一维周期场中电子运动近自由电子近似

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1、4.2 4.2 一一一一维维周期周期周期周期场场中中中中电电子运子运子运子运动动的近自由的近自由的近自由的近自由电电子近似子近似子近似子近似 1. 1. 模型和微模型和微模型和微模型和微扰计扰计算算算算 近自由近自由近自由近自由电电子近似模型子近似模型子近似模型子近似模型 金属中金属中金属中金属中电电子受到原子子受到原子子受到原子子受到原子 实实周期性周期性周期性周期性势场势场的作用的作用的作用的作用 假定假定假定假定势场势场的起伏的起伏的起伏的起伏较较小小小小零零零零级级近似近似近似近似 用用用用势场势场平均平均平均平均值值代替原子代替原子代替原子代替原子实产实产生的生的生的生的势场势场周期

2、性周期性周期性周期性势场势场的起伏量作的起伏量作的起伏量作的起伏量作为为微微微微扰扰来来来来处处理理理理1 1一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似1)1)、零、零、零、零级级近似下近似下近似下近似下电电子的能量和波函数子的能量和波函数子的能量和波函数子的能量和波函数 一一一一维维N N个原子个原子个原子个原子组组成的金属，金属的成的金属，金属的成的金属，金属的成的金属，金属的线线度度度度零零零零级级近似下近似下近似下近似下薛定薛定薛定薛定谔谔方程方程方程方程这这是恒定是恒定是恒定是恒定场场 中的自由粒子。中的自由粒子。中的自由粒子。中的自由粒子。波函数和能量本征

3、波函数和能量本征波函数和能量本征波函数和能量本征值值2 2一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似波函数波函数波函数波函数满满足正交足正交足正交足正交归归一化一化一化一化 l l 为为整数整数整数整数2)2)、微、微、微、微扰扰下下下下电电子的能量本征子的能量本征子的能量本征子的能量本征值值 哈密哈密哈密哈密顿顿量量量量满满足周期足周期足周期足周期边边界条件界条件界条件界条件3 3一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似根据微根据微根据微根据微扰扰理理理理论论，电电子的能量本征子的能量本征子的能量本征子的能量本征值值一一一一级级能量修正能

4、量修正能量修正能量修正4 4一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似二二二二级级能量修正能量修正能量修正能量修正 按原胞划分写成按原胞划分写成按原胞划分写成按原胞划分写成 引入引入引入引入积积分分分分变变量量量量 5 5一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似利用利用利用利用势场势场函数的周期性函数的周期性函数的周期性函数的周期性i) i) V Vn n 周期周期周期周期场场V V( (x x) )的第的第的第的第n n个傅立叶系数个傅立叶系数个傅立叶系数个傅立叶系数6 6一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近

5、似ii)ii) 7 7一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似二二二二级级能量修正式能量修正式能量修正式能量修正式8 8一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似计计入微入微入微入微扰扰后后后后电电子的能量子的能量子的能量子的能量 9 9一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似3)3)、微、微、微、微扰扰下下下下电电子的波函数子的波函数子的波函数子的波函数 电电子的波函数子的波函数子的波函数子的波函数波函数的一波函数的一波函数的一波函数的一级级修正修正修正修正1010一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中

6、电子运动近自由电子近似计计入微入微入微入微扰电扰电子的波函数子的波函数子的波函数子的波函数1111一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似令令令令可以可以可以可以证证明明明明电电子波函数子波函数子波函数子波函数 具有布洛赫函数形式具有布洛赫函数形式具有布洛赫函数形式具有布洛赫函数形式1212一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 电电子波函数的意子波函数的意子波函数的意子波函数的意义义 i) i) 电电子波函数和散射波子波函数和散射波子波函数和散射波子波函数和散射波波矢波矢波矢波矢为为k k的前的前的前的前进进的平面波的平面波的平面波的

7、平面波 平面波受到周期性平面波受到周期性平面波受到周期性平面波受到周期性势场势场作用作用作用作用产产生生生生的散射波的散射波的散射波的散射波散射波的波矢散射波的波矢散射波的波矢散射波的波矢为为：相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅1313一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似散射波散射波散射波散射波若若若若则则散射波成份的振幅散射波成份的振幅散射波成份的振幅散射波成份的振幅波函数一波函数一波函数一波函数一级级修正修正修正修正项项 微微微微扰扰法不再适用了法不再适用了法不再适用了法不再适用了1414一维周期场中电子运动近自

8、由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似ii) ii) 电电子波函数和不同子波函数和不同子波函数和不同子波函数和不同态态之之之之间间的相互作用的相互作用的相互作用的相互作用与它有微与它有微与它有微与它有微扰扰矩矩矩矩阵阵元的其它零元的其它零元的其它零元的其它零级级波函数波函数波函数波函数在原来的零在原来的零在原来的零在原来的零级级波函数波函数波函数波函数 中中中中掺掺入入入入 它它它它们们的能量差越小的能量差越小的能量差越小的能量差越小掺掺入的部分就越大入的部分就越大入的部分就越大入的部分就越大1515一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似当当当当 时时 两个

9、状两个状两个状两个状态态具有相同的能量具有相同的能量具有相同的能量具有相同的能量 导导致了波函数的致了波函数的致了波函数的致了波函数的发发散散散散1616一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 电电子能量的意子能量的意子能量的意子能量的意义义二二二二级级能量修正能量修正能量修正能量修正当当当当 ，即，即，即，即 时时 电电子的能量是子的能量是子的能量是子的能量是发发散的散的散的散的 k k和和和和kk两个状两个状两个状两个状态态具有相同的能量，具有相同的能量，具有相同的能量，具有相同的能量，k k和和和和k k 态态是是是是简简并的并的并的并的1717一维周期场中

10、电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似4)4)、电电子波矢在子波矢在子波矢在子波矢在 附近的能量和波函数附近的能量和波函数附近的能量和波函数附近的能量和波函数 取小量取小量取小量取小量 对应对应的状的状的状的状态为态为周期性周期性周期性周期性势场势场中，中，中，中，对对状状状状态态 k k 有主要影响的状有主要影响的状有主要影响的状有主要影响的状态为态为 只考只考只考只考虑虑影响最大的状影响最大的状影响最大的状影响最大的状态态，忽略其它状，忽略其它状，忽略其它状，忽略其它状态态的影响的影响的影响的影响1818一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似

11、简简并波函数并波函数并波函数并波函数 简简并微并微并微并微扰问题扰问题中，波函数由中，波函数由中，波函数由中，波函数由简简并波函数并波函数并波函数并波函数线线性性性性组组合构成合构成合构成合构成薛定薛定薛定薛定谔谔方程方程方程方程考考考考虑虑到到到到得到得到得到得到1919一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似分分分分别别以以以以 或或或或 从左从左从左从左边边乘方程，乘方程，乘方程，乘方程，对对 x x 积积分分分分利用利用利用利用线线性代数方程性代数方程性代数方程性代数方程a a, , b b有非零解有非零解有非零解有非零解能量本征能量本征能量本征能量本征值值

12、2020一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似i) i)波矢波矢波矢波矢k k离离离离 较远较远，k k状状状状态态的能量和状的能量和状的能量和状的能量和状态态k k 差差差差别较别较大大大大将将将将 按按按按 泰勒泰勒泰勒泰勒级级数展开数展开数展开数展开2121一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似2222一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 k k和和和和k k 能能能能级级相互作用的相互作用的相互作用的相互作用的结结果是原来能果是原来能果是原来能果是原来能级较级较高的高的高的高的k k 提高提高提

13、高提高 原来能原来能原来能原来能级较级较低的低的低的低的k k下下下下压压 量子力学中微量子力学中微量子力学中微量子力学中微扰扰作用下，两个相互影响的能作用下，两个相互影响的能作用下，两个相互影响的能作用下，两个相互影响的能级级，总总是是是是 原来原来原来原来较较高的能量提高了，原来高的能量提高了，原来高的能量提高了，原来高的能量提高了，原来较较低的能量降低了低的能量降低了低的能量降低了低的能量降低了 能能能能级间级间“排斥作用排斥作用排斥作用排斥作用” 与非与非与非与非简简并并并并结结果表达式果表达式果表达式果表达式类类似似似似2323一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近

14、自由电子近似ii)ii)波矢波矢波矢波矢k k非常接近非常接近非常接近非常接近 ，k k状状状状态态的能量和的能量和的能量和的能量和k k 能量差能量差能量差能量差别别很小很小很小很小将将将将 按按按按 泰勒泰勒泰勒泰勒级级数展开数展开数展开数展开2424一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似2525一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似结结果分析果分析果分析果分析 i) i) 两两两两个个个个相相相相互互互互影影影影响响响响的的的的状状状状态态k k和和和和k k 微微微微扰扰后后后后，能能能能量量量量变变为为E E+ +和和和和E

15、 E- -，原原原原来来来来能量高的状能量高的状能量高的状能量高的状态态 ，能量提高；原来能量低的状，能量提高；原来能量低的状，能量提高；原来能量低的状，能量提高；原来能量低的状态态能量降低能量降低能量降低能量降低2626一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似两个相互影响的状两个相互影响的状两个相互影响的状两个相互影响的状态态k k和和和和k k 微微微微扰扰后，能量后，能量后，能量后，能量变为变为E E+ +和和和和E E- -2727一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似ii) ii) 当当当当 0 0 时时 0, 0, 00,

16、0, 00两两两两个个个个方方方方向向向向当当当当0 0的的的的共共共共同极限同极限同极限同极限2828一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似2. 2. 能能能能带带和和和和带带隙隙隙隙( (禁禁禁禁带带) ) 零零零零级级近似下，将近似下，将近似下，将近似下，将电电子看作是自由粒子看作是自由粒子看作是自由粒子看作是自由粒子，能量本征子，能量本征子，能量本征子，能量本征值值曲曲曲曲线为线为抛物抛物抛物抛物线线 微微微微扰扰情情情情形形形形下下下下：电电子子子子的的的的k k不不不不在在在在 n n/ /a a附附附附近近近近时时，与与与与k k状状状状态态相相相相

17、互互互互作用的其它作用的其它作用的其它作用的其它态态的能量与的能量与的能量与的能量与k k状状状状态态的零的零的零的零级级能量相差大能量相差大能量相差大能量相差大即即即即满满足足足足 k k状状状状态态不不不不计计二二二二级级能量修正能量修正能量修正能量修正 抛物抛物抛物抛物线线2929一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似当当当当电电子的子的子的子的 和和和和 两种情形两种情形两种情形两种情形时时存在存在存在存在 一个的一个的一个的一个的态态，和，和，和，和 状状状状态态能量相同能量相同能量相同能量相同同同同同样样，存在一个，存在一个，存在一个，存在一个 的的的

18、的态态 ，和，和，和，和 状状状状态态能量相近能量相近能量相近能量相近 简简并微并微并微并微扰计扰计算中，只考算中，只考算中，只考算中，只考虑虑以上两种状以上两种状以上两种状以上两种状态态之之之之间间的相互作用的相互作用的相互作用的相互作用由于周期性由于周期性由于周期性由于周期性势场势场的微的微的微的微扰扰，能量本征，能量本征，能量本征，能量本征值值在在在在 处处断开断开断开断开能量的突能量的突能量的突能量的突变为变为3030一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似能量本征能量本征能量本征能量本征值值在在在在断开断开断开断开两个两个两个两个态态的能量的能量的能量的能

19、量间间隔隔隔隔电电子波矢取子波矢取子波矢取子波矢取值值 对对于一个于一个于一个于一个l l，有一个量子，有一个量子，有一个量子，有一个量子态态k k能量本征能量本征能量本征能量本征值值 当当当当N N很大很大很大很大时时，E Ek k视为视为准准准准连续连续3131一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似能量本征能量本征能量本征能量本征值值在在在在 处处断开断开断开断开 断裂断裂断裂断裂宽宽度度度度 由于晶格周期性由于晶格周期性由于晶格周期性由于晶格周期性势场势场的影响，晶体中的影响，晶体中的影响，晶体中的影响，晶体中电电子准子准子准子准连续连续的能的能的能的能级级

20、发发生一系列的断裂生一系列的断裂生一系列的断裂生一系列的断裂3232一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 结结果及果及果及果及讨论讨论 1) 1) 底部，能量向上弯曲；底部，能量向上弯曲；底部，能量向上弯曲；底部，能量向上弯曲；顶顶部，能量向下弯曲部，能量向下弯曲部，能量向下弯曲部，能量向下弯曲3333一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似2) 2) 断裂出断裂出断裂出断裂出现现在波矢空在波矢空在波矢空在波矢空间间倒格矢的中点倒格矢的中点倒格矢的中点倒格矢的中点处处3434一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由

21、电子近似3) 3) 断裂的断裂的断裂的断裂的宽宽度度度度 取取取取 决决决决于于于于金金金金属属属属中中中中势势场场的形式的形式的形式的形式3535一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 能能能能带带及一般性及一般性及一般性及一般性质质 自由自由自由自由电电子的能子的能子的能子的能谱谱是抛物是抛物是抛物是抛物线线型型型型 晶体弱周期性晶体弱周期性晶体弱周期性晶体弱周期性势场势场的微的微的微的微扰扰，电电子能子能子能子能谱谱在布里渊在布里渊在布里渊在布里渊边边界界界界产产生的生的生的生的宽宽度度度度为为 发发生能量生能量生能量生能量跃变跃变 在在在在远远离离离离布布

22、布布里里里里渊渊渊渊区区区区边边界界界界，近近近近自自自自由由由由电电子子子子的的的的能能能能谱谱和和和和自自自自由由由由电电子子子子的的的的能能能能谱谱相近相近相近相近3636一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 每每每每个个个个波波波波矢矢矢矢k k有有有有一一一一个个个个量量量量子子子子态态，当当当当晶晶晶晶体体体体中中中中原原原原胞胞胞胞的的的的数数数数目目目目趋趋于于于于无无无无限限限限大大大大时时，波波波波矢矢矢矢k k变变得得得得非非非非常常常常密密密密集集集集，这这时时能能能能级级的的的的准准准准连连续续分分分分布布布布形形形形成成成成了一系列的

23、能了一系列的能了一系列的能了一系列的能带带： 各各各各能能能能带带之之之之间间是是是是禁禁禁禁带带, , 在在在在完完完完整整整整的的的的晶晶晶晶体体体体中中中中，禁禁禁禁带带内内内内没没没没有有有有允允允允许许的的的的能能能能级级3737一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似能能能能带带序号序号序号序号k k的范的范的范的范围围k k的的的的长长度度度度布里渊区布里渊区布里渊区布里渊区 一一一一维维布布布布喇喇喇喇菲菲菲菲格格格格子子子子，能能能能带带序序序序号号号号、能能能能带带所所所所涉涉涉涉及及及及波波波波矢矢矢矢k k的的的的范范范范围围和布里渊区的和布

24、里渊区的和布里渊区的和布里渊区的对应对应关系关系关系关系第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第三布里渊区第三布里渊区第三布里渊区3838一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似一一一一维维布喇菲格子，能布喇菲格子，能布喇菲格子，能布喇菲格子，能带带序号、波矢序号、波矢序号、波矢序号、波矢k k和布里渊区和布里渊区和布里渊区和布里渊区对应对应关系关系关系关系3939一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 每个能每个能每个能每个能带带中包含的量子中包含的量子中包含的量子

25、中包含的量子态态数目数目数目数目波矢波矢波矢波矢k k的取的取的取的取值值 k k的数目的数目的数目的数目每个能每个能每个能每个能带对应带对应k k的取的取的取的取值值范范范范围围各个能各个能各个能各个能带带k k的取的取的取的取值值数目数目数目数目 原胞的数目原胞的数目原胞的数目原胞的数目 计计入自旋，每个能入自旋，每个能入自旋，每个能入自旋，每个能带带中包含中包含中包含中包含2 2N N个量子个量子个量子个量子态态4040一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 电电子波矢和量子数子波矢和量子数子波矢和量子数子波矢和量子数简约简约波矢的关系波矢的关系波矢的关系波

26、矢的关系 第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区简约简约波矢波矢波矢波矢 的取的取的取的取值值范范范范围围平移算符本征平移算符本征平移算符本征平移算符本征值值量子数量子数量子数量子数k k（简约简约波矢，波矢，波矢，波矢，计为计为 ）和）和）和）和电电子波矢子波矢子波矢子波矢k k之之之之间间的关系的关系的关系的关系 故，又称故，又称故，又称故，又称简约简约布里渊区布里渊区布里渊区布里渊区近自由近自由近自由近自由电电子中子中子中子中电电子的波矢子的波矢子的波矢子的波矢在一在一在一在一维维情形中情形中情形中情形中 mm为为整数整数整数整数 l l 为为整数整数整数整数4141一维周期场

27、中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似电电子的波函数子的波函数子的波函数子的波函数可以表示可以表示可以表示可以表示为为 晶格周期性函数晶格周期性函数晶格周期性函数晶格周期性函数4242一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似将将将将 代入代入代入代入4343一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 晶格周期性函数晶格周期性函数晶格周期性函数晶格周期性函数 晶体中晶体中晶体中晶体中电电子的波函数子的波函数子的波函数子的波函数利利利利用用用用电电子子子子波波波波矢矢矢矢和和和和简简约约波波波波矢矢矢矢的的的的关关关关系系系

28、系，电电子子子子在在在在周周周周期期期期性性性性势势场场中中中中的波函数的波函数的波函数的波函数为为布洛赫函数布洛赫函数布洛赫函数布洛赫函数4444一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 用用用用简约简约波矢来表示能波矢来表示能波矢来表示能波矢来表示能级级 电电子的能子的能子的能子的能级级 mm为为整数，整数，整数，整数，对应对应于不同的能于不同的能于不同的能于不同的能带带4545一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似电电子波矢子波矢子波矢子波矢k k和和和和简约简约波矢波矢波矢波矢 的的的的关系关系关系关系 4646一维周期场中电子

29、运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似周周周周期期期期性性性性势势场场的的的的起起起起伏伏伏伏只只只只使得不同能使得不同能使得不同能使得不同能带带相同相同相同相同简约简约波矢波矢波矢波矢 的状的状的状的状态态之之之之间间的相互影响的相互影响的相互影响的相互影响 对对于于于于一一一一般般般般的的的的 ( (远远离离离离布布布布里里里里渊渊渊渊边边界界界界) )这这些些些些状状状状态态间间的的的的能能能能量量量量相相相相差差差差较较大大大大，在在在在近近近近自自自自由由由由电电子子子子近近近近似似似似的的的的微微微微扰扰计计算算算算中中中中，采采采采用用用用非非非非简简并微并微并微并微扰扰4747一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似简约简约波矢波矢波矢波矢 及及及及其其其其 附附附附近近近近，存存存存在在在在两两两两个个个个能能能能量量量量相相相相同同同同或或或或能能能能量量量量相相相相近近近近的的的的态态，需需需需要要要要简简并并并并微微微微扰扰理理理理论论来来来来计计算算算算结结果表明在果表明在果表明在果表明在 和和和和 不不不不同同同同能能能能带带之之之之间间出出出出现带现带隙隙隙隙 禁禁禁禁带带4848一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似