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1、一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义二、矩阵的定义三、小结三、小结1 矩矩 阵阵1. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项常数项一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了假设干航线城市之间开辟了假设干航线 ,如下图表示了四城市间的如下图表示了四城市间的航班图航班图,如果从如果从A到到B有航班有航班,那么用带箭头的线连接那么用带箭头的线连接 A 与与B.
2、四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .记作记作简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如是
3、一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵. .也可记作也可记作只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为对角称为对角矩阵矩阵(或对角阵或对角阵.（3）形如形如 的方阵的方阵, ,不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩
4、阵称为零矩阵零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作(5)方阵方阵称为单位矩阵或单位阵称为单位矩阵或单位阵. . 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同型矩阵同型矩阵.例例1间的关系式间的关系式线性变换线性变换.系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着
5、一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .假设线性变换为假设线性变换为称之为称之为恒等变换恒等变换. .对应对应 单位阵单位阵. .线性变换线性变换对应对应这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 设设解解三、小结三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念(2) 特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵; ;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.思考题思考题矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别? ?思考题解答思考题解答 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个
6、算式算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个矩阵仅仅是一个数表数表，它的行数和列数可以不同，它的行数和列数可以不同.一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算五、小结五、小结五、小结五、小结2.2 矩阵的运算矩阵的运算、定义、定义一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记
7、作 ，规定为，规定为说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律1 1、定义、定义二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数）、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积
8、是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中例例设设例例2 2故故解解注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不存在不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中（其中 为数）为数）; 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：例例 设设那么那么但也有例外，比方设但也有例外，比方设那么有那么有例例3 3 计算以下乘积：计算以下乘积：解解解解=( (）解解例例4 4由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法
9、证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例例5 5 解法解法1解法解法22、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或运算性质运算性质3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设
10、为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵. 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵性质性质证明证明那么那么称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.4 4、共轭矩
11、阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. 故故同理可得同理可得运算性质运算性质（设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:五、小结五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵2只有当第一个矩阵的列数等于第二个只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交
12、换律.1只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同不同.思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 3 逆矩阵逆矩阵一、概念的引入一、概念的引入二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法四、小结四、小结则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的
13、倒数， （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中， 单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1， 那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵., ,使得使得例例 设设说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，那么有那么有可得可得所以所以
14、 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,那么那么利用待定系数法利用待定系数法又因为又因为所以所以定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 证明证明若若 可逆，可逆，按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义推论推论证明证明逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证明证明证明证明例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .解解三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法同理可得同理可得故故解解例例2 2例例3 3 设设解解于是于是例例4 4例例5 5解解给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵给
15、方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵得得给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵得得给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵解解例例6 6解解 例例7 7四、小结四、小结逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵逆矩阵 存在存在4 4 矩阵分块法矩阵分块法一、矩阵的分块一、矩阵的分块二、分块矩阵的运算规那么二、分块矩阵的运算规那么三、小结三、小结一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了，为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是
16、：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .例例即即即即二、分块矩阵的运算规那么二、分块矩阵的运算规那么例例分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质:例例1 设设解解那么那么又又于是于是例例2其中其中其中其中例例3 3 设设解解三、小结三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最根本根本, ,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法. .
17、(1) 加法加法(2) 数乘数乘(3) 乘法乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置转置(5) 分块对角阵的行列式与逆阵分块对角阵的行列式与逆阵矩阵的定义矩阵的定义方阵列矩阵行矩阵方阵列矩阵行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵它们是同型矩阵同型矩阵和相等矩阵同型矩阵和相等矩阵零矩阵单位矩阵零矩阵单位矩阵交换律交换律结合律结合律矩阵相加矩阵相加运算规律运算规律数乘矩阵数乘矩阵矩阵相乘矩阵相乘运算规律运算规律n阶方阵的幂阶方阵的幂方阵的运算方阵的
18、运算方阵的行列式方阵的行列式运算规律运算规律转置矩阵转置矩阵一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵对称矩阵对称矩阵反对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵幂等矩阵正交矩阵正交矩阵对角矩阵对角矩阵对合矩阵对合矩阵上三角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵角矩阵下三角矩阵下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵角矩阵伴随矩阵伴随矩阵定义定义逆矩阵逆矩阵相关定理及性质相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证论证分块矩阵的运算规那么与普通矩阵的运算规那么分块矩
19、阵的运算规那么与普通矩阵的运算规那么相类似相类似分块矩阵分块矩阵一、矩阵的运算一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算典型例题典型例题例例计算计算一、矩阵的运算一、矩阵的运算解解解解由此得由此得例例例例解解方法一用定义求逆阵方法一用定义求逆阵二、逆矩阵的运算及证明二、逆矩阵的运算及证明注注方法二方法二注注此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵不适用矩阵不适用分析分析矩阵方程矩阵方程解解证证例例三、矩阵的分块运算三、矩阵的分块运算同理可得：同理可得：例例 6解解根据分块矩阵的乘法，得根据分块矩阵的乘法，得由可得由可得第二章测试题第二章测试题一、填空题一、填空题( (每题每题4 4分，共分，共3232分分) )四、四、(8(8分分) )解以下矩阵方程解以下矩阵方程五、五、( (每题每题5 5分，共分，共2020分分) )求以下矩阵求以下矩阵六、六、(6(6分分) )设设 求求 七、七、( (每小题每小题3 3分分, ,共共6 6分分) )设设 阶矩阵阶矩阵 的伴随矩阵的伴随矩阵为为 ，证明：，证明：八、八、( (每题每题5 5分，共分，共1010分分) )求以下矩阵的逆矩阵求以下矩阵的逆矩阵九、九、(6(6分分) )测试题答案测试题答案
