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1、文数课标版第四节直接证明与间接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证1.直接证明直接证明教材研读教材研读2.间接证明间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的
2、条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的必要条件.()(3)反证法是将条件和结论同时否定,推出矛盾.()(4)用反证法证明结论“ab”时,应假设“aB,只需C0,ab0,b0,a0,b0,即a与b同号,故均能使+2成立.5.已
3、知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为.答案答案cncn+1解析解析由题意知,an=,bn=n,cn=-n=.显然,cn随着n的增大而减小,cncn+1.考点一综合法的应用考点一综合法的应用典例典例1(2016湖北武汉模拟)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(1)若=0,求f(x)的最大值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:0.解析解析(1)f(x)的定义域为(0,+),当=0时,f(x)=lnx-x+1.则f(x)=-1,令f(x)
4、=0,解得x=1.当0x0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x1时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是减函数.故f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=0.考点突破考点突破(2)证明:由题意可得,f(x)=lnx+-1.由题设条件,得f(1)=1,即=1,f(x)=(x+1)lnx-x+1.由(1)知,lnx-x+10,且x1).当0x1时,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)0.当x1时,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx-x0,0.综上可知,0.方法技巧方法技巧用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题,
5、如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.1-1设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f为偶函数.证明证明由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成x-代入上式可得f=f,即f=f,由偶函数的定义可知f为偶函数.考点二分析法的应用考点二分析法的应用典例典例2已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有f.证明证明要证明f,即证明-2,因此只要证明-(x1+x2)-
6、(x1+x2),即证明,因此只要证明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原结论成立.方法技巧方法技巧(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.2-1已知m0,a,bR,求证:.证明证明m0,1+m0,要证原不等式成立,只需证明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),即证m
7、(a2-2ab+b2)0,即证(a-b)20,而(a-b)20显然成立,故原不等式得证.考点三反证法的应用考点三反证法的应用典例典例3设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式;(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.解析解析(1)设an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1;当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)证明:假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak
8、+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.易错警示易错警示用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.3-1已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析解析(1)n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以an是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.(2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,rN*),则2=+,所以22r-q=2r-p+1.(*)又因为pqr,p,q,rN*,所以r-q,r-pN*,所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.
