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1、三角函数三角函数【知识网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用的基本关系式公式应用三角函数的角度制与任意角的任意角的概念图像和性质弧度制三角函数应用和角公式和角公式倍角公式倍角公式应用差角公式差角公式应用一、任意角的概念与弧度制一、任意角的概念与弧度制1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角正角，顺时针旋转为负角负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为 k 360计算与化简证明恒等式应用已知三角函数值求角k Zx轴上角： k 180k Zy轴上角： 90 k 180k Z3、第一象限角：0 k 360 90 k 360k Zk Zk Zk Z第二象限角：90 k
2、360 180 k 360第三象限角：180 k 360 270 k 360第四象限角：270 k 360 360 k 3604、区分第一象限角、锐角以及小于90的角第一象限角：0 k 360 90 k 360k Z锐角：0 90小于90的角： 905、假设为第二象限角，那么为第几象限角？22253k 0,k 1,4242所以在第一、三象限26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.180 0.017451 57.30 57187 7、角度与弧度的转化：、角度与弧度的转化：1 1808 8、角度与弧度对应表：、角度与弧度对应表：角度弧度2k2k4k2k003045
3、6090120135150180360233456643229 9、弧长与面积计算公式、弧长与面积计算公式弧长：l R；面积：S 二、任意角的三角函数二、任意角的三角函数11lR R2，注意：这里的均为弧度制.22yxy1、正弦：sin；余弦cos；正切tanrrx其中x, y为角终边上任意点坐标，r 2 2、三角函数值对应表：、三角函数值对应表：P(x,y)rx2 y2.度00304560901201351501802703602弧度6124222233212223345612032sin01322210cos 132330123222101tan 013无 31330无03 3、三角函数在
4、各象限中的符号、三角函数在各象限中的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.简记为“全 s t c” sin tancos 第一象限：.x 0, y 0 sin0,cos0,tan0,第二象限：.x 0, y 0 sin0,cos0,tan0,第三象限：.x 0, y 0 sin0,cos0,tan0,第四象限：.x 0, y 0 sin0,cos0,tan0,4 4、三角函数线、三角函数线设任意角的顶点在原点O， 始边与x轴非负半轴重合， 终边与单位圆相交与P(x, y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点 T.yyTPPAAxMo
5、oMxTyyTMMAAxxooPPT由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x,MP y，于是有yyxx y MP，cos x OMr1r1，yMPATtan ATxOMOA我们就分别称有向线段MP,OM, AT为正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线。sin5 5、同角三角函数基本关系式、同角三角函数基本关系式sin2cos21tansin tancot1cos(sincos)212sincos(sincos)212sincos( (sin cos，sin cos，sincos，三式之间可以互相表示，三式之间可以互相表示) )6、诱导公式诱导公式n口诀：口诀： 奇变偶不变
6、奇变偶不变, ,符号看象限符号看象限(所谓奇偶指的是2中整数n的奇偶性， 把看作锐角)nn2nn(1) sin,n为偶数(1)2cos, n为偶数sin() ) ；cos(. .n1n122(1)2cos,n为奇数(1)2sin,n为奇数.公式一 ：与2k,kZsin(2k) sin；cos(2k) cos；tan(2k) tan.公式二 ：与sin sin；coscos；tan tan.公式三 ：与sin sin；cos cos；tan tan.公式四 ：与sinsin；cos cos；tan tan.公式五 ：与2sin cos；cos sin；22.公式六 ：与2sin cos；cos
7、sin；22.公式七 ：与3233sin cos；cos sin；22.公式八 ：与3233sin cos；cos sin；22三、三角函数的图像与性质三、三角函数的图像与性质1、将函数y sin x的图象上所有的点，向左右平移个单位长度，得到函数y sinx的图象；再将函数y sinx的图象上所有点的横坐标伸长缩短到原来的1倍纵坐标不变 ，得到函数y sinx的图象；再将函数y sinx的图象上所有点的纵坐标伸长缩短到原来的A倍横坐标不变 ，得到函数y Asinx的图象。2、函数函数y AsinxA0,0的性质：的性质：振幅：A；周期：T 2；频率：f 1；相位：x ；初相：。T23 3、周
8、期函数：一般地，对于函数fx，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值， 都满足fxT fx， 那么函数fx就叫做周期函数，T叫做该函数的周期叫做该函数的周期. .4 4、y Asin(x )对称轴：令x k，得x 2kk对称中心：x k，得x ，(,0)(kZ)；ky Acos(x )对称轴：令x k，得x ；k2kk22对称中心：x k，得x ，(,0)(kZ)；2周期公式周期公式: :函数y Asin(x)及y Acos(x)的周期T 2 (A、为常数，且A0).函数y Atanx 的周期T 5 5、三角函数的图像与性质表格、三角函数的图像与性质表格函数性质 (A、为常数，且 A
9、0).y cos xy sin xy tan x图像定义域值域RRx x k,kZ21,1当x 2k1,1当x 2kkZ时，R2kZ时，最值ymax1；当x 2k2kZ时，ymax1；当x 2k既无最大值也无最小值kZ时，ymin 1ymin 1周期性奇偶性在单调性22奇函数偶函数奇函数2k,2k22kZ上是增函数；在在2k,2kkZ上是增函数；在2k,2kkZ上是减函数在k2,k232k,2k22kZ上是增函数kZ上是减函数对称中心对称性对称中心k,0kZ对称轴x k2k Zk,0k Z2对称轴x kkZ对称中心 k,0k Z2无对称轴6. 五点法作五点法作y Asin(x )的简图的简图，
10、设t x ，取 0、应x的值以及对应的 y 值再描点作图。3、2来求相227.y Asin(x )的的图像8.8. 函数的变换：函数的变换：1 1函数的平移变换函数的平移变换y f(x) y f(xa)(a 0)将y f (x)图像沿x轴向左右平移a个单位左加右减左加右减y f(x) y f(x)b(b0)将y f (x)图像沿y轴向上下平移b个单位上加下减上加下减2 2函数的伸缩变换：函数的伸缩变换：y f (x) y f (wx)(w 0)将y f (x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1倍w 1缩短，0 w 1伸长wy f (x) y Af (x)(A 0)将y f (x)图像横坐标不变
11、，纵坐标伸长到原来的 A 倍A 1伸长，0 A 1缩短3 3函数的对称变换：函数的对称变换：y f (x) y f (x) 将y f (x)图像绕y轴翻折 180整体翻折对三角函数来说：图像关于x轴对称y f (x) y f (x)将y f (x)图像绕x轴翻折 180整体翻折对三角函数来说：图像关于y轴对称y f (x) y f (x)将y f (x)图像在y轴右侧保留， 并把右侧图像绕y轴翻折到左侧偶函数局部翻折y f (x) y f (x)保留y f (x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去局部翻动四、三角恒等变换四、三角恒等变换1.1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和
12、与差的正弦、余弦、正切公式：(1）sin() sincossincos(2）sin() sincossincos(3）cos()coscossinsin(4）cos()coscossinsin) (5）tan(tan tantantantan1tantan1 tantantan tantantantan1tantan1 tantan) (6）tan(7)asinbcos=a2b2sin()(其中,辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限决定,sinba2b2,cosaa2b2,tanb，该法也叫合一变形).a(8)1 tan1 tan tan() tan()1 tan41 tan42.2. 二倍
13、角公式二倍角公式（1）sin2a 2sinacosa2cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 12222tan2a 32tana1 tan2a 3. 3. 降幂公式：降幂公式：cos2a （1） 4. 4. 升幂公式升幂公式1 cos2a1cos2a22sin a 222（1）1cos 2cos221cos 2sin22（3）1sin (sin（5）sin 2sin2cos2)241 sin2cos22cos25.5. 半角公式半角公式符号的选择由所在的象限确定2sin1a1cosaa1cosa， cos 22222a1cosasina1cosatan 21cosa
14、1cosasina36. 万能公式:2tan1sin2,2cos1tan21tan22,21tan22tan3tan22.1tan227.7.三角变换：三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换， 提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：asinbcosa2b2sin()其中cos11 ( 3)22aa2b2,sinba2b2，比y sin x3cosx方：12( 3)2(sin x31 (
15、3)22cosx)13 2( sin xcosx) 2(sin xcoscos xsin) 2sin(x)333223 注意 “凑角” 运用：，1，2例如： 已知、(3312,),sin() ，sin() ， 则cos() ?4541344常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“sincos”5幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：221cosa常用升幂化为有理式。6公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。7结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，
16、或变乘为除， 或求差等等。 在形式上有时需要和差与积的互化、 分解因式、 配方等。8消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法9思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。10利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sin a cosa，sin acosasin a cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。8.8.函数的最值函数的最值几种常见的函数及其最值的求法 ：y asin x b或acosx b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论y asin x bcosx型：引进辅助角
17、化成y a2b2sin(x)再利用有界性y asin2x bsinx c型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx 1的约束y asin x b型：反解出sin x，化归为sinx 1解决csin x dy a(sin x cosx) bsin xcosx c型：常用到换元法：t sin x cos x，但须注意t的取值范围：t 2。9.三角形中常用的关系：sin A sin(B C)，cos A cos(B C)，sinsin2A sin2(B C)，cos2A cos2(B C)AB C cos，22sin15 cos75 10.常见数据：常见数据：6 2,sin 75 cos15 46 2，4tan15 23,tan75 23,
