《数学课改的十个论题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学课改的十个论题（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学课改的十个论题Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望一、一、“新理念新理念”是全新的吗是全新的吗? ?核心：以学生的全面、和谐与可持续发展核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本为本教育中的教育中的“科学发展观科学发展观”教学目标教学目标全面关注学生的认知、能力全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展促进学生全面、和谐、可持续发展数数学育人。学育人。如何落实？如何落实？高立意高立意,
2、,低起点低起点许多教师的许多教师的“匠气匠气”太浓，课堂上题型、太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着技巧太多，弥漫着“功利功利”，缺少思想、，缺少思想、精神的追求。精神的追求。数学的数学的“育人育人”功能如何体现？功能如何体现？挖掘挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。知识教学与价值观影响融为一体。关键：提高思想性。关键：提高思想性。“技术技术”：加强：加强“先行组织者先行组织者”的使用。的使用。例例1 1 不等式基本性质不等式基本性质“立意立意”比较比较以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关
3、系，再到关系，再到“基本事实基本事实”（考察两个实数（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由的大小，只要考察它们的差），再由“利利用比较实数大小的方法，可以推出下列不用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质等式的性质”。人教人教A A版的教学设计版的教学设计数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实基本事实”（考察两个实数的大小统一（考察两个实数的大小统一化归为比较它们的差与化归为比较它们的差与0 0的大小）；的大小）；从从“数及其运算数及其运算”的高度出发，引导学生的高度出发，引导学生类比等式的基本性质，在类比等式的基本性质，在“运算中的不
4、变运算中的不变性、规律性就是性质性、规律性就是性质”的思想指导下，猜的思想指导下，猜想不等式的基本性质；想不等式的基本性质；回到从回到从“基本事实基本事实”到到“基本性质基本性质”的的推理过程，得出性质，给出证明；推理过程，得出性质，给出证明；引导学生用不同语言表述引导学生用不同语言表述“基本性质基本性质”（学习心理的考虑）；（学习心理的考虑）；从实例中概括基本不等式的作用从实例中概括基本不等式的作用明明确概括出思想方法。确概括出思想方法。核心：核心：将等式与不等式纳入到数及其运将等式与不等式纳入到数及其运算的系统中，成为用运算律推导出的算的系统中，成为用运算律推导出的“性质性质”为什么这样设
5、计为什么这样设计既要讲逻辑，更要讲思想既要讲逻辑，更要讲思想加快学生领加快学生领悟思想的进程（在没有引领的情况下很难悟思想的进程（在没有引领的情况下很难“悟悟”出思想）；出思想）；要正确理解要正确理解“给学生留出思维空间给学生留出思维空间”以往教学在技能方面空间太小，思想方面以往教学在技能方面空间太小，思想方面空间太大。空间太大。教学要求教学要求个性差异与统一要求的辩证个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础统一，但以个性差异为出发点和基础教学设计教学设计不仅从内容的教学需要预设不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生
6、成生成”，预设能引发学生独立思考、自，预设能引发学生独立思考、自主探究的主探究的“开放性问题开放性问题”，乃至强调，乃至强调“看看过问题三百个，不会解题也会问过问题三百个，不会解题也会问”教学方法教学方法讲授、问答、训练的综合，讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调合，强调“启发式讲授启发式讲授”的重要性的重要性学习方式学习方式接受与探究的融合，强调学生学接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结习主动性、积极性，独立思考和合作学习
7、的结合合教学过程教学过程知识发生发展过程（自然、水到知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）深度参与（教学的有效性）教学评价教学评价教师根据教学进程进行教学反馈、教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价形成性评价发展的眼光发展的眼光教学媒体教学媒体追求追求“必要性必要性”“”“平衡性平衡性”“”“广泛广泛性性”“”“实践性实践性”“”“有效性有效
8、性”，服务于数学概念、，服务于数学概念、原理的实质理解原理的实质理解教育领域中，教育领域中，“全新理念全新理念”是不能用来指是不能用来指导教改实践的，因为人才的成长没有重复导教改实践的，因为人才的成长没有重复机会，教育要绝对避免机会，教育要绝对避免“折腾折腾”。“新理念新理念”新在对学生的全面关注上。新在对学生的全面关注上。二、为什么二、为什么“内容多课时少内容多课时少”但又能腾但又能腾出至少一年时间高考复习出至少一年时间高考复习内容内容大大纲课标课标大大纲集合642简易逻辑880函数概念682指数函数761对数函数761解三角形880幂函数函数11函数的应用484数列15105三角函数221
9、57三角恒等变换1082平面向量15123不等式1486直线和圆的方程 13185线性性规划划752曲线和方程321圆锥曲线16142立体几何36306计数原理15141概率42420统计92213数学归纳法624极限极限77导数16248（定积分）复数743算法1212推理与证明66大纲总课时数必修280，选修104，共计384（含复习时间）课标总课时数必修180，必选108，系列三36，系列四36，复习24学时，共计384立体几何、三角函数、不等式、数列、极立体几何、三角函数、不等式、数列、极限等传统内容的课时量减少；增加了新的限等传统内容的课时量减少；增加了新的内容，算法内容，算法121
10、2课时，推理与证明课时，推理与证明6 6课时；概课时；概率统计大量增加，概率增加率统计大量增加，概率增加5 5倍，统计倍，统计2.52.5倍，课时增加倍，课时增加3333。总课时量保持不变。总课时量保持不变。腾出时间的腾出时间的“智慧智慧”在那里？在那里？增加课时（每周增增加课时（每周增1 1课时，两年至少可以增课时，两年至少可以增7272课时）；课时）；压缩概念、原理的教学时间。压缩概念、原理的教学时间。有人说，这都是有人说，这都是“高考要求与课标要求脱高考要求与课标要求脱节节”惹的祸。真是这样的吗？惹的祸。真是这样的吗？“夹生饭夹生饭”再回锅就做不成可口香米饭了。再回锅就做不成可口香米饭了
11、。欲速则不达。欲速则不达。“忙忙”= =“心亡心亡”。三、怎样才算三、怎样才算“教完了教完了”？让学生经历概念的发生发展过程让学生经历概念的发生发展过程“这这样能教完吗？样能教完吗？”给学生吃给学生吃“压缩饼干压缩饼干”：基础知识基础知识“一个定义，三项注意一个定义，三项注意”；解题教学解题教学“题型教学题型教学”，解题技巧大，解题技巧大杂烩，杂烩，“一步到位一步到位”。问题在那里？问题在那里？不不“准准”或者是没有围绕概念的核心，或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；或者教错了；不不“简简”在细枝末节上下功夫，把简在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；单问题复杂化了；不不“精精”让学生在知
12、识的外围重复训让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。知识的深入理解。例例2 2 函数概念的函数概念的“注意事项注意事项”集合集合A，B都是数集；都是数集；任意性；任意性；唯一性；唯一性；可以一对一、多对一，但不能一对多；可以一对一、多对一，但不能一对多；yf(x)是一个整体，不是是一个整体，不是f与与x的乘积；的乘积；值域值域C=f(x)|xA是集合是集合B的子集；的子集；函数的三要素三者缺一不可，值域可由定函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。义域和对应法则唯一确定。在不适当的时候、用不适当的方法
13、强调细在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生节，把学生“教糊涂了教糊涂了”。“教完了教完了”应该以学生是否理解为准，以应该以学生是否理解为准，以学生是否达成教学目标为准，特别是学生学生是否达成教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内方法），而不是教师在课堂上有没有把内容容“讲完讲完”。广种薄收是懒汉的做法。广种薄收是懒汉的做法。四、怎样才是抓四、怎样才是抓“基础基础”我国我国“双基双基”的优势正在丧失；的优势正在丧失；现象现
14、象：（：（1 1）数学教学数学教学= =题型教学题型教学= =刺激刺激反反应（记忆、模范型学习）；（应（记忆、模范型学习）；（2 2）缺少概念）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学的概括过程，以训练代替概念教学应应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（目的；（3 3）过分关注）过分关注“题型题型”与与“题题型型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会的一定不会”；等。；等。如何改变？如何改变？要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要强调知识及其蕴含
15、的思想方法教学的重要性要性无知者无能；无知者无能；不断回到概念去，从基本概念出发思考问不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；题、解决问题；加强概念的联系性，从概念的联系中寻找加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。解决问题的新思路。应追求解决问题的应追求解决问题的“根本大法根本大法”基本基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。的操作。例例3 3 向量加法运算及其几何意义的教学设计向量加法运算及其几何意义的教学设计先行组织者：类比数及其运算，引进一个先行组织者：类比数及其运算，引进一个量就要研究运算，引进一种运算就要研究量就要
16、研究运算，引进一种运算就要研究运算律。运算律。回顾力的合成、速度的合成等物理原理。回顾力的合成、速度的合成等物理原理。学生看书，汇报对定义和三角形法则、平学生看书，汇报对定义和三角形法则、平行四边形法则的理解，其中特别要注意对行四边形法则的理解，其中特别要注意对“关键词关键词”的理解，要求用自己的语言描的理解，要求用自己的语言描述。述。已知向量已知向量a，b不共线，作出不共线，作出a+b，并说明作，并说明作法。法。如果向量如果向量a，b共线，如何作共线，如何作a+b？与实数加法运算有什么关系？与实数加法运算有什么关系？五、探究式教学的天时地利人和五、探究式教学的天时地利人和天时：建设创新型社会
17、，教育天时：建设创新型社会，教育“以培养学以培养学生的创新精神和实践能力为重点生的创新精神和实践能力为重点”；地利：教学内容是否适合于地利：教学内容是否适合于“探究探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；定等；但更多的内容可采用探究式教学；例例4 4 直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义先让学生先让学生“直观感受直观感受”这种位置关系，给这种位置关系，给出定义，把主要精力放在对出定义，把主要精力放在对“合理性合理性”的的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。认识上，通过正、反例理解定义的关键词。必须向学生交待清楚：用
18、必须向学生交待清楚：用“说得清道得明说得清道得明”的几何关系（即的几何关系（即“直线与直线垂直直线与直线垂直”）来定义来定义“无法说清无法说清”的几何关系（即的几何关系（即“直直线与平面垂直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可。生则只要采用接受式学习方式即可。例例5 5 适宜探究的内容举例适宜探究的内容举例等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式从具体数列求和中从具体数列求和中提炼概括思想方法：不相同的数求和化归为相提炼概括思想方法：不相同的数求和化归为相同数求和，实现化归的依据是等差数列的性质；同数求和，实现化归的依据是等差数列的性质；平
19、面向量基本定理平面向量基本定理在在“用向量及其运算表用向量及其运算表示几何元素示几何元素”的思想下，联系建立直角坐标系的的思想下，联系建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；生探究而获得结论；诱导公式诱导公式在在“三角函数是（单位）圆的几三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示何性质的代数表示”的思想下，探究终边关于的思想下，探究终边关于坐标轴、原点以及直线坐标轴、原点以及直线y y= =x x对称的两个角的关系，对称的两个角的关系，而得到所有公式。而得到所有公式。人和：师生共同营造的人和：师生共同营造的“探究氛围探
20、究氛围”，有，有赖于学生赖于学生“探究式学习的心向探究式学习的心向”，也有赖，也有赖于教师的于教师的“探究型教学的意识探究型教学的意识”。数学思想方法在自主探究中有关键作用，数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导需要教师的启发引导注意使用注意使用“先行先行组织者组织者”。探究性学习要融入日常学习，成为探究性学习要融入日常学习，成为“常态常态化化”的学习方式。的学习方式。例例6 6 在在“联系与综合联系与综合”思想指导下思想指导下的探究性学习的探究性学习直线的参数方程：直线的参数方程：平面直角坐标系中，确定直线的几何要素；平面直角坐标系中，确定直线的几何要素；参数的思想参数的思想
21、点点P的坐标由参数的坐标由参数t唯一确定；唯一确定；有向线段；方向向量；三角函数；比例；有向线段；方向向量；三角函数；比例；不同联系方式下的教学设计不同联系方式下的教学设计参数方程：坐标参数方程：坐标x，y作为参数作为参数t的函数的函数以确定曲线的几何要素为基点，考察坐标以确定曲线的几何要素为基点，考察坐标随哪一要素的变化而变化。随哪一要素的变化而变化。找一座找一座“桥桥”，把任意一点，把任意一点P(x，y) 与确定与确定直线的几何要素（倾斜角直线的几何要素（倾斜角、点、点P(x0，y0)）联系起来。联系起来。与几何、三角的联系与几何、三角的联系将将P(x，y) 、 yP(x0，y0)在直角坐
22、标在直角坐标 P系中表示出来，可以系中表示出来，可以 P0 M看到看到P0P的桥梁作用。的桥梁作用。 O x与向量的联系与向量的联系向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精数轴：原点、方向、长度单位数轴：原点、方向、长度单位 数轴上点的坐标数轴上点的坐标数乘运算数乘运算直角坐标系中的直线直角坐标系中的直线与数轴没有本质区与数轴没有本质区别：别： 点点P(x0，y0)原点原点 倾斜角倾斜角方向方向方向向量方向向量长度单位长度单位 直线上任意一点的坐标直线上任意一点的坐标数乘运算数乘运算纯粹的代数、三角变换纯粹的代数、三角变换由直线方程由直线方程yy0 =tan（x
23、x0）出发的代数）出发的代数变换：变换：这一过程无法这一过程无法反映参数的几反映参数的几何意义何意义“我校生源差，反复讲还记不住，怎能让我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？学生自主探究？”学习是知与行的统学习是知与行的统一，只一，只“讲讲”肯定不会；探究是深层次的肯定不会；探究是深层次的思维活动，是思维活动，是“心动心动”与与“行动行动”的融合。的融合。生源越差越要精心组织学生的探究活动，生源越差越要精心组织学生的探究活动，如何铺设探究的台阶是对教师的考验。例如何铺设探究的台阶是对教师的考验。例如，诱导公式的探究，可以从探究具体角如，诱导公式的探究，可以从探究具体角（如如/3和和/
24、3）的三角函数的关系开始。）的三角函数的关系开始。六、概念教学的要义是什么？六、概念教学的要义是什么？概念教学的核心概念教学的核心概括：将凝结在数学概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；归纳得出数学概念；先先“举三反一举三反一”，再，再“举一反三举一反三”：先用：先用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性；再把共同本质较而概括出
25、共同本质属性；再把共同本质属性推广到同类事物中。属性推广到同类事物中。概念教学的基本环节概念教学的基本环节典型丰富的具体例证典型丰富的具体例证属性的分析、比较、属性的分析、比较、综合；综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；下定义（准确的数学语言描述）；概念的辨析概念的辨析以实例（正例、反例）为载体以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；分析关键词的含义；用概念作判断的具体事例用概念作判断的具体事例形成用概念作判形成用概念作判断的具体步骤；断的具体步骤；概念的概念的“精致精致”建立与相关概念的联系。建立与相关概念的联系。例
26、例7 7 函数奇偶性的教学函数奇偶性的教学急功近利的做法急功近利的做法（1）给出函数）给出函数y=x2和和y=x的图像，并提出问的图像，并提出问题：如果从图象的对称性观察，两个图像题：如果从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？）给表格并提问：数量关系上有啥特征？（3）能否描述一下函数）能否描述一下函数y=x2的特征？的特征？学生的回答：对于学生的回答：对于y=x2，当，当x取任意数时取任意数时y都都取正数；函数图像关于取正数；函数图像关于y轴对称；自变量取轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；一对相反数时，函数值相等；（4）对于定义
27、域内任意一个）对于定义域内任意一个x，是否都有，是否都有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函数的定义？）能否描述一下偶函数的定义？“一个函数打天下一个函数打天下”，缺乏概括的基础。，缺乏概括的基础。注重概括过程的做法注重概括过程的做法典型、丰富的例证典型、丰富的例证不止一个：不止一个：y=x2，y=|x|， y=x22；从观察图像、概括共同特征入手；从观察图像、概括共同特征入手；列表，从数的角度描述特征；列表，从数的角度描述特征；形、数对照形、数对照从形到数从形到数用函数符号语言用函数符号语言描述特征；描述特征；概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素概念的精致：内涵、外延的深加工，概念
28、要素的具体界定；组织的具体界定；组织建立相关知识的联系。建立相关知识的联系。七、如何理解螺旋上升、循序渐七、如何理解螺旋上升、循序渐进？进？“模块化模块化”体系下，立体几何、解析几何、体系下，立体几何、解析几何、概率、统计等都采用概率、统计等都采用“螺旋上升螺旋上升”式，怎式，怎么看？么看？螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据；有学生思维发展规律的依据；螺旋上升应该体现螺旋上升应该体现“必要性必要性”，如函数概，如函数概念必须螺旋式学习，但解析几何不必搞三念必须螺旋式学习，但解析几何不必搞三个螺旋；个螺旋；“螺旋式螺旋式”可能产生的问
29、题是重复学习可能产生的问题是重复学习统计与概率的问题；统计与概率的问题；重要的数学思想方法必须得到重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升螺旋上升地重复地重复”“隐性知识隐性知识”，“可以意会可以意会不可言传不可言传”，要经历，要经历“渗透渗透概括概括应用应用”的学习阶段。的学习阶段。例例8 8 概念多元联系表示体现的螺旋概念多元联系表示体现的螺旋上升上升比例关系：比例关系：算术算术比和比例、百分数、比例尺；比和比例、百分数、比例尺；平面几何平面几何线段比和比例、相似形等；线段比和比例、相似形等；解析几何解析几何斜率、线性方程；斜率、线性方程；统计与概率统计与概率统计图表、频率与概率。统计图表、频
30、率与概率。当利用基本的几何概念（如相似）和代数当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。生对比例关系的理解就会更深刻。八、如何理解八、如何理解“不是教教材，是用教材不是教教材，是用教材教教”？现象：脱离教材，大量使用教辅；现象：脱离教材，大量使用教辅；原因：教材内容原因：教材内容“简单简单”，不足以应付高，不足以应付高考；对考；对“不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”、“创造性使用教材创造性使用教材”的意图有误解；有的的意图有误解；有的教师不善于或不愿意花大力气研究教材。教师不善于或不
31、愿意花大力气研究教材。我的看法我的看法“不是教教材，而是用教材教不是教教材，而是用教材教”“”“脱离脱离教材教材”，是针对，是针对“照本宣科照本宣科”的；的；教材的教材的“基础性基础性”与高考的与高考的“选拔性选拔性”有有目标差异，但学好教材一定是高考取得好目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。助学生熟练掌握教材内容上。理解教材是当好数学教师的前提，而理解教材是当好数学教师的前提，而“理理解教材解教材”的第一要义是的第一要义是“理解数学理解数学”：了：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，解数学概
32、念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。资源，区分核心知识和非核心知识等。课本、课本，一科之本。课堂教学应课本、课本，一科之本。课堂教学应“以以课本为本课本为本”。例例9 9 函数概念概括过程的设计函数概念概括过程的设计目的：反映函数概念本质，形成正确的函目的：反映函数概念本质，形成正确的函数概念数概念“对应关系对应关系”的理解，的理解，y=f(x)中，符号中，符号f、x、y的含义，的含义，f的表现形式的多样性、本质的一的表现形
33、式的多样性、本质的一致性（三要素）致性（三要素）既是重点也是难点，既是重点也是难点，特别重视用表格、图象表示的对应关系的特别重视用表格、图象表示的对应关系的使用，目的是帮助学生从使用，目的是帮助学生从“多元联系表示多元联系表示”上深入思考，为突破难点奠定基础；上深入思考，为突破难点奠定基础；（1 1）从典型实例出发引出函数概念）从典型实例出发引出函数概念目的：目的：加强背景，体现加强背景，体现“函数模型函数模型”思想；思想；加强概念形成过程；加强概念形成过程；在学生头脑中形成丰富的函数例证。在学生头脑中形成丰富的函数例证。 抽象概念的学习要从具体例证开始抽象概念的学习要从具体例证开始 理解抽象
34、概念需要具体例证的支持理解抽象概念需要具体例证的支持用用“归纳式归纳式”构建教学过程构建教学过程（2）精心选择实例）精心选择实例 解析式、图象、表格解析式、图象、表格目的目的形成正确的函数概念：形成正确的函数概念：函数是刻画变量间依赖关系的法则；函数是刻画变量间依赖关系的法则；不一定都有解析式，即对应关系不一定都有解析式，即对应关系f可以是解析可以是解析式，也可以是图，还可以是表格；式，也可以是图，还可以是表格；加强用集合与对应的语言描述两个变量之间加强用集合与对应的语言描述两个变量之间对应关系的引导；对应关系的引导；不在细节上过分纠缠。不在细节上过分纠缠。（3 3）让学生构造具体背景解释抽象
35、的解析式）让学生构造具体背景解释抽象的解析式函数函数y=x2，xR的对应关系是什么？请构造一的对应关系是什么？请构造一个具体背景，解释这个对应关系。个具体背景，解释这个对应关系。构造一个实际背景，解释函数构造一个实际背景，解释函数y= 的对应关的对应关系。系。九、重结果轻过程的危害是什么九、重结果轻过程的危害是什么？数学是思维的科学。数学思想方法孕育于数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。知识的发生发展过程中。“思想思想”是概念是概念的灵魂，是的灵魂，是“数学素养数学素养”的源泉，是从技的源泉，是从技能到能力的桥梁；能到能力的桥梁；“过程过程”是是“思想思想”的的载体，是领
36、悟概念本质的平台，是思维训载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。练的通道，是培养数学能力的土壤。没有过程没有过程= =没有思想；没有思想；没有思想就难以理解概念的实质；没有思想就难以理解概念的实质；缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等可辨别性和稳定性等“功能指标功能指标”都会大都会大打折扣。打折扣。没有没有“过程过程”的教学把的教学把“思维的体操思维的体操”降降格为格为
37、“刺激刺激反应反应”训练，是教育功利化训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。在数学教学中的集中表现。例例10“10“递推数列递推数列”的教学的教学常见做法常见做法归纳题型，总结技巧：归纳题型，总结技巧：1利用利用a1=S1，an=SnSn-12an+1 =k an+b型，分型，分k=1和和k1讨论，讨论， k1 时，时，设设an+1+m=k（an +m），），3an+1=kan +f(n)型，分型，分k=1、f(n)是否可求和，是否可求和，k1、f(n)=an+b， f(n)=qn(q 0，1)，等；，等；4an+1 =f(n)an型；型；5. an+2=pan+1+qan(p、q为常数为
38、常数)型；型；题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章。主线，杂乱无章。an+1=p an +q型通项公式的教学设型通项公式的教学设计计求求an+1=p an +q型数列通项公式问题，一般型数列通项公式问题，一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。研究问题的基本策略。问题问题1 已知已知a1=1，an+1=2an+1（n1），求），求通项公式。通项公式。问题问题2 已知已知a1=1，an+1=2an+3（n1），求），求通项公式。通项公式。问题问题3 已知已知a1=1，an+1=3an
39、+1（n1），求），求通项公式。通项公式。问题问题1、2可以可以“凑凑”，但问题，但问题3不能，怎么不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题化得到的结构有什么共性？对解决问题3有有什么启发？什么启发？结论：都转化为结论：都转化为an+1+t=k(an+t)的形式。的形式。问题问题4 一般地，对于一般地，对于a1=a，an+1=pan+1 +q，如何求通项公式？如何求通项公式？因为推广到了因为推广到了“同同类事物类事物”，所以要注意，所以要注意“完备性完备性”，细节、，细节、特例的追究。特例的追究。十、什么才是十、什么才
40、是“数学思维的教学数学思维的教学”比较流行的教学有两种：一是数学教学比较流行的教学有两种：一是数学教学=解题教学；解题教学；二是辛勤挖掘二是辛勤挖掘“细枝末节细枝末节”，并在细枝末节上对学，并在细枝末节上对学生进行强化训练，认为这是对思维严谨性的训练，生进行强化训练，认为这是对思维严谨性的训练，例如，对零向量的例如，对零向量的“辛勤耕耘辛勤耕耘”：怎样表示怎样表示0向量？向量？0向量的长度为什么为向量的长度为什么为0，方向任意？，方向任意？ab，bc，那么，那么ac吗？吗？零向量与零向量相等吗？零向量与零向量相等吗？a=b 则则ab，对吗？，对吗？ab，则，则a与与b方向相同或相反，对吗？方向
41、相同或相反，对吗？例例1111“柯西不等式柯西不等式”的教学设计的教学设计引入：均值不等式的推广方法为引子，指引入：均值不等式的推广方法为引子，指出探究的方向可以是出探究的方向可以是“指数的推广指数的推广”、“元数的推广元数的推广”等。这些做完了，还能不能有等。这些做完了，还能不能有其他方向的探究。其他方向的探究。问题问题1 1：比较：比较( (a2 +b2)(c2 +d2)与与(ac +bd) 2的的大小关系。大小关系。追问：还有别的方法吗？追问：还有别的方法吗？( (a2 +b2)(c2 +d2) (ac +bd) 2的结构能给我们什么联想和启的结构能给我们什么联想和启发？发？构造函数构造
42、函数y=( (a2 +b2)x2 +2(ac +bd)x + (c2 +d2)。问题问题2：你能对这一不等式作出几何解释吗？：你能对这一不等式作出几何解释吗？问题问题3：将这一不等式作出推广，给出证明和：将这一不等式作出推广，给出证明和相应的几何解释，并说明你在推广不等式相应的几何解释，并说明你在推广不等式时的思路。时的思路。问题问题4：你认为柯西不等式有怎样的结构特征：你认为柯西不等式有怎样的结构特征？设计思路设计思路可以想像，柯西在发现这一不等式可能有一定的可以想像，柯西在发现这一不等式可能有一定的偶然性，可能经过一定的偶然性，可能经过一定的“尝试尝试错误错误”。引。引入时给一定的合情推理
43、的引导，使探究成为一种入时给一定的合情推理的引导，使探究成为一种“定向探究定向探究”。比较比较(a2 +b2)(c2 +d2)与与(ac +bd) 2的大小关系，是在的大小关系，是在学生定向探究后的学习任务，主要考虑学习效率学生定向探究后的学习任务，主要考虑学习效率问题。问题。在在“二元二元”时就让学生考虑构造二次函数的证明时就让学生考虑构造二次函数的证明方法，是为方法，是为n元时的证明作铺垫。元时的证明作铺垫。后续的推广和证明原则上都要求学生自己给出。后续的推广和证明原则上都要求学生自己给出。结束语结束语教育改革需要一定的理想化色彩；教育改革需要一定的理想化色彩；不要忘记我们的不要忘记我们的
44、“教人做人、做事教人做人、做事”的职责；的职责；教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，教研应该成为我们的生活方式，学而时习之，思想到了极致则开悟；思想到了极致则开悟；能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；能力的来源：信心，精进，正念，定力，智慧；为人师表为人师表默而识之，学而不厌，诲人不倦。默而识之，学而不厌，诲人不倦。成功的基础成功的基础美国国家数学咨询美国国家数学咨询委员会最终报告委员会最终报告20082008年年3 3月提交报告，就美国中小学数学课程月提交报告，就美国中小学数学课程内容、学生学习过程、教师教育、教学方法、内容、学生学习过程、教师教育、教学方法、教材、考试、数学教育研
45、究等七个方面提出了教材、考试、数学教育研究等七个方面提出了4545条建议。条建议。（1 1）要有效组织数学课程内容）要有效组织数学课程内容重点突出、重点突出、前后关联、循序渐进，强调掌握关键内容；前后关联、循序渐进，强调掌握关键内容；（2 2）学生的数学学习，理解概念、熟练计算、）学生的数学学习，理解概念、熟练计算、掌握解决问题的技能三者互相联系、相互促进，掌握解决问题的技能三者互相联系、相互促进，应全面培养这些能力；必须给学生进行足够量应全面培养这些能力；必须给学生进行足够量的算术基本运算练习，达到自动化水平；学生的算术基本运算练习，达到自动化水平；学生的努力程度对提高数学成绩至关重要；的努
46、力程度对提高数学成绩至关重要；（3 3）具备丰富数学知识的教师在课堂中扮演着）具备丰富数学知识的教师在课堂中扮演着核心角色，教师对数学知识的掌握对提高学生核心角色，教师对数学知识的掌握对提高学生数学成绩至关重要；数学成绩至关重要；（4 4）并不存在普遍适用的教学方式，教师讲授、）并不存在普遍适用的教学方式，教师讲授、合作学习、学生自主探究等，采取何种方式应合作学习、学生自主探究等，采取何种方式应根据当时特定的教学条件；而对于那些根据当时特定的教学条件；而对于那些“学困学困生生”，采取，采取“示范示范+ +大量模仿式训练大量模仿式训练+ +出声思考出声思考+ +教师反馈与评价教师反馈与评价”的教
47、学方式，能有效提高学生的教学方式，能有效提高学生的数学学习成绩；的数学学习成绩；（5 5）过多使用计算器可能阻碍学生自动回忆能）过多使用计算器可能阻碍学生自动回忆能力的发展，从而不利于形成熟练的计算能力；力的发展，从而不利于形成熟练的计算能力；等。等。数学教改也应贯彻数学教改也应贯彻“不动摇、不懈怠、不不动摇、不懈怠、不折腾折腾”思想。在与学生认知发展相适应的思想。在与学生认知发展相适应的原则下，要强调数学课程的逻辑性、系统原则下，要强调数学课程的逻辑性、系统性；要坚持性；要坚持“双基双基”教学不动摇；要坚持教学不动摇；要坚持“启发式启发式”教学思想不动摇；要坚持提倡教学思想不动摇；要坚持提倡学生刻苦学习；等。学生刻苦学习；等。找准问题进行改革。找准问题进行改革。敬请批评指正敬请批评指正谢谢谢谢
