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1、第六节概率与统计的综合问题总纲目录考点突破考点二考点二频率分布直方图与概率的综合问题考点一茎叶图与概率的综合问题考点三考点三折线图与概率的综合问题考点一茎叶图与概率的综合问题考点一茎叶图与概率的综合问题考点突破考点突破典例典例1(2016北京东城一模)“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动,社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹,就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人.某高校青年志愿者协会响应号召,组织大一学生作为志愿者,开展一次爱心包裹劝募活动.将派出的志愿者分成甲、乙两个小组,分别在两个不同的场地进行劝募,每个小组各6人.爱心人士每捐购一个爱心包
2、裹,志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念.以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数,且图中甲组的一个数据模糊不清,用x表示.已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个.甲组乙组9808x4126810211(1)求图中x的值;(2)“爱心包裹”分为价值100元的学习包和价值200元的“学习+生活”包,在乙组劝募的爱心包裹中100元和200元的比为31,若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数,求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额;(3)在甲组中任选2位志愿者,求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率.解析解析(1)由茎叶图可知乙组送出的钥匙扣的平均个数为=16.则
3、甲组送出的钥匙扣的平均个数为15.由8+9+14+(10+x)+20+21=156,解得x=8.(2)乙组送出钥匙扣的个数为96,即劝募的总包裹数为96,则价值100元的包裹有72个,价值200元的包裹有24个,故所求爱心包裹的价值总额为72100+24200=12000元.(3)乙组送出钥匙扣的平均数为16个,甲组送出钥匙扣的个数分别为8,9,14,18,20,21.若从甲组中任取两个数字,所有的基本事件为(8,9),(8,14),(8,18),(8,20),(8,21),(9,14),(9,18),(9,20),(9,21),(14,18),(14,20),(14,21),(18,20),
4、(18,21),(20,21),共15个基本事件.其中符合条件的基本事件是(18,20),(18,21),(20,21),共3个基本事件,故所求概率为P=.规律总结规律总结解决此类问题的关键是根据茎叶图正确读取相关数据.1-1(2016北京朝阳二模)某城市要建宜居新城,准备引进优秀企业进行城市建设.这个城市的甲区、乙区分别对6个企业进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.甲区企业乙区企业539569848346978(1)根据茎叶图,分别求甲、乙两区引进企业得分的平均值;(2)规定85分以上(含85分)为优秀企业.若从甲、乙两个区准备引进的优秀企业中各随机选取1个,求这两个企业得分的差的绝对值不超
5、过5分的概率.解析解析(1)=88(分),=87(分).(2)甲区优秀企业得分分别为88,89,93,95,共4个优秀企业,乙区优秀企业得分分别为86,95,96,共3个优秀企业.从两个区各选一个优秀企业,所有基本事件有(88,86),(88,95),(88,96),(89,86),(89,95),(89,96),(93,86),(93,95),(93,96),(95,86),(95,95),(95,96),共12个.其中得分的差的绝对值不超过5分的基本事件有(88,86),(89,86),(93,95),(93,96),(95,95),(95,96),共6个.则这两个企业得分的差的绝对值不超
6、过5分的概率P=.典例典例2(2018北京西城高三期末)某市高中全体学生参加某项测评,按得分评为A,B两类(评定标准如表).根据男女学生比例,使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据,其中等级为A1的学生中有40%是男生,等级为A2的学生中有一半是女生.等级为A1和A2的学生统称为A类学生,等级为B1和B2的学生统称为B类学生.整理这10000名学生的得分数据,得到如图所示的频率分布直方图.考点二频率分布直方图与概率的综合问题考点二频率分布直方图与概率的综合问题类别得分(x)BB180x90B270x80AA150x70A220x50(1)已知该市高中学生共20万人,试估计在该项
7、测评中被评为A类学生的人数;(2)某5人得分分别为45,50,55,75,85.从这5人中随机选取2人组成甲组,另外3人组成乙组,求“甲、乙两组各有1名B类学生”的概率;(3)在这10000名学生中,男生占总数的比例为51%,B类女生占女生总数的比例为k1,B类男生占男生总数的比例为k2,判断k1与k2的大小.(只需写出结论)解析解析(1)依题意得,样本中B类学生所占比例为(0.02+0.04)10=60%,所以A类学生所占比例为40%.因为全市高中生共20万人,所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人.(2)由题表得,在5人(记为a,b,c,d,e)中,B类学生有两人(不妨设为b,d)
8、.将他们按要求分成两组,分组的方法数为10种.依次为(ab,cde),(ac,bde),(ad,bce),(ae,bcd),(bc,ade),(bd,ace),(be,acd),(cd,abe),(ce,abd),(de,abc).所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为=.(3)k1k2.规律总结规律总结概率统计解答题的主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.2-1(2016北京石景山一模)交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为T,其范围为0,10,分别有五个级别:T0,2)畅通;T2,4)基本畅通;T4,6)轻度拥堵;T6,8)中度拥堵;T8
9、,10严重拥堵.晚高峰时段(T2),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.(1)求轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵路段各有多少个;(2)用分层抽样的方法从交通拥堵指数在4,6),6,8),8,10的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;(3)从(2)中抽出的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.解析解析(1)由直方图可知:(0.1+0.2)120=6,(0.25+0.2)120=9,(0.1+0.05)120=3.所以这20个路段中,轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵路段分别有6个,9个,3个.(2)由(1)知拥堵路段共有
10、6+9+3=18个,用分层抽样的方法从18个路段中抽取6个,则6=2,9=3,3=1,依次抽取的三个级别路段的个数为2,3,1.(3)记(2)中抽出的2个轻度拥堵路段为A1,A2,抽出的3个中度拥堵路段为B1,B2,B3,抽出的1个严重拥堵路段为C,则从6个路段选取2个路段的可能情况如下:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C),共15种,其中至少有1个轻度拥堵的情况有(A1,A2),(A1,B1),(A1,
11、B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),共9种.至少有1个路段为轻度拥堵的概率为=.考点三折线图与概率的综合问题考点三折线图与概率的综合问题典例典例3(2016北京西城一模)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下).(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生,试
12、估计高一年级中“体育良好”的学生人数;(2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在60,70)和80,90)的学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在60,70)的概率;(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在70,80),80,90),90,100三组中,其中a,b,cN.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值.(不要求证明)注:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中为数据x1,x2,xn的平均数解析解析(1)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人,所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约有
13、1000=750人.(2)记“至少有1人体育成绩在60,70)”为事件M,记体育成绩在60,70)的学生为A1,A2,体育成绩在80,90)的学生为B1,B2,B3,则从这两组学生中随机抽取2人,所有可能的结果有10种,它们是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).而事件M的结果有7种,它们是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),因此事件M的概率P(M)=.(3)a,b,c的值分别为70,80,100.
14、规律总结规律总结折线图与概率的综合问题的解题关键是正确根据折线图读取信息,然后转化为基本的统计与概率的综合问题求解.3-1(2016北京丰台一模)下图是某行业网站统计的某一年1月到12月(共12个月)的山地自行车销售量(1k代表1000辆)折线图,其中横轴代表月份,纵轴代表销售量,由折线图提供的数据回答下列问题:(1)在一年中随机取一个月的销售量,估计销售量不足200k的概率;(2)在一年中随机取连续两个月的销售量,估计这连续两个月销售量递增(如2月到3月递增)的概率;(3)根据折线图,估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线之间(只写出结果,不要过程).解析解析(1)设销售量不足200k为事件A,一年共有12个月,其中1月,2月,6月,11月共4个月的销售量不足200k,所以P(A)=.(2)设连续两个月销售量递增为事件B,在这一年中随机取连续两个月的销售量,有1,2月;2,3月;3,4月;4,5月;5,6月;6,7月;7,8月;8,9月;9,10月;10,11月;11,12月,共11种取法,其中2,3月;3,4月;4,5月;6,7月;7,8月;8,9月;11,12月,共7种情况的销售量递增,所以P(B)=.(3)在200k250k这两条水平平行线之间.
