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1、三角形的四心问题导学：1.什么是三角形的四心，它们的名称是什么？2三角形四心的性质是什么？一、三角形的重心定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。证明：ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。 三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE 证明：延长OE到点G，使OG=OBOG=OB,点O是BG的中点 又点D是BC的中点OD是BGC的一条中位线 ADCG 点O是BG的中点，点F是AB的中点 OF是BGA的一条中位线CFAG ADCG，CFAG,四边形AOCG是平行四边形AC、OG互相平分,AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2
2、：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：Z1+Z2+Z3/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。二、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点三角形的三条垂直平分线必交于一点己知：在ABC中，A与B的角平分线交于点O，连接OC 求证：OC
3、平分ACB证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F AO平分BAC,OD=OE；BO平分ABC,OD=OF ；OE=OF O在ACB角平分线上 CO平分ACB四、三角形的垂心定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点 三角形的三条高必交于一点三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在RtABC中，C=90，r=(a+b-c)/2 5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/2 6.S=(a+b+c
4、)r/2 (r是内切圆半径)：ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F 三角形的三条高必交于一点求证：CFAB证明联结DE ADB=AEB=90,且在AB同旁， A、B、D、E四点共圆 ADE=ABE 同弧上的圆周角相等 EAO=DAC AEO=ADC =90 AEOADC AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC EADOAC ACF=ADE=ABE 又ABE+BAC=90 ACF+BAC=90 CFAB三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上 4.ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AOOD=BOOE=COOF
