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1、一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径3.7 曲率 曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样度量曲线的弯曲程度？上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、弧微分曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线yf(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 下页上页下页铃结束返回首页s0s0 相反时s0 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x) 下页一、弧微分上页下页铃结束返回首页v弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s
2、 的增量为Ds因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式 首页上页下页铃结束返回首页二、曲率及其计算公式提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度下页观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关 怎样衡量曲线的弯曲程度？上页下页铃结束返回首页平均曲率：曲率：下页v曲率 设曲线C是光滑的 曲线上点M对应于弧s 在点M处切线的倾角为a 曲线上另外一点N对应于弧sDs 在点N处切线的倾角为aDa 上页下页铃结束返回首页曲率：v曲率的计算公式上页下页铃结束返回首页 设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数 因为tan ay 所以 sec
3、 2adaydx 下页v曲率的计算公式上页下页铃结束返回首页 例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率曲率的计算公式：曲线在点(1 1)处的曲率为因此y|x11 y|x12 解 下页上页下页铃结束返回首页 例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？ 解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a| 下页曲率的计算公式：上页下页铃结束返回首页讨论： 3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1 直线yaxb上任一点的曲率是什么？ 2 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何计算？
4、 提示： 1 设直线方程为yaxb 则ya y 0 于是K0 3 圆的参数方程为xR cos t yR sin t 2 首页上页下页铃结束返回首页三、曲率圆与曲率半径 上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径r叫做曲率半径v曲率与曲率半径关系v曲率圆与曲率半径 设曲线在点M处的曲率为K(K0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为rK1的圆下页曲率圆曲率半径曲率中心上页下页铃结束返回首页 例3 设工件表面的截线为抛物线y04x2 现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 抛物线顶点处的曲率半径为 rK1125 因此, 选用砂轮的半径不得超过125单位长 即直径不得超过250单位长 y08x y08 y|x00 y|x008 把它们代入曲率公式 得结束
