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1、1.2.4分段函数及映射【学习目标】1了解映射的概念及其表示方法2结合简单的对应图示，了解一一映射的概念3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用4能解决简单函数的应用问题1分段函数所谓“分段函数”，习惯上是指在定义域的不同部分，有不同的_的函数解析式值域是_3(，1)3，)2映射(1)设 A，B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x ，在集合 B 中_确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的_都有唯一一个映射(2)由映射的定义可以看出，映射是_概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两
2、个集合 A，B 必须是_函数非空数集练习 2：在映射 f：AB 中，AB(x，y)|x，yR，且f：(x，y)(xy，xy)，则与 A 中的元素(4,3)对应的 B 中的元素为_(7，1)【问题探究】1用图表示下列两个集合 A，B 的元素之间的一些对应关系(1)A1,4,9，B3，2，1,1,2,3，对应法则：开平方；(2)A3，2，1,1,2,3，B1,4,9，对应法则：平方；求正弦(2)答案：1(1)(3)2分段函数是一个函数还是几个函数？答案：一个题型 1 分段函数若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_答案：34分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来处理相关问题首先要确定自变量的
3、值属于哪一个区间，从而选定相应表达式代入计算特别地，要注意分段区间端点的取舍【变式与拓展】1(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16故选 D.答案：D题型 2 分段函数的应用【例2】 如图 1-2-3，一动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD的顶点 A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点 A.若点 P 运动的路程为 x，点 P 到顶点 A 的距离为 y，求 A，P 两点间的距离 y 与点 P 运动的路程
4、x 之间的函数关系式图 1-2-3思维突破：利用数学知识建立相应的数学模型，求目标函数解析式本题需要对点 P 的位置进行分类讨论，确定 y 与 x之间的函数关系解：(1)当点 P 在 AB 上，即 0x1 时，APx，也就是 yx.(2)当点 P 在 BC 上，即 1x2 时，AB1，ABBPx，BPx1，根据勾股定理，得 AP2AB2BP2，(3)当点 P 在 DC 上，即 2x3 时，AD1，DP3x.根据勾股定理，得 AP2AD2DP2，(4)当点 P 在 AD 上，即 3x4 时，有 yAP4x.所求的函数关系式为解数学应用题的一般程序：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽
5、象成数学问题，建立相应的数学模型，对其进行分析、研究，得出数学结论，最后把数学结论(结果)返回到实际问题中【变式与拓展】2如图 1-2-4，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点P，沿着折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)移动，设点 P 移动的路程为 x，ABP 的面积为 y，求ABP 的面积 y 与点 P移动的路程 x 的函数关系式图 1-2-4解：当点 P 由点 B 向点 C 移动时，ABP 为直角三角形，AB4，BPx，y2x，x0,4；当点 P 由点 C 向点 D 移动时，ABP 是以 AB4 为底、高为 4 的三角形，所以 y8，x(4,8；当点 P 由点 D 向
6、点 A 移动时，ABP 为直角三角形，其中 AB4，另一直角边为 12x，所以 y2(12x)，x(8,12综上所述，所求函数关系式是题型 3 映射的概念【例 3】 图 1-2-5 建立了集合 P 中元素与集合 M 中元素的对应关系 f，其中为映射的是哪几个？为什么？图 1-2-5思维突破：根据映射的定义进行判断(1)集合 P 中的元素3 在集合 M 中没有元素与之对应；(3)集合 P 中的元素2 对应集合 M 中的元素3 和4，不唯一，因此它也不是映射；(4)集合 P 中的元素1 对应集合 M 中的元素0.5 和 8，一对多，也不是映射；(2)(5)是映射，符合映射的定义要求解：(1)(3)
7、(4)都不是映射，因为(1)判断一个对应关系 AB 是否为映射，主要的依据是：集合 A 中的元素是否在集合 B 中都有元素与之对应；集合 A 中任一个元素在集合 B 中有唯一的元素与之对应(2)本题利用数图构建的对应关系直观地给出了集合间的对应关系利用映射的概念判断以上数图是否为映射，只需看一看是否满足“一对一”或“多对一”的关系，且 P 中元素是否有剩余【变式与拓展】3已知 Ax|0x4，By|0y2，映射 f：AB(其)中 xA，yB)的对应法则可以是(f：xyx2； f：xy|x2|.ABCD解析：按照给出的对应法则，A 中元素 0 在 B 中没有象，按照、给出的对应法则，A 中任何一个
8、元素在 B 中都有象且唯一答案：D4若 f：y3x1 是从集合 A1,2,3，k到集合 B4,7，a4，a23a的一个映射，则自然数 a_，自然数 k_；集合 A_，B_.解析：f(1)3114，f(2)3217，f(3)33110，f(k)3k1.由映射的定义，知：aN，方程组无解解方程组，得 a2 或 a5(舍)则 3k116,3k15，k5.A1,2,3,5，B4,7,10,16254,7,10,161,2,3,5【例 4】 已知 f：AB 是集合 A 到集合 B 的映射，又 ABR，对应法则 f：xyx22x3，kB 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范围为(Ak4Ck
9、4)B1k3Dk3易错分析：正确理解在集合 A 到 B 的映射中，若存在实数kB，在集合 A 中没有元素与之对应，表示 k 应该在 A 中所有元素在 B 中对应的象组成的集合的补集中解析：本题的关键在于读懂题意，yx22x3(x1)2 44，kB 且 k 在 A 中没有元素与之对应，则 k 的取值范围为 k4.故选 A.答案：A方法规律小结1分段函数(1)分段函数的表达式因其定义域不同可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象是由几个部分组成的总体(有的可以是一些孤立的点)(2)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一个区间，就用哪一个区间的解析式(3)分段函数是一个函数，而不是几个，各个定义域的并集即为分段函数的定义域，各个值域的并集，即为分段函数的值域2理解映射概念时要注意的几点 (1)映射是函数的一种推广，两个集合 A，B，它们可以是数集，也可以是点集或其他集合(2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统(3)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应(4)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素可以是同一个，即可以多个元素对应一个元素，但不能一个元素对应多个元素(5)集合 B 中的元素在集合 A 中可以没有与之对应的，即集合 B 中可以有“剩余”的元素
