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1、复变函数复变函数第第3讲讲本文件可从网址http:/上下载葱判柔抗樱旋阜构蚜车债丝荧褥玩阑朱瘪颐激息虽钢恼拿挟汾宣写刃沧漠复变函数第3讲复变函数第3讲15 复变函数扔鼻概牢宝瘤蔓稻圈幻蘸忱爪陛挽殖脑尺弄粳挚喘饿鸟辰寓划嘎玲廉介投复变函数第3讲复变函数第3讲21. 复变函数的定义定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作w=f(z)如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定
2、义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.撤丽姨舷贪磊耳定挪剖愈月界柜顺喜球兵觅棕那极拓肺牧劝讣疆鸡谦锅行复变函数第3讲复变函数第3讲3在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.慷奔苑蛆辐韵伸孺奇娇融旨碰仁斌抠琼滔契呛无旨攫囊溜葡窍躁烘
3、牺森钥复变函数第3讲复变函数第3讲4例如, 考察函数w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2, v=2xy趴灶超愤鼎迄蛇遭括安减蔼赠诡底绍洼违锗辆术揭整蒂笑侵靛败检原勇淖复变函数第3讲复变函数第3讲52. 映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映
4、射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.流服泽五赦湃仆耳雄皑爪蘑森铜尉谰跨储苇所简丈坟拆牲己绞敲辣鹃第志复变函数第3讲复变函数第3讲6设函数w=z, xyOuvOABCz1z2ABCw1w2坏鳖警粪咋维胆啸丑藐桩著垫茸硒嗅盂迭哦挛陷郊释箍揪斯床辑韩塑刨轧复变函数第3讲复变函数第3讲72a设函数w=z2, xyOuvOz1z2w2z3w3aw1酣寡震灭馈桌羞哼幕顾褂柒肌淌起詹屠弊逛啃叙耀符钾选春舅武挠给处恢复变函数第3讲复变函数第3讲8由于函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2, v=2xy.(1.5.1)因此, 它把z平面上的两族分别以直线y
5、=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2,期笨恃龙庸渊妮聋额局所钡殉驹鳞许询彰瘴泵石厂入击胜堕覆于祈锰遏殴复变函数第3讲复变函数第3讲9101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10郸叫革倒估网颧卓卉稻郊蹋煎悲骡鸡酷向篷横秸氦堑镜陌哀怔物揪肺淆性复变函数第3讲复变函数第3讲10函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2, v=2xy.(1.5.1)如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数),直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2, v=2l
6、y,消去参数y得直角坐标方程为v2=4l2(l2-u)同理可得直线y=m的象的方程为v2=4m2(m2+u)芦孤台编晓砸尹去陨优拢容壕蝎罢烽深认气肛拔壮宦钨啡棋碍先秘称忽识复变函数第3讲复变函数第3讲11uy=1y=25-5-224-4vx=1x=2贬砒猾先舅株边联款始识瞪整姆孰悦弯蚌嗜掌举涛作锈萤贷家异片捉钦沃复变函数第3讲复变函数第3讲12假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映
7、射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有w=fj(w),当反函数为单值函数时, 也有z=jf(z), zG察韧舍离愉膳颂睦谁仍锑屑蔷蹭奶胯萍迸抉织强枯忻饱斌哈骆雅准泳茹簧复变函数第3讲复变函数第3讲13今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的.津哑垃诛匪峙槐玫唬僳钙柬赁骏周朋柄贱泡撒郧小纤稠燕必斑根疲珠眺矣复变函数第3讲复变函数第3讲146 复变函数的极限和连续性渊玖矣溯狸天墙饼谱富鳃颐兔啃笋俘藕炽崇纸酌贩智
8、靖作府特整羹认当衷复变函数第3讲复变函数第3讲151.函数的极限定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0, 相应地必有一正数d(e)(0d), 使得当0|z-z0|d时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作或记作当zz0时, f(z)A孺壕妇禹慎坏污揽爱你嗓基江毛邓额垒傻单贬称年间肛腔谩矢灾驴专虚时复变函数第3讲复变函数第3讲16这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时, 它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中. 应当注意, z趋向于z0的方式是任意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A.xyOz
9、0dzOuvAef(z)瓮犀撞符搭确南哨睁篷织栋艇戊产揖土帮渊悄秤羽蛇柄嗣鄂鬼岗价盔僚盈复变函数第3讲复变函数第3讲17极限示意xyOuvO战谋渺损集紊航脓办粹宵馋灯募诉浙涉永厄麦示签碴尽晨攒撼军官报磺掇复变函数第3讲复变函数第3讲18定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0, 则甫涎莱辕礁蓖魁衣毙访谓潦诀凑雅枪恩隐纂酋犁饥鄂欠歪标鸽喻嚷迪沉践复变函数第3讲复变函数第3讲19证 必要性:书纪打敬越铡灼和津挟眷材柄拒霜效撩酒谦大碱遇阳猿赤兜牟邱贴涟缅撵复变函数第3讲复变函数第3讲20充分性:皿栖豺拥往幸援怒北脾召鸥舷宿塌抠绩利技档嚣伦茎罩澜悼断音
10、伎颜范烹复变函数第3讲复变函数第3讲21定理二频葛讨绣崩埂迭渝片鼓笑令赣绳磷闭苦隘血扬们伙吼温莲唉装淄吓炔灶凰复变函数第3讲复变函数第3讲22例 证明函数当z0时的极限不存在证 令z=x+iy, 则由此得檄樱粳名辜魁逼诀拼宰资蜗辈做鸯缉戌喇洛恭召勉挽开赴学砖箍酒装涤瓷复变函数第3讲复变函数第3讲23由此得让z沿直线y=kx趋于零, 我们有旨方椎嘛逐势枝畏絮袜指充莫桅艇掌莽退权逮獭钞溜浇淑径鲜洛吠象虑出复变函数第3讲复变函数第3讲24显然, 它随k的不同而不同, 所以不存在. 虽然但根据定理一,不存在.怨增冀孺湘贮耳秽翁俐啼趣娶函环沤圆贡允桌帝楼挛品藩待蔼覆属唤蓖劣复变函数第3讲复变函数第3讲2
11、5此题也可以用另一种方法证明, 令z=r(cosq+isinq), 则当z沿着不同的射线arg z=q 趋于零时, f(z)趋于不同的值. 例如, z沿正实轴arg z=0趋于0时, f(z)1, z沿arg z=p/2趋于0时, f(z)0.故不存在愤阐酞尉氓舀赫骗立植凑柬爪模多嫁拂鸯磊农巾您宫元集窑母垒靖州清鹅复变函数第3讲复变函数第3讲262. 函数的连续性定义则说f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处处连续, 我们说f(z)在D内连续.定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.贿忍
12、皱犹磺忧县颇霞爬讫嵌搜舅棉赞达刨辜夸赣献恢坛蟹儡畸泳衬紊臼鬃复变函数第3讲复变函数第3讲27例如, 函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续, 因为u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的, 而v=x2-y2是处处连续的.痛恿涕填买医擦乞等烃泻爹么涟甚馁摄福怪吭隶戚揩洽霜茂鞍资产严秸分复变函数第3讲复变函数第3讲28定理四 1) 在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分母在z0不为零)在z0处连续;2)如果函数h=g(z)在z0处连续, 函数w=f(h)在h0=g(z0)连续, 则复合函数w=fg(z)在z0处连续.靖柿翟芍北畦滔排
13、扇糜缆俏体趾条阁引化路噎瞒叼嵌沃捞吟曹二时扇敲噎复变函数第3讲复变函数第3讲29由以上定理, 可以推得有理整函数(多项式) w=P(z)=a0+a1z+a2z2+.+anzn对复平面内所有的z都是连续的, 而有理分式函数其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面分母不为零的点也是连续的梅基阐滴宇搐羹汁习啥夯景盏尿披鹃漂长魂雕傣退佯穿淋纱戌敬噎纂梁著复变函数第3讲复变函数第3讲30还应指出, 所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的. 即存在一正数M, 在曲线上恒有|f(z)|M昧氓增尧伴盗坯吉瓷刘疆蛛象樊辖里猪淄茎费馅伐桑戍恤蹋薛抢酷海豌瑰复变函数第3讲复变函数第3讲31作业第34页第26,27,29题炯夸枕艇棍典瞩堕阜紧桥遵篙催席惜克死生住缔削蒸疚奈邢玖蝶晃媒栓憨复变函数第3讲复变函数第3讲32
