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1、三 角 函 数 1.11.1任意角和弧度制任意角和弧度制1.1.2 1.1.2 弧度制弧度制 1理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义，能熟练进行弧度与角度的互化2理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运用弧长、扇形面积公式计算基础梳理基础梳理一、弧度制的概念1弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做_的角2正角、零角、负角的弧度数(1)正角的弧度数是一个_；(2)零角的弧度数是_；(3)负角的弧度数是一个_一、1. 1弧度2.(1)正数(2)零(3)负数思考应用思考应用1一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？解析：由弧度定义，一定大小的圆心角所对
2、应的弧长与半径的比值是确定的，与圆的半径大小无关二、角度值与弧度制的互化角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2r，所以周角的弧度数是2，但周角又等于360，所以3602，所以180，故得：1_，1 rad_.附：完成常用角的弧度角度换算表：度03060120135270弧度202如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系？解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数
3、的角由于角度值是六十进位制，而弧度制是十进位制，故在弧度制下，研究问题更加方便思考应用思考应用三、弧长公式与扇形面积公式1角度制：半径为R，圆心角为n的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l_，扇形的面积S_.2弧度制：半径为R，圆心角为 rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：弧长l_，扇形的面积S_.练习：扇形弧长为，面积为，圆的半径是_|R lR |R2 解析：弧长l.S扇 lR， R，即R2，圆的半径为2.答案：2思考应用思考应用3根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积，圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其它的量？解析：只需知道两个量就可以求出其它量
4、例如：已知扇形的弧长为，面积为，则可求所在圆的半径R和圆心角.由l|R，得|R| ，又由S |R2，得 |R2，将| 代入得 R2，解得R2.| .自测自评自测自评1下列说法正确的是()A1弧度角的大小与圆的半径无关B大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D用弧度表示的角都是正角解析： 1 rad 57.35718，其大小与圆的半径无关答案：A2某扇形的面积为1 cm2，周长为4 cm，那么该扇形圆心角的弧度数为()A2B2C4D43. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？分针转了多少度？多少弧度？解析： 钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正角时针
5、转了30 15，表示15， 弧度；分针转了30 ，表示180，弧度弧度制的概念弧度制的概念 下列说法正确的是()A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析： 本题考查弧制下，角的度量单位1弧度的概念根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即可判断D正确答案：D跟踪训练跟踪训练1下列说法不正确的是()A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B1度的角是圆周的 所对的圆心角，1弧度的角是圆周的 所对的圆心角C根据弧度的定义知，180度一定等于 radD不论
6、是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径的长短有关解析： 根据角度与弧度的定义可知，无论是角度制还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错误，故正确答案为D.答案：D弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算 将下列各角化成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限角？点评：快速准确地实现角度与弧度的互化在今后的学习中是必要的，而实现这两者之间互化的桥梁就是180 rad.跟踪训练跟踪训练2(1)把1480角化成2k(kZ,02)的形式；(2)若4，0，且与1480角的终边相同，求.用弧度制表示角用弧度制表示角 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴，终边落在下图中阴影部分内的
7、角的集合(包括边界)解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为|45k18090k180，kZ，化为弧度制为 ；(2)图(2)中的阴影部分表示为|k9045k90，kZ，化为弧度制为 ；(3)图(3)中的阴影部分表示为|120k360150k360，kZ，化为弧度制为 .点评：本题实际上是第一节相关区域角表示方法在弧度制下的具体应用，目的是使同学们进一步熟悉用弧度制，并体会弧度制表示区域角的优点跟踪训练跟踪训练弧长与扇形面积公式的应用弧长与扇形面积公式的应用 (1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72，半径为20，求扇形的面积；(3)已知一扇形的周长为
8、4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解析：由l|R及S lR单独应用或联立，可做到知二求一(1)设扇形圆心角的弧度数为，(02)，弧长为l，半径为r，则 点评：灵活运用扇形周长与面积公式列方程组求解是解决这类问题的关键，同时，注意应用函数思想、化归思想等解决有关最值的问题，只需将扇形面积表示为半径的函数，即化归为关于半径的二次函数问题跟踪训练跟踪训练4一扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？解析：设扇形的圆心角为，半径为r，由已知条件得，扇形的弧长lr，2rr20， 2，S r210rr2，当r5，2时，Smax
9、25(cm)2.一级训练1下列四个命题中，不正确的一个是()A半圆所对的圆心角是 radB周角的大小等于2C1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D B 1角度与弧度的互化 (1)角度与弧度互化时，注意换算公式的应用设一个角的弧度数为，角度为n，则(rad) nn (rad)；(2)如果角度制n是以“度、分、秒”形式给出的，要先把n化成以“度”为单位的十进制表示2弧长公式、扇形面积公式的应用在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，只要知道其中两个量，便可求出其它的量，注意与扇形中其它量的联系如弦心距、弦的一半与半径构成直角三角形等
