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1、2010届高考数学复习强化双基系列课件 85排列组合分类计数原理与分步计数原理 一、知识精讲一、知识精讲分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理 分分类类计计数数原原理理：做做一一件件事事，完完成成它它可可以以有有n n类类办办法法，在在第第一一类类办办法法中中有有m m1 1种种不不同同的的方方法法 ，在在第第二二类类办办法法中中有有m m2 2种种不不同同的的方方法法，在在第第n n类类办办法法中中有有m mn n种种不不同同的的方方法法，那那么么完完成成这这件件事事共共有有 种种不不同同的的办法。办法。分分步步计计数数原原理理：做做一一件件事事，完完成成它它需需要要分分成成n
2、 n个个步步骤骤，做做第第一一步步有有m m1 1种种不不同同的的方方法法，做做第第二二步步有有m m2 2种种不不同同的的方方法法，做做第第n n步步有有m mn n种种不不同同方方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有种不同的方法。种不同的方法。特别注意特别注意:两个原理的共同点是把一个原始事两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点在于，件分解成若干个分事件来完成。不同点在于，一个与分类有关，一个与分步有关，如果完一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情共有成一件事情共有n n类办法，这类办法，这n n类办法彼此之类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办
3、法中的哪一种间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理；情的方法种数，就用分类计数原理； 如如果果完完成成一一件件事事情情需需要要分分成成n n个个步步骤骤，各各个个步步骤骤都都是是不不可可缺缺少少的的，需需要要依依次次完完成成所所有有的的步步骤骤，才才能能完完成成这这件件事事，而而完完成成 每每一一个个步步骤骤各各有有若若干干种种不不同同的的方方法法，求求完完成成这这件件事事情情的方法种数就用分步计数原理。的方法种数就用分步计数原理。二、题型剖析二、题型剖析 例例1: 把把一一个个圆圆分分成
4、成3块块扇扇形形，现现在在用用5种种不不同同的的颜颜色色给给3块块扇扇形形涂涂色色，要要求求相相邻邻扇扇形形的的颜颜色色互互不不相相同同，问问有有多多少少钟钟不不同同的的涂涂法法？若若分分割割成成4块扇形呢？块扇形呢？ 例例2 2（1）如图为一电路图，从）如图为一电路图，从A到到B共有共有条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。 A B 8（2）三边均为整数，且最大边长为）三边均为整数，且最大边长为11的三的三角形的个数是角形的个数是 （3）甲、乙、丙、丁四个公司承包甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，项工程，甲公司承包甲公司承包3项工程，乙公司承包项工程，乙公司承包1项，丙、丁项，丙、丁各承
5、包各承包2项，问共有项，问共有 种承包方式？种承包方式？361680【思思维维点点拔拔】 解解决决这这类类题题首首先先要要明明确确：“完完成成一一件件事事”指指什什么么？如如何何完完成成这这件件事事（即即分分步步还还是是分分类类）？进进而而确确定定应应用用分分类类计数原理还是分步计数原理。计数原理还是分步计数原理。 分步计数原理中的分步计数原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的, ,不间断的不间断的, ,缺一不可。缺一不可。 分类计数原理中的分类计数原理中的“分类分类”要全面要全面, 不能遗不能遗漏。漏。“类类”与与“类之间是并列的、互斥的、类
6、之间是并列的、互斥的、独立的独立的,也就是说也就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能选每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。择其中的一类办法中的某一种方法。 例例3(3(优优化化设设计计P172P172例例1)1)、电电视视台台在在”欢欢乐乐今今宵宵”节节目目中中拿拿出出两两个个信信箱箱, ,其其中中存存放放着着先先后后两两次次竞竞猜猜中中成成绩绩优优秀秀的的观观众众来来信信, ,甲甲信信箱箱中中有有3030封封, ,乙乙信信箱箱中中有有2020封封. .现现有有主主持持人人抽抽奖奖确确定定幸幸运运观观众众, ,若若先先确确定定一一名名幸幸运运之之星星, ,再再从从两两信信箱箱中中各各
7、确确定定一一名名幸幸运运伙伙伴伴, ,有有多多少少种种不不同同的的结结果果? ?【评述【评述】在综合运用两个原理时，一在综合运用两个原理时，一般先分类再分步。般先分类再分步。 例例4(4(优优化化设设计计P173P173例例2)2)、从从集集合合 1 1，2 2，3 3， ，1010 中中，选选出出由由5 5个个数数组组成成的的子子集集，使使得得这这5 5个个数数中中的的任任何何两两个个数数的的和和不不等等于于1111，这样的子集共有多少个？，这样的子集共有多少个？【评述【评述】本题的关键是先找出和为本题的关键是先找出和为1111的的5 5组数，组数，然后利用分步计数原理求出结果。然后利用分步
8、计数原理求出结果。 例例5(优优化化设设计计P173例例3)、某某城城在在中中心心广广场场造造一一个个花花圃圃，花花圃圃分分为为6个个部部分分(如如图图).现现要要栽栽种种4种种不不同同颜颜色色的的花花，每每部部分分栽栽种种一一种种且且相相邻邻部部分分不不能能栽栽种种同同样样颜颜色色的的花花，不不同同的的栽栽种种方法有方法有 _ 种种.(以数字作答以数字作答)120【评述【评述】本本题需抓住花圃布局的要求，看清图题需抓住花圃布局的要求，看清图形中形中6 6个部分的关系；明确每个部分只种同一种个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且颜色的花，相邻部分应种不同颜
9、色的花；而且4 4种颜色的花都要种上，缺一不可对这些条件种颜色的花都要种上，缺一不可对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会引致解答要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会引致解答出错其次，应设计好周全而又不出现重复计出错其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数正确的答数例例6:
10、已知集合已知集合A=A= , B= , f是从是从A 到到 B的映射的映射. (1) 从从A到到B总共有几个映射总共有几个映射? (2)若若B中中每个元素都有原象每个元素都有原象,则可建立几个不同的映射则可建立几个不同的映射?(3)若若B中的元中的元素素0没有原象没有原象,则这样的映射有几个则这样的映射有几个? (5)若若f 满足满足 ，则这样，则这样的的f又有几个又有几个? (4)若若B中有一个中有一个元元素没有原象，则这样的映射素没有原象，则这样的映射有几个有几个? 例例7: 四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其个，在其中取中取4个不同的点，问共有多少种不同的取法个不同的点，问共有多少种不同的取法？ 三、课堂小结：三、课堂小结： 1. .分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础。这两个原理的本质合问题的理论基础。这两个原理的本质区别在于分区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数计数 原理原理 。 2.2.元素能重复的问题往往用计数原理。元素能重复的问题往往用计数原理。 3 3注意：注意：类类”间相互独立，间相互独立，“步步”间相互联间相互联系。系。四、【布置作业四、【布置作业】 优化设计优化设计P173P173
