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1、4.4 4.4 动能定理的应用动能定理的应用1、动能能合外力所做的功等于物体动能的变化。合外力所做的功等于物体动能的变化。2、动能定理：、动能定理： 物体的动能等于物体质量与物体物体的动能等于物体质量与物体速度大小的二次方乘积的一半。速度大小的二次方乘积的一半。对动能表达式的理解：对动能表达式的理解：1、国际单位：焦耳 1kgm2/s2=1Nm=1J3、动能具有瞬时性，是状态量，v是瞬时速度（注意：v为合 速度或实际速度，一般都以地面为参考系）。2、动能是标量，且没有负值，动能与物体的质量和速度大小 有关，与速度方向无关。1、动能定理的普适性：对任何过程的恒力、变力；匀变速、非匀变速； 直线运
2、动、曲线运动；运动全程、运动过程某一阶段或瞬间过程都能运 用；用；( (只要不涉及加速度和时间，就可考虑用动能定理解决动力学问题)2、动能定理的研究对象一般是一个物体，也可以是几个物体组成的系统；4、对状态与过程关系的理解： a.功是过程量，动能是状态量。 b.动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。（涉及一个过程两个状态） c.动能定理反应做功的过程是能量转化的过程。等式的左边为合外力所做的功（或各个分力做功的代数和），等式右边动能的变化，指末动能EK2=1/2mv22与初能EK1=1/2mv12之差； 5、当外力做正功时，W0，故 Ek0，即Ek2Ek1,动能增加；当外力做负 功时，
3、W0，故Ek0 ， 即Ek2Ek1，动能减少。3、动能定理的计算式是标量式，遵循代数运算，v为相对地面的速度；我们对动能定理的理解我们对动能定理的理解例例1、一质为一质为2kg2kg的物体做自由落体运动，经过的物体做自由落体运动，经过A A点时的速度为点时的速度为10m/s10m/s，到达，到达B B点时的速度是点时的速度是20m/s20m/s，求，求: : (1) (1) 经过经过A A、B B两点时的动能分别是多少两点时的动能分别是多少? ? (2) (2) 从从A A到到B B动能变化了多少动能变化了多少? ? (3) (3) 从从A A到到B B的过程中重力做了多少功的过程中重力做了多
4、少功? ? (4) (4) 从从A A到到B B的过程中重力做功与动能的变化的过程中重力做功与动能的变化关系如何？关系如何？解（1）由 得 在A点时的动能为：在B点时的动能为：（2）从A到B动能的变化量为：（4）相等。即（3）由 得， AB过程重力做功为： 例例2、某同学从高为h 处以速度v0 水平投出一个质量为m 的铅球,求铅球落地时速度大小。 解：铅球在空中运动时只有重力做功，动能增加。设铅球的末速度为v，根据动能定理有 化简得 2 g h= v 2-v02 v0vmg应用动能定理解题一般步骤：应用动能定理解题一般步骤：（1 1）明确对象和过程）明确对象和过程（通常是单个物体）（通常是单个
5、物体）（通常是单个物体）（通常是单个物体）（2 2）做两方面的分析；）做两方面的分析； 受力分析，受力分析，求各力的功及其正负，写出总功。求各力的功及其正负，写出总功。 确定初、末状态确定初、末状态, ,写出初、末态的动能。写出初、末态的动能。（3 3）由动能定理列方程；）由动能定理列方程；温馨提示：请摘抄笔记！例例3 3、同一物体分别从高度相同，倾角同一物体分别从高度相同，倾角不同的光滑斜面的顶端滑到底端时，相不同的光滑斜面的顶端滑到底端时，相同的物理量是：同的物理量是：A.A.动能动能 B.B.速度速度 C.C.速率速率 D.D.重力所做的功重力所做的功例例4、质量为质量为m的物体放在动摩
6、擦因数为的物体放在动摩擦因数为的水平面上，在物体上施加水平力的水平面上，在物体上施加水平力F使物体由静止开始运动，经过位移使物体由静止开始运动，经过位移S后后撤去外力，物体还能运动多远？撤去外力，物体还能运动多远？F例例5、如图所示，半径为如图所示，半径为R的光滑半圆轨的光滑半圆轨道和光滑水平面相连，一物体以某一道和光滑水平面相连，一物体以某一初速度在水平面上向左滑行，那么物初速度在水平面上向左滑行，那么物体初速度多大时才能通过半圆轨道最体初速度多大时才能通过半圆轨道最高点？高点？R 例例6 6、质质量量为为m=3kgm=3kg的的物物体体与与水水平平地地面面之之间间的的动动摩摩擦擦因因数数=
7、0.2=0.2，在在水水平平恒恒力力F=9NF=9N作作用用下下起起动动，如如图图所所示示。当当m m位位移移s s1 1=8m=8m时时撤撤去去推推力力F F，试试问问：还还能能滑滑多多远远？(g(g取取10m/s10m/s2 2) ) 分析：物体m所受重力G、支持力N、推力F、滑动摩擦力f均为恒力，因此物体做匀加速直线运动；撤去F后，物体做匀减速直线运动因此，可用牛顿定律和匀变速直线运动规律求解 物体在动力F和阻力f作用下运动时，G和N不做功，F做正功，f做负功，因此，也可以用动能定理求解解法一：用牛顿定律和匀变速运动规律，对撤去F推力前、后物体运动的加速度分别为m在匀加速运动阶段的末速度
8、为将上两式相加，得答：撤去动力F后，物体m还能滑4m远 可否对全程运用动能定理？ 例例7、质量m=2kg的物块位于高h=0.7m的水平桌面上，物块与桌面之间的动摩擦因数=0.2,现用F=20N的水平推力使物块从静止开始滑动L1=0.5m 后撤去推力，物块又在桌面上滑动了L2=1.5m后离开桌面做平抛运动。求： （1）物块离开桌面时的速度 （2）物块落地时的速度(g=10m/s)L1+L2Fh例例8、一个质量为M的物体,从倾角为,高为H的粗糙斜面上端A点,由静止开始下滑,到B点时的速度为V,然后又在水平面上滑行距离S后停止在C点. 1. 物体从A点开始下滑到B点的过程中克服摩擦力所做的功为多少?
9、 2. 物体与水平面间的动摩擦系数为多大? A ABC例例9、如图所示，质量为如图所示，质量为m=2kg的小球，从半径的小球，从半径R=0.5m的半圆的半圆形槽的边缘形槽的边缘A点沿内表面开始下滑，到达最低点点沿内表面开始下滑，到达最低点B的速度的速度v=2m/s。求在弧。求在弧AB段阻力对物体所做的功段阻力对物体所做的功Wf f。（取。（取g=10m/sg=10m/s2 2) ) 思路点拨：物体在弧思路点拨：物体在弧AB段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做
10、功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。在这一过程中，可用动能定力是恒力，做正功，阻力做负功。在这一过程中，可用动能定理。理。解析：重力的功解析：重力的功由动能定理有：由动能定理有： 计算得：计算得： 总结升华：动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运总结升华：动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。力做功时可以是动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。力做功时可以是连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以连续的，也可以是不连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。是不在一条直线上的。例例10、在、在h高处，以初速度高处，以初速度
11、v0向向水平方向抛出一小球，不计空水平方向抛出一小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小气阻力，小球着地时速度大小为（为（ ）C物理过程中物理过程中不涉不涉及到及到加加速度和时间速度和时间，而只与物，而只与物体的体的初末状态初末状态有关的力有关的力学问题，优先应用动能学问题，优先应用动能定理。定理。例例11、如图如图4 4所示，所示，AB为为1/41/4圆弧轨道，半径为圆弧轨道，半径为R=0.8m=0.8m，BC是水平轨道，长是水平轨道，长l=3m=3m，BC处的摩擦处的摩擦系数为系数为=1/15=1/15，今有质量，今有质量m=1kg=1kg的物体，自的物体，自A点点从静止起下滑到从静止起下滑
12、到C点刚好停止。求物体在轨道点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。段所受的阻力对物体做的功。 例例12、：运动员用力将一质量为运动员用力将一质量为运动员用力将一质量为运动员用力将一质量为mm的铅球从离地的铅球从离地的铅球从离地的铅球从离地为为为为h h高处以初速度高处以初速度高处以初速度高处以初速度v v0 0 0 0水平推出，当它落到地面时速水平推出，当它落到地面时速水平推出，当它落到地面时速水平推出，当它落到地面时速度为度为度为度为v v，则在此过程中铅球克服空气阻力所做的功，则在此过程中铅球克服空气阻力所做的功，则在此过程中铅球克服空气阻力所做的功，则在此过程中铅球克服空
13、气阻力所做的功等于：等于：等于：等于：A A A A、mgh-mvmgh-mv2 2/2-mv/2-mv0 02 2/2/2B B B B、mvmv2 2/2-mv/2-mv0 02 2/2-mgh/2-mghC C C C、mgh+mvmgh+mv0 02 2/2-mv/2-mv2 2/2/2D D D D、mgh+mvmgh+mv2 2/2-mv/2-mv0 02 2/2/2例例1313、一质量为、一质量为m的小球，用长为的小球，用长为L的轻绳悬的轻绳悬挂于挂于O点。小球在水平拉力点。小球在水平拉力F作用下，从平衡作用下，从平衡位置位置P点很点很缓慢缓慢地移动到地移动到Q点，细线偏离竖直点
14、，细线偏离竖直方向的角度为方向的角度为，如图所示。则拉力，如图所示。则拉力F做的功做的功是是：A. mgLcos B. mgL(1cos) C. FLcos D. FLfGG H h分析：小球的下落过程根据受力小球的下落过程根据受力情况可分为两段：情况可分为两段：例例14、一球从高出地面一球从高出地面H处由静止自由落下，处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落到地面后并深入地面不考虑空气阻力，落到地面后并深入地面h深处停止，若球的质量为深处停止，若球的质量为m，求：球在落，求：球在落入地面以下的过程中受到的平均阻力。入地面以下的过程中受到的平均阻力。因此可以分两段求解，也可以因此可以分两段求解，也
15、可以按全过程求解按全过程求解接触地面前做自由落体运动，只受接触地面前做自由落体运动，只受重力重力G作用；作用；接触地面后做减速运动，受重接触地面后做减速运动，受重力力G和阻力和阻力f作用。作用。接触地面前接触地面前（2）全过程：）全过程：解：以球为研究对象，在下落的过程中受力如解：以球为研究对象，在下落的过程中受力如图，图，根据动能定理有根据动能定理有解解 得：得：（1）分段求解分段求解 设小球在接触地面时的速度为设小球在接触地面时的速度为v，则，则接触地面后接触地面后GfG H h例例15、如图所示，斜面倾角为如图所示，斜面倾角为，滑块质量为，滑块质量为m，滑块与，滑块与斜面间的动摩擦因数斜
16、面间的动摩擦因数，从距挡板为，从距挡板为s0 0的位置以的位置以v0 0的速度的速度沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于 滑动摩擦力，滑动摩擦力，且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长。且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长。求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s。思路点拨：由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，思路点拨：由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，物体虽经多次往复运动，最终将停止在挡板处。过物体虽经多次往复运动，最终将停止在挡板处。过程中只有重力与摩擦力对物体做功。程中只有重力与摩擦
17、力对物体做功。解：摩擦力一直做负功，其绝对值等于摩擦力与路解：摩擦力一直做负功，其绝对值等于摩擦力与路程的乘积，由动能定理得程的乘积，由动能定理得解得解得例例16、如图所示质量为如图所示质量为m的物体置于光滑水平面，一根的物体置于光滑水平面，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F作用下，作用下，以恒定速率以恒定速率v0 0竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角平方向夹角=45的过程中，绳中张力对物体做的功为的过程中，绳中张力对物体做的功为_。解析：当绳与水平方向夹角解析：当绳与水平方向夹角=
18、45时，物体的速度为时，物体的速度为 选物体为研究对象，研究物体由静止开始到绳与水平方选物体为研究对象，研究物体由静止开始到绳与水平方向夹角为向夹角为的过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加的功等于物体动能的增加。即即例例17、如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量质量m1.0 kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道
19、ABC。已知。已知AB段斜面倾段斜面倾角为角为53，BC段斜面倾角为段斜面倾角为37，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均0.5，A点离点离B点所在水平面的高度点所在水平面的高度h1.2 m。滑块在运动过程中始。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的能量损失，最大静摩擦力近点的能量损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取似等于滑动摩擦力，取g10 m/s2 2，sin370.6，cos370.8（1）若圆盘半径）若圆盘半径R0.2 m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？落
20、？（2）求滑块到达）求滑块到达B点时的速度。点时的速度。（3）从滑块到达）从滑块到达B点时起，经点时起，经0.6 s 正好通过正好通过C点，求点，求BC之间的距离。之间的距离。解解：（：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力。）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力。 根据牛顿第二定律，可得：根据牛顿第二定律，可得： mgm2 2R R 代入数据解得：代入数据解得：（2）滑块在）滑块在A点时的速度：点时的速度：vA AR1 m/s 从从A到到B的运动过程由动能定理得：的运动过程由动能定理得： mghmgcos53h/sin53可得滑块在可得滑块在B点时的速度：点时的速度： v
21、B B4 m/s （3）滑块沿）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：段向上运动时的加速度大小： a1 1g(sin37cos37)10 m/s2 2 返回时的加速度大小：返回时的加速度大小： a2 2g(sin37cos37)2 m/s2 2 BC间的距离：间的距离：例例18、如图所示，一半径为如图所示，一半径为R的半的半圆形形轨道道BC与一水平面相与一水平面相连，C为轨道的最高点，一道的最高点，一质量量为m的小球以初速度的小球以初速度v0从从圆形形轨道道B点点进入，沿着入，沿着圆形形轨道运道运动并恰好通并恰好通过最高点最高点C，然后做平抛运，然后做平抛运动求：求：(1)小球平抛后落回水平面小
22、球平抛后落回水平面D点的位置距点的位置距B点的距离；点的距离； (2)小球由小球由B点沿着半点沿着半圆轨道到达道到达C点的点的过程中，克服程中，克服轨道摩擦阻道摩擦阻力做的功力做的功 来源来源:解：解：(1)小球刚好通过小球刚好通过C点，由牛点，由牛顿第二定律第二定律 小球做平抛运小球做平抛运动，有，有 svCt解得小球平抛后落回水平面解得小球平抛后落回水平面D点的位置距点的位置距B点的距离点的距离 s2R(2)小球由B点沿着半圆轨道到达C点，由动能定理mg2RWf解得小球克服摩擦阻力做功 Wf例例19、如图所示，一固定的锲形木块，其斜面的倾角如图所示，一固定的锲形木块，其斜面的倾角30，另一
23、边与，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细绳跨过定滑轮，两端分别与物块块A和和B连接。连接。A的质量为的质量为4kg，B的质量为的质量为1kg。开始时将。开始时将B按在地面上不按在地面上不动，然后放开手，让动，然后放开手，让A沿斜面下滑而沿斜面下滑而B上升。物块上升。物块A与斜面间动摩擦因数与斜面间动摩擦因数为为 。设当。设当A沿斜面下滑沿斜面下滑2m距离后，细线突然断了，取距离后，细线突然断了，取试求：试求：（1）绳断瞬间物块）绳断瞬间物块A的速率；的速率；（2）物块）物块B上升的最大高度。上升的最大高度。 解析：（解析：
24、（1）由动能定理得：）由动能定理得： m/s =2m/sm/s =2m/s（2）B以以2m/s的初速度做竖直上抛运动，设继续上的初速度做竖直上抛运动，设继续上升的高度为升的高度为h，则：，则： 物块物块B上升的最大高度上升的最大高度： H=h+s=(0.2+2)m =2.2m例例20、质量质量m1 kg的物体，在水平拉力的物体，在水平拉力F(拉力方向与物体初速度方拉力方向与物体初速度方向相同向相同)的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4 m时，拉力，拉力F停止作停止作用，运用，运动到位移是到位移是8 m时物体停止，运时物体停止，运动过程中程中Ekx的的图象如象如图所示所示求：求：(g取取10 m/s2)(1)物体的初速度多大？物体的初速度多大？(2)物体和平面间的动摩擦因数为多大？物体和平面间的动摩擦因数为多大？(3)拉力拉力F的大小？的大小？
