大基础的现代数学阶段。分析为三大基础的现代数学阶段。第四阶段第四阶段第四阶段第四阶段：18741874年以后的数学（数学年以后的数学（数学年以后的数学（数学年以后的数学（数学 飞速发展阶段）飞速发展阶段）飞速发展阶段）飞速发展阶段）理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程 康托（康托（ Cantor，公元，公元18451918）以集合论的创始人和对古典分析学以集合论的创始人和对古典分析学及拓扑学的根本性贡献而闻名的德及拓扑学的根本性贡献而闻名的德国数学
56、家。他创立了实数等效于有国数学家。他创立了实数等效于有理数的柯西序列（理数的柯西序列（Cauchy Sequence）类的定义，开集和闭集）类的定义，开集和闭集的定义以及超限数的定义以及超限数（Transfinite Numbers）的理论。）的理论。他起初于他起初于1869年执教于哈雷大学年执教于哈雷大学（University of Halle），于），于1879年年成为终身教授，并一直留任在此，成为终身教授，并一直留任在此，在长期患精神病后于在长期患精神病后于1918年去世年去世理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程有三条是直线段，其中两有三条是直线段，其中两条相互
57、平行且垂直另外一条条相互平行且垂直另外一条( (底底) )，第四条边是一条曲线，第四条边是一条曲线弧段弧段（曲边）（曲边）且与相互平行且与相互平行的两直线只有一个交点。的两直线只有一个交点。abxyo曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：用函数表示：用函数表示：理学院公共数学教学中心理学院公共数学教学中心【微积分】电子教程关于关于e应该知道的应该知道的为什么用为什么用e代表代表2.71828，因为因为e是是exponential(指数指数)一字的第一个字母一字的第一个字母 有什么特点呢？有什么特点呢？ 1 . 它会通过它会通过(0,1)点点2. 它永远为正值它永远为正值4. 它的导数还是它自己它的导数还是它自己3. 它一直在递增，它递增的速度非常快它一直在递增，它递增的速度非常快.这正是这正是 我们把快速增长称为我们把快速增长称为“指数增长指数增长”的原因。的原因。比如咨讯与病毒的传播都是指数增长比如咨讯与病毒的传播都是指数增长.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！93
