第六章信号检测与估计理论(ppt)

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1、维纳维纳（1894189419641964），美国数学家，控制论的创始人。），美国数学家，控制论的创始人。 N.N.维纳对维纳对2020世纪的数学发展作出了重大贡献。维纳世纪的数学发展作出了重大贡献。维纳14(15)14(15)岁大学毕业，岁大学毕业，1818岁获哈佛大学哲学博士学位。此后岁获哈佛大学哲学博士学位。此后到英国、德国，先后师从罗素、哈代、李特尔伍德和希尔到英国、德国，先后师从罗素、哈代、李特尔伍德和希尔伯特学习。伯特学习。19191919年到麻省理工学院任教直至退休。年到麻省理工学院任教直至退休。2020年代，年代，他在布朗运动理论和位势理论研究方面作出了独创性的具他在布朗运动理

2、论和位势理论研究方面作出了独创性的具有基本意义的贡献。有基本意义的贡献。3030年代，他同年代，他同E.E.霍普夫共同研究了霍普夫共同研究了一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程，提出一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程，提出了维纳了维纳- -霍普夫方法，现在这类方程称为维纳霍普夫方法，现在这类方程称为维纳- -霍普夫方程，霍普夫方程，其理论在多种领域中得到应用。其理论在多种领域中得到应用。1 第二次世界大战期间，开始了创建控制论的工作。1948年出版了他的名著控制论：或关于在动物或机器中通讯的科学，对科学界产生了巨大的影响。几十年来，控制论得到了迅速发展，广泛应用于自动理论、计

3、算机程序、决策过程等各个方面。2 1948年，美国科学家维纳发表控制论，遭到科学界的冷遇，37岁的钱学森却敏锐把握到这一理论的普遍意义，将这一新理论运用到自己的喷气技术研究。1954年，钱学森发表工程控制论一书，开创了一门新的技术科学。多年来，这本著作为世界各国科学家广为引证、参考，成为自动控制领域引用率最高的经典著作。3 断 章 卞之琳你站在桥上看风景看风景的人在楼上看你明月装饰了你的窗子你装饰了别人的梦 因此引用杨振宁博士的话：“应该多对新的，活的东西，与现象有直接有关的东西感兴趣。”46.2连续过程的维纳滤波 维纳滤波也称为最小平方滤波或者最佳滤波，其基本思想是要设计一个滤波器。一般是根

4、据信号s(t)与噪声n(t)的时域或频域特性，选择适当的脉冲响应函数或系统函数，使得其滤波输出与期望输出之间的误差平方和最小（均方误差最小）。5 被噪声污染的信号波形恢复称为滤波。 大家熟悉的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，它对于滤去某些干扰谱线有较好的效果。对于混在随机信号中的噪声滤波，这种简单的滤波器就不是最佳的滤波电路，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。6如如下下图图所所示示。不不管管滤滤波波器器具具有有什什么么样样的的频频率率响响应应K(jK(j ) )，均均不不可可能能做做到到噪噪声声完完全全滤滤掉掉，使使信信号号波波形形的的不不失失真真恢恢复复。因因此此，需需要要寻寻

5、找找一一种种使使误误差差最最小小的的最最佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。佳滤波方法，又称为最佳滤波准则。 7 维维纳纳线线性性滤滤波波理理论论是是一一种种在在最最小小均均方方误误差差准准则则下的最佳线性滤波方法。下的最佳线性滤波方法。（维纳滤波发展的两个方向）（维纳滤波发展的两个方向） 由由于于维维纳纳滤滤波波器器电电路路实实现现上上的的困困难难，在在维维纳纳滤滤波波基基础础上上发发展展了了一一种种基基于于状状态态空空间间方方法法的的最最佳佳线线性性递递推推滤滤波波方方法法，称称为为卡卡尔尔曼曼滤滤波波。这这种种滤滤波波器器特特别别适适用用于于对对离离散散时时间间序序列列的的实实时时滤滤波波，

6、可可以以很很方方便便用用计计算算机机处处理理，因因而而是是近近代代滤滤波波理理论论的的重重要要发发展展，在在自自动动控控制制领领域起到了重要作用。域起到了重要作用。 8 维维纳纳滤滤波波理理论论的的另另一一发发展展方方向向是是自自适适应应滤滤波波，它它可可以以自自动动地地调调节节其其自自身身参参数数，在在设设计计时时，只只需需要要很很少少的的，或或根根本本不不需需要要任任何何关关于于信信号号和和噪噪声声的的先先验验统统计计知知识识。因因此此，目目前前在在模模型型识识别别、通通信信信信道道的的自自适适应应均均衡衡、生生物物医医学学信信号号中中周周期期干扰消除等方面均有重要应用。干扰消除等方面均有

7、重要应用。 9真实信号 观测信号加性噪声线性估计问题最小均方误差(MMSE)估计(minimum mean-square error)估计误差维纳滤波问题描述维纳滤波对真实信号的最小均方误差估计.106.2 连续过程的维纳滤波 维纳滤波最基本的概念：从信号加性噪声中尽可能完整地提取信号而最大限度地抑制噪声。实质上是研究维纳滤波器的设计问题。6.2.1最佳线性滤波 观测信号其中， 是有用信号； 是观测噪声。我们可以对 ， ， ， 等信号波形进行估计。为统一分析，将被估计信号波形统一记为 ，估计结果统一记为 。 11 设设 和和 都是都是零均值的随机过程零均值的随机过程，则，则 的线性估计可的线性

8、估计可以表示为以表示为其中，其中， 是是 时刻时刻 的采样；的采样； 是是加权系数。加权系数。 是是采样采样 的线性加权和。的线性加权和。 为使估计波形为使估计波形 具有最小均方误差，由具有最小均方误差，由估计误估计误差与观差与观测信号的正交性，有测信号的正交性，有由该式可以求出由该式可以求出最佳加权系数最佳加权系数 ，从而实现，从而实现 的最的最12佳线性估计。 6.2.2式估计波形 的积分形式表示为这说明，将 输入具有时变脉冲响应为 的线性滤波器，其输出为 的估计为 ，见图6.1。 13 为使均方误差最小，利用正交性原理，即求解线性时变滤波器的脉冲响应 。利用相关函数表示上式，得 该式是实

9、现信号波形线性估计，且均方误差最小14的线性时变滤波器的脉冲响应 应满足的积分方程。它能实现非平稳随机信号波形的线性最佳估计（但时变脉冲响应的解比较困难）。 估计的均方误差就是估计误差的方差，表示为15166.2.2 6.2.2 维纳维纳霍夫方程霍夫方程 适用于适用于非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波非平稳随机信号波形最佳估计的线性时变滤波器的器的 求解困难。为获得实用的结果，进行必要的约求解困难。为获得实用的结果，进行必要的约束：束： 设设 和和 都是都是零均值的平稳随机过程，且二者联零均值的平稳随机过程，且二者联合平稳合平稳；这意味着观测时间从这意味着观测时间从 开始，开始，而且滤波

10、器是而且滤波器是线性时不变线性时不变。 考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用考虑因果系统，滤波器在构造估计信号波形时，只用 时刻及以前时刻的观测信号时刻及以前时刻的观测信号。这样，线性时不变滤波器。这样，线性时不变滤波器的估计的估计 为为见图见图6.26.2。17而(6.2.6)式变为 令 , , 则有18 该式称为维纳霍夫方程。它是信号波形线性最小均方误差估计的线性时不变滤波器的脉冲响应 应满足的积分方程。这样的滤波器称为维纳滤波器，而由维纳滤波器获得信号波形估计 ，称为维纳滤波。19估计误差的方差为 所以，要实现维纳滤波，需要设计维纳滤波器，这就是维纳霍夫方程的解。20 6.2.

11、3 6.2.3 维纳维纳霍夫方程的非因果解霍夫方程的非因果解 (6.2.10)式中,限定 （正半轴）,即维纳滤波器的脉冲响应满足所以,它是因果系统。如果我们取 ，包括整个时间轴则系统是非因果的.21此时，维纳霍夫方程6.2.10变为22故最佳滤波器的系统函数为23 讨论： 若 ； 与 相互统计独立，即 ，则 24当噪声为0时，信号全部通过；当信号为0时，噪声全部被抑制；因此维纳滤波确有滤除噪声的能力。252627（1 1）对对 1 1 3 3的的频频率率范范围围内内，由由于于P Ps s( ( )=0)=0，一一定定有有H(H( )=0)=0，表表示示由由于于没没有有信信号号，故故滤滤波波器器

12、增增益益为为零零，从从而而完完全全阻阻止止噪噪声声通通过过。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。同样在这段频率内，均方误差的积分值也为零。29（3 3）对对 2 2 3 3的的频频率率范范围围内内，由由于于P Ps s( ( ) )及及P Pn n( ( ) )均均不不为为零零，则则|H(|H( )|1)|1，这这一一方方面面要要防防止止噪噪声声通通过过，又又要要保保证证信信号号通通过过。因因此此随着随着 增加，增加，P Pn n( ( ) )逐渐加大，逐渐加大，|H(|H( )|)|逐渐减小，直至为零。逐渐减小，直至为零。30估计误差的方差为31323334重叠部分的影响35 可见，维

13、纳滤波能够实现信号波形的可见，维纳滤波能够实现信号波形的线性线性最佳最佳估计。非因果的维纳滤波器是物理不可实估计。非因果的维纳滤波器是物理不可实现的。讨论目的：加深对维纳滤波概念理解；现的。讨论目的：加深对维纳滤波概念理解；提供了提供了维纳滤波均方误差的下界，作为维纳滤波均方误差的下界，作为比较的比较的参考标准。参考标准。36 例例 s s( (t t) )为马尔科夫过程，其功率谱密度为为马尔科夫过程，其功率谱密度为 观测噪声观测噪声n n( (t t) )为白噪声，其为白噪声，其P Pn n( ( )=1)=1，求维纳滤波器的求维纳滤波器的H(H( ) )及及h(th(t) )。 37 解解

14、 已知已知 因此有因此有 其最小均方误差为式其最小均方误差为式38下面，计算冲激响应h (t)，对H（)作傅里叶变换得 396.2.4 6.2.4 维纳滤波器的因果解维纳滤波器的因果解 1. 1. 重写维纳重写维纳霍夫方程霍夫方程 406.2.4 6.2.4 维纳滤波器的因果解维纳滤波器的因果解 2. 2. 分析分析: :求解求解 的困难在于约束的困难在于约束 若若 , ,则则 。 这意味着，若这意味着，若 是自相关函数为是自相关函数为的的白过程白过程，则，则 。积分方程。积分方程就可以直接就可以直接求解。求解。 41 通常，通常， 是非白过程是非白过程，但上述结果提醒我们：，但上述结果提醒我

15、们：若将非若将非白过程白过程 首先通过白化滤波器首先通过白化滤波器 变为白过程变为白过程 ，然后，然后针对白过程针对白过程 ，设计维纳滤波器，设计维纳滤波器 ，则维纳，则维纳滤波器的滤波器的因果解为因果解为 42 如图如图6.46.4所示。所示。 下面讨论白化滤波器下面讨论白化滤波器 和滤和滤波器波器 的设计问题。的设计问题。43 3. 白化滤波器 的设计 若观测信号 是具有有理功率谱 的平稳随机过程，则用复频域表示为式中， 的所有零极点在s平面的左半平面； 的所有零极点在s平面的右半平面 。44如要求白化滤波器能够将非白化过程白化，则则其输出 是白过程。 因为而45所以，有从而得白化滤波器的

16、系统函数4. 滤波器 的设计 求解 的积分方程为其中， 。所以 46于是， 为式中， 表示取 中零极点在 平面左半平面的部分，这是由 决定的。 因为47两边取拉普拉斯变换，得这样，维纳滤波器的系统函数 为 估计的均方误差为 下面我们通过例子来说明维纳滤波器的问题。48例例6.2.16.2.1 设线性时不变滤波器输入的观测信号x(t)是平稳随机过程，其功率谱为设计物理可实现的白化滤波器 ，它的输出功率谱密度为1。49解解所以 该白化滤波器由微分器和常增益器并联组成。50例例6.2.26.2.2 设随机信号 加白噪声 通过一线性滤波器。已知 和 的自相关函数分别为现考虑 的波形估计问题，要求估计的

17、均方误差最小。设计该滤波器，并计算波形估计的均方误差。 51解解 据题意，待估计的波形 ，是维纳滤波问题。首先对 和 进行双边拉普拉斯变换，得 令52则故有又有 然后求维纳滤波器的系统函数 和均方误差。 非因果的维纳滤波器 53 因果的维纳滤波器54例例6.2.36.2.3维纳预测和平滑问题。设随机信号 加白噪声 都是均值为0的平稳随机过程，二者互不相关。自相关函数分别为试求估计波形 及均方误差。 556.3 离散过程的维纳滤波566.3.1 离散过程的维纳霍夫方程575859离散形式连续形式6061离散过程的维纳-霍夫方程（因果关系）626.3.2 离散维纳滤波器的解离散维纳滤波器的z域解(

18、频域) A 因果解 B 非因果解离散维纳滤波器的时域解631 离散维纳滤波器的z域解(非因果解)646566可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测可以看出，维纳滤波的最小均方误差不仅与观测（输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功（输入）信号的功率谱有关，而且和噪声和信号功率谱的乘积有关，也就是说，率谱的乘积有关，也就是说，最小均方误差与信号最小均方误差与信号和噪声功率谱的重叠部分的大小有关。和噪声功率谱的重叠部分的大小有关。67682 离散维纳滤波器的z域解(因果解)69170对于非白色序列对于非白色序列71723 离散维纳滤波器的时域解73747576777879808182例例6.3.1 （教材（教材398页）页）83例例6.3.2（教材（教材399页）页）84连续维纳滤波离散维纳滤波非因果解因果解时域解维纳霍夫方程的解85维纳滤波器的缺点1.必须知道信号和噪声的二阶统计量；2.必须知道H，并通过积分求出输出；3.只能适应于平稳随机过程，非平稳随机过程不能计算；4.输入条件变化时，要求重新计算H等。86