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1、“成比例线段”定理及其应用与拓展夏志雄成比例线段问题贯穿平面几何的相似形与圆两大章的内容，本文将从成比例线段的定义，性质及如何证明四条线段成比例问题作出探讨。在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。例：如果 a、b、c、d 四条线段满足，则 a、b、c、d 是成比例线段。如果，则 ad=bc;如果，则即；如果，则（a、b、c、d 为线段，）。证明四条线段成比例问题， 是常见的一种类型证明题， 此类型题如果能清晰地给学生讲明思路，学生将会茅塞顿开，他们的聪明才智和奇妙思想都将一齐涌现出来，得到问题的最佳证明。一、从基本图形得到四条线段成比例（1）、
2、平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如基本图1，L1/L2/L3，L4交 L1、L2、L3于分别于点 A、B、C，L5交 L1、L2、L3于分别于点 D、E、F，则 AB/BC=DE/EF（基本图 1）此定理课本几何第二册并没有给出严密证明，现证明如下：证明：连 AE、BD、CE、BFAD/BE/CFSABE =SBED， SBCE=SBEAB/BC=SABE/SBCE，DE/EF=SBED/SBEFAB/BC=DE/EF（2）、由平行线分线段成比例定理的推论得四条线段成例。如基本图 2、基本图 3（基本图 2）（基本图 3）AD/DB=AE/EC上两图，若 DE/
3、BC，则 AD/AB=AE/ACBD/AB=CE/AC二、由两个三角形相似得四条线段成比例这种方法，应用得非常普遍。即把要证明的四条线段放在两个合适的三角形中，通过证明两个三角形相似，然后应用两个三角形对应边成比例得到证明。此种方法常规方法大多数同不都能熟练应用，因此不再赘述。三、引入中介值或替换的思想，得四条线段成比例例 1、如图，过ABCD 的顶点 A 作一条直线与 BD、BC、DC 的延长线分别交于 E、F、G，求证：AE 是 EF、EG 的比例中项。证明：AD/BF，DG/ABEF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DEEF/AE=AE/EG，即 AE 是 EF、EG 的比例中项。以
4、上解法就应用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的传递性，即A=B，B=C，则 A=C。例 2、如图，在ABC中，AD 平分BAC 交 BC 于 D，AD 的垂直平分线交 AD 于 E，交 BC 的延2长线于 F，求证：FD =FBFC证明：连 AFEF 垂直平分 ADFA=FDFAD=FDAFAC=FADDAC，B=FDABAD而FAD=FDA，DAC=BADFAC=B又AFC=BFAFACFBAFC/FA=FA/BF，即 FA =FBFCFD =FBFC以上解法便利用“FA”取代“FD”，证明取代后的四条线段成比例即可。评注：本文提供的证明四条线段成比例的三大方法是有机的整体， 第一大方法是理论的基石； 第二大方法是第一大方法的应用，第三大方法可化归为一、二两大方法。22
