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1、 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 情境引入情境引入右图是泰州某河上一座古拱桥的截面右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是与水面的距离都是1m1m，拱桥的跨度为拱桥的跨度为10m10m，桥洞桥洞与水面的最大距离是与水面的最大距离是5m5m，桥洞两侧壁上各有一盏桥洞两侧壁上各有一盏距离水面距离水面4m4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）面直角坐标系中（如下图）1 1、求抛物线、求抛物线 的解析式的解析式2 2、求两盏景观灯之、求两盏景观灯之
2、间的水平距离间的水平距离5110?w(1).每个图象与每个图象与x轴有轴有几个交点？几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根? ?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根有根吗吗? ?w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐轴交点的坐标标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?二次函数与一元二次方程 w二次函数二次函数y=xy=
3、x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :w 有两个交点有两个交点, ,w 有一个交点有一个交点, ,w 没有交点没有交点. .w 当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时, , 交点的横坐标就是当交点的横坐标就是
4、当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴轴的交点的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在轴上，在轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x
5、1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的坐标有什么联系？的坐标有什么联系？x2-3x+2=0点燃智慧的火花点燃智慧的火花结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个与轴的两个交点坐标分别是交点坐标分别是A（ ），）， B（ ）
6、x1，0x2，0xOABx1x2y开启 智慧二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的根的判别式判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac = 0-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac 0-4ac 0开启 智慧
7、探究探究2、抛物线与、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？二次方程的知识来说明呢？0=00OXY结论结论2：抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明： 1、0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点轴有两个交点相交相交。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、=0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根与与x轴有唯
8、一公共点轴有唯一公共点相切（顶点）。相切（顶点）。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根与与x轴没有公共点轴没有公共点相离相离。探究探究3、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根的两个根是是x1、x2，则由韦达定理得：，则由韦达定理得：x1+x2=- x1x2=若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标与轴的两个交点坐标分别是分别是A（ x1，0 ），）， B（x2，0 ），则），则是否有同样的结论呢？是否有同样的结论呢？结论结论3、若抛物线若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与轴
9、的两个交点坐与轴的两个交点坐标分别是标分别是A A（ x x1 1，0 0 ），）， B B（x x2 2，0 0 ），），则则x x1 1+x+x2 2=-=- ，x x1 1x x2 2= =二、基础训练二、基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a= ；若抛物线与；若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3，0），则），则p= ，q= 。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-3x+a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交
10、点，则个交点，则a的范围是的范围是 。独立独立作业作业评评:若抛物线若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标与轴的两个交点坐标分别是分别是A（ x1，0 ），）， B（x2，0 ），利用），利用根与系数的关系，求证：根与系数的关系，求证：A、B两点间的距离两点间的距离 AB=4、判断下列各抛物线是否与、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果轴相交，如果相交，求出交点的坐标。相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45. 已知抛物线已知抛物线 ,求抛物线与求抛物线与y轴的轴的交点坐标交点坐标;求抛物线与求抛物线与x轴的两个交点间
11、的距离轴的两个交点间的距离.6 6、抛物线、抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的图象全部在）的图象全部在轴下方的条件是（轴下方的条件是（ ）（A A）a a0 b0 b2 2-4ac0-4ac0（B B）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 0（C C）a a0 b0 b2 2-4ac-4ac0 (D0 (D）a a0 b2-4ac0 b2-4ac0 0D7已知二次函数已知二次函数-ax2，下列说法，下列说法不正确不正确的是（）的是（）当当,时时,总取负值总取负值当当,时时,随的增大而减随的增大而减小小当时，函数图象有最低点，即当时，函数图象有最低点，即有最小值
12、有最小值当，当， -ax2的对称轴是轴的对称轴是轴D三、例题精讲三、例题精讲1、已知抛物线、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与）若抛物线与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求m的值。的值。（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只有一个交点， 求求m的值。的值。提示提示：（：（1）44（m1）0注：本题也可问当此抛物线顶点在注：本题也可问当此抛物线顶点在x轴上轴上时，求时，求m的值。的值。（2）即方程）即方程x2+2x+m+1=x+2m的根的根只有一个。只有一个。2、已知抛物线、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与与x轴有两个交点轴有两个交点A
13、、B，其中，其中A在在x轴的正半轴，轴的正半轴，B在在x轴的负半轴，轴的负半轴，1）若）若OA=3OB，求，求m的值。的值。2）若）若3（OA-OB）=2OAOB，求，求m的值。的值。例题精讲例题精讲学以致用学以致用右图是泰州某河上一座古拱桥的右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是物线两端点与水面的距离都是1m1m，拱桥的拱桥的跨度为跨度为10m10m，桥洞与水面的最大距离是桥洞与水面的最大距离是5m5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m4m的景观的景观灯若把拱桥的截面图放在平面
14、直角坐标灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）系中（如下图）1 1、求抛物线、求抛物线 的解析式的解析式2 2、求两盏景观灯之、求两盏景观灯之间的水平距离间的水平距离5110?5m1m10m?ABCD4注意知识的联系哦注意知识的联系哦学以致用学以致用n已知二次函数已知二次函数y=x2-kx-2+k.n(1)求证求证:不论不论k取何值时，这个二次函数取何值时，这个二次函数ny=x2-kx-2+k与与x轴有两个不同的交点。轴有两个不同的交点。n(2)k为何值时为何值时,二次函数二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点与轴两个交点A、B之间的距离最小？之间的距离最小？n（3）设此抛物线与
15、）设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，当，当k为为6时时,求求SABC .四、小结四、小结1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的两个交点轴的两个交点坐标分别是坐标分别是A（x1，0 ），）， B（ x2，0 ）2、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式与二次三项式ax2+bx+c及二次函数及二次函数y=ax2+bx+c这三个这三个“二次二次”之间互相之间互相转化转化的关系。体现了的关系。体现了数形结合数形结合的思想。的思想。3、A、B两点间的距离两点间的距离AB= 。4、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c何时为一元二次方程何时为一元二次方程?它它们的关系如何们的关系如何?小结 拓展祝你成功！驶向驶向胜利的胜利的彼岸彼岸课后探究课后探究校运会上，某运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=-0.2x2+2x+1.7，则此运动员的成绩是多少？再再 见见
