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1、 第二章第二章第二章第二章 单自由度系统在简谐激励下的受迫振单自由度系统在简谐激励下的受迫振单自由度系统在简谐激励下的受迫振单自由度系统在简谐激励下的受迫振动动动动2.1.1振动微分方程振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论、相位差的讨论2.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系2.1.5等效粘性阻尼等效粘性阻尼2.1.6简谐激励作用下受迫振激励作用下受迫振动的的过渡渡阶段段受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动激励形式激励形式激励形式激励形式系统在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。系统
2、在外界激励下产生的振动。系统在外界激励下产生的振动。 外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。也可以是非周期函数。也可以是非周期函数。也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。可以通过傅里叶级
3、数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解齐次齐次齐次齐次解解解解: :x x1 1( (t t) )特解特解特解特解: :x x2 2( (t t) )有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方
4、程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解2.1.1振动微分方程振动微分方程2.1.1振动微分方程振动微分方程简谐激振力简谐激振力以平衡位置以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，x轴铅直向轴铅直向下为正，物块运动微分方程为下为正，物块运动微分方程为具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x x2 2( (t t)- )-有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时有阻尼系统简谐激励响应中的
5、特解是指不随时有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：间衰减的稳态响应：间衰减的稳态响应：间衰减的稳态响应：2.1.1振动微分方程振动微分方程它与激励同频，但有一个相位差它与激励同频，但有一个相位差它与激励同频，但有一个相位差它与激励同频，但有一个相位差简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动简谐激励下的全解、瞬态振动和稳态振动 可见，对于工程实际来说，更关心的是可见，对于工程实际来说，更关心的是可见，对于工程实际来说，更关心的是可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动，稳态振动，因为瞬态振动只在振动开始后的一段时间内才有因为瞬态振动只在
6、振动开始后的一段时间内才有意义意义。By substituting the particular solution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations Equating the coefficients of and onboth sides of the resulting equation, we obtainSolution of the above equation gives the amplitude and
7、phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。关，仅仅取决于系统和激励的特性。关，仅仅取决于系统和激励的特性。关，仅仅取决于系统和激励的特性。2.1.1振动微分方程振动微分方程2.1.2受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差的讨论
8、的讨论在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。3、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2,这也是共振的重要现象。这也是共振的重要现象。2.
9、1.2受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差、相位差的讨论的讨论5 品质因子与半功率带宽品质因子与半功率带宽共振(仍按 考虑)时的放大因子称为品质因子。由前面的公式得品质因子与半功率带宽在1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对称的。放大因子为 的两个点称为半功率点。对应于这两个点的激励频率分别为 和 ，它们的差 称为半功率带宽。利用放大因子的表达式，可以求得两个半功率点对应的频率比，即外激励频率，注意到 可得品质因子反映了系统阻尼的强弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根据试验估算品质因子或阻尼比。例题例题. . 质量为质量为M M 的电机安装在弹性基础的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，
10、产生偏心，偏心距上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为为e e，偏心质量为，偏心质量为m m。转子以匀角速。转子以匀角速w w转动转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为用相当于弹簧常量为k k的弹簧。设电机运的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c c。解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F F、阻尼力F FR、虚加的惯性力F FIe、F FIr，受力图如图所示。 转子偏心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动根据达朗贝尔原理，有= h转子偏
11、心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动电机作受迫振动的运动方程为当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 阻尼比z 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 幅频幅频幅频幅频特性特性特性特性曲线曲线曲线曲线和相和相和相和相频特频特频特频特性曲性曲性曲性曲线线线线转子偏心引起的受迫振动转子偏心引起的受迫振动简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较简谐力和转子偏心引起的受迫振动的比较The f
12、orm of this equation is identical to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion isMaking the substitutionEq. becomeswhere y = Y has been assumed for the motion of the base. Thus the solution can be immediately written as Responseofadampedsystemundertheharmonic
13、motionofthebaseIf the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givesSubstituting into Eq., we obtainandResponseofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseThe steady-state amplitude and phase from this equation areandRespon
14、seofadampedsystemundertheharmonicmotionofthebaseResponseofadampedS.D.O.F.systemundertheharmonicmotionofthebaseStophereafter100minutes 幅频特性曲线和相频特性曲线幅频特性曲线和相频特性曲线幅频特性曲线和相频特性曲线幅频特性曲线和相频特性曲线也可以不按相对运动求解（见郑兆昌机械振动），而直接求解质量块的绝对运动。此时的运动微分方程为即相当于质量块受到了两个简谐激励的作用。不论是利用三角函数关系还是利用复指数函数，所得结果与上述结果相同。2.1.3受迫振动系统力矢量的
15、关系受迫振动系统力矢量的关系已知简谐激振力稳态受迫振动的响应为现将各力分别用 B、 的旋转矢量表示。应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成式不仅反映了各力间的相位关系，而且表示着一个力多边形。惯性力阻尼力弹性力激振力（a）力多边形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.1.3受迫振动系统力矢量的关系受迫振动系统力矢量的关系2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系从从能能量量的的观观点点分分析析，振振动动系系统统稳稳态态受受迫迫振振动动的的实实现现，是是输输入入系系统统的的能能量量和和消消耗耗的的能能量量平平衡衡的的结结果果。现现将将讨讨论论简简谐谐激振力作用下的系统
16、，在稳态受迫振动中的能量关系。激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。受迫振动系统的稳态响应为受迫振动系统的稳态响应为周期 1. 激振力在系统发生共振的情况下，相位差在系统发生共振的情况下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期内做功为一周期内做功为 ，做功最多。，做功最多。 对于无阻尼系统对于无阻尼系统(除共振情况外除共振情况外)相位差相位差 。因此，。因此，每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。 或2.粘性阻尼力粘性阻尼力做的功做的功上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能量。上式表明，在一个周期内，阻尼做负功。它消耗系统的能
17、量。而且做的负功和振幅而且做的负功和振幅B的平方成正比。由于受迫振动在共振的平方成正比。由于受迫振动在共振区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地区内振幅较大，所以，粘性阻尼能明显地减小振幅、有效地控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量控制振幅的大小。这种减小振动的方法是用消耗系统的能量而实现的。而实现的。2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系3.弹性力弹性力做的功做的功能量曲线 表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。 在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消
18、耗的能量2.1.4受迫振动系统的能量关系受迫振动系统的能量关系2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段 系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。先先考考虑虑在在给给定定初初始始条条件件下下无无阻阻尼尼系系统统对对简简谐谐激激励励的的响响应应, ,系系统统的的运动微分方程和初始条件写在一起为运动微分方程和初始条件写在一起为通解是相应的齐次方程的通解与特解的和通解是相应的齐次方程的通解与特解的和, ,即即根据初始条件确定根据初始条件确定C1、C2。于是得到全解为。于是得到全解为其特点是振动频率为系
19、统的固有频率其特点是振动频率为系统的固有频率, ,但振幅与系统本身的性但振幅与系统本身的性质及激励因素都有关。质及激励因素都有关。无激励时的自由振动无激励时的自由振动系统对初始系统对初始条件的响应条件的响应对于存在阻尼的实际系统对于存在阻尼的实际系统, ,自由振动和自由伴随振动的振幅都将自由振动和自由伴随振动的振幅都将随时间逐渐衰减随时间逐渐衰减, ,因此它们都是瞬态响应。因此它们都是瞬态响应。稳态强迫振动稳态强迫振动伴随激励伴随激励而产生自而产生自由振动由振动, , 称为称为自由自由伴随振动伴随振动2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段共振时的情况共振时的
20、情况假设初始条件为假设初始条件为由共振的定义由共振的定义, , 时上式是时上式是 型型, ,利用洛必达法则算出共振时的利用洛必达法则算出共振时的响应为响应为 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段可可见见, ,当当时时 , ,无无阻阻尼尼系系统统的的振振幅幅随随时时间间无无限限增增大大. .经经过过短短暂暂时时间间后后, ,共振响应可以表示为共振响应可以表示为此即共振时的受迫振动此即共振时的受迫振动. .反映出共反映出共振时的位移在相位上比激振力滞后振时的位移在相位上比激振力滞后 , ,且振幅与时间成正比地增大且振幅与时间成正比地增大 2.1.5简谐激励作用
21、下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段图 共振时的受迫振动有有阻阻尼尼系系统统在在过过渡渡阶阶段段对对简简谐谐激激励励的的响响应应. .在在给给定定初初始始条条件件下下的运动微分方程为的运动微分方程为 全解为全解为式中2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段如果初始位移与初始速度都为零，则成为如果初始位移与初始速度都为零，则成为可见过渡阶段的响应仍含有自可见过渡阶段的响应仍含有自由伴随振动。由伴随振动。 2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段过渡阶段的响应过渡阶段的响应在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励
22、的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成总响应由三部分组成 无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激无激励时自由振动的初始条件响应，其振幅与激励无关。励无关。励无关。励无关。 伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其伴随激励而产生的自由振动自由伴随振动，其振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关
23、。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。振幅不仅与系统特性有关，而且与激励有关。 以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。稳态受迫振动。第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率第一部分和第二部分振动的频率都是自由振动频率p pd d；由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部
24、分的振幅都时间而衰减。由于阻尼的作用，这两部分的振幅都时间而衰减。2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自若系统无阻尼，即使在零初始条件下，也存在自由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随由伴随振动项，并且由于无阻尼，因而振动不会随时间衰减。时间衰减。时间衰减。时间衰减。因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受
25、迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，因此，无阻尼系统受简谐激励产生的受迫振动，一般总是一般总是一般总是一般总是p pn n和和和和 两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。两个不同频率简谐振动的叠加。2.1.5简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段2.1.6阻尼理论阻尼理论在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便在工程实际中，系统的阻尼大多是非粘性阻尼。为了便于于振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘振动分析，经常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼性阻尼。等效的原则是：粘性阻尼在一周
26、期内消耗的能量。等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振等于非粘性阻尼在一周期内消耗的能量。假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍然是简谐振动，即即非粘性阻尼在一个周期内非粘性阻尼在一个周期内消耗的能量消耗的能量：粘性阻尼在一周期内消耗的能量：粘性阻尼在一周期内消耗的能量：得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅得到在该阻尼作用下受迫振动的振幅 利用式利用式1）库库仑仑阻阻尼尼：即即干干摩摩擦擦阻阻尼尼，其其与与振振动动体体的的相相对对速速度度无关，故无关，故在一个周期内，库仑阻尼消耗的能
27、量为在一个周期内，库仑阻尼消耗的能量为 得到稳态振动的振幅表达式得到稳态振动的振幅表达式2）结构阻尼构阻尼：在一个：在一个周期内，周期内，结构构阻尼消耗的能量与阻尼消耗的能量与 振幅平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频振幅平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频 率无关，故率无关，故 得等效粘性阻尼系数为得等效粘性阻尼系数为 3）流体）流体阻尼阻尼：当物体以较大的速度在粘性较小的流体：当物体以较大的速度在粘性较小的流体中运动时，阻力与速度平方成正比。在一个中运动时，阻力与速度平方成正比。在一个周期内周期内 流体流体阻尼消耗的能量为阻尼消耗的能量为 专题一 隔振原理（见Word文档）专题二 测振原理（见Word文档）
